2020版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案（含解析）新人教A版必修3
文档属性
| 名称 | 2020版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案（含解析）新人教A版必修3 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 322.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-14 20:41:15 | ||
图片预览
文档简介
==================资料简介======================
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．
知识点一 众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？
答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．
知识点二 方差、标准差
标准差、方差的概念及计算公式
(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝.
(2)标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.
知识拓展：平均数、方差公式的推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，
mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)设数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则
①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]；
②数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
③数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；
④数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差也为a2s2，标准差为as.
1．中位数是一组数据中间的数．( × )
2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )
3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ )
4．一组数据的标准差不大于极差．( √ )
题型一 众数、中位数、平均数的计算
例1 (1)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8
答案 (1)C (2)C
解析 (1)平均数为＝87，众数为85，中位数为85.
(2)结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．
由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5.又乙组数据的平均数为＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8.
反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m,1.69m.
题型二 标准差、方差的计算及应用
例2 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
解 (1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2.
(3)甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
反思感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．
(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．
(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．
跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102 101 99 98 103 98 99
乙：110 115 90 85 75 115 110
(1)这种抽样方法是哪一种方法？
(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．
解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．
(2)甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；
乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；
s＝[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]
＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；
s＝[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]
＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)
≈228.57.
所以s＜s，故甲车间产品较稳定．
频率分布直方图与数字特征的综合应用
典例 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
解 (1)知众数为＝75.
(2)设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
引申探究
1．若本例条件不变，求数学成绩的平均分．
解 由题干图知这次数学成绩的平均分为×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
2．本例条件不变，求80分以上(含80分)的学生人数．
解 [80,90)分的频率为0.025×10＝0.25，
频数为0.25×80＝20.
[90,100]分的频率为0.005×10＝0.05，
频数为0.05×80＝4.
所以80分以上的学生人数为20＋4＝24.
[素养评析] (1)利用频率分布直方图估计总体数字特征
①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标；
②中位数左右两侧直方图的面积相等；
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．
(3)在解决本题时，需要选择运算方法，掌握运算法则，求得运算结果，并根据结果进行合理推断，获得结论．这些都是数学核心素养的内含所在.
1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20
C．21.5 D．23
答案 B
解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.
2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( )
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
答案 D
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数B．平均数C．中位数D．标准差
答案 D
4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )
A．a1>a2
B．a2>a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
答案 B
解析 由茎叶图知，
a1＝80＋＝84，
a2＝80＋＝85，故选B.
5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案 16
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.
================================================
压缩包内容：
2020版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案（含解析）新人教a版必修3.docx
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．
知识点一 众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？
答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．
知识点二 方差、标准差
标准差、方差的概念及计算公式
(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝.
(2)标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.
知识拓展：平均数、方差公式的推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，
mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)设数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则
①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]；
②数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
③数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；
④数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差也为a2s2，标准差为as.
1．中位数是一组数据中间的数．( × )
2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )
3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ )
4．一组数据的标准差不大于极差．( √ )
题型一 众数、中位数、平均数的计算
例1 (1)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8
答案 (1)C (2)C
解析 (1)平均数为＝87，众数为85，中位数为85.
(2)结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．
由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5.又乙组数据的平均数为＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8.
反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m,1.69m.
题型二 标准差、方差的计算及应用
例2 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
解 (1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2.
(3)甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
反思感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．
(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．
(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．
跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102 101 99 98 103 98 99
乙：110 115 90 85 75 115 110
(1)这种抽样方法是哪一种方法？
(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．
解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．
(2)甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；
乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；
s＝[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]
＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；
s＝[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]
＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)
≈228.57.
所以s＜s，故甲车间产品较稳定．
频率分布直方图与数字特征的综合应用
典例 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
解 (1)知众数为＝75.
(2)设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
引申探究
1．若本例条件不变，求数学成绩的平均分．
解 由题干图知这次数学成绩的平均分为×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
2．本例条件不变，求80分以上(含80分)的学生人数．
解 [80,90)分的频率为0.025×10＝0.25，
频数为0.25×80＝20.
[90,100]分的频率为0.005×10＝0.05，
频数为0.05×80＝4.
所以80分以上的学生人数为20＋4＝24.
[素养评析] (1)利用频率分布直方图估计总体数字特征
①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标；
②中位数左右两侧直方图的面积相等；
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．
(3)在解决本题时，需要选择运算方法，掌握运算法则，求得运算结果，并根据结果进行合理推断，获得结论．这些都是数学核心素养的内含所在.
1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20
C．21.5 D．23
答案 B
解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.
2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( )
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
答案 D
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数B．平均数C．中位数D．标准差
答案 D
4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )
A．a1>a2
B．a2>a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
答案 B
解析 由茎叶图知，
a1＝80＋＝84，
a2＝80＋＝85，故选B.
5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案 16
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.
================================================
压缩包内容：
2020版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案（含解析）新人教a版必修3.docx