必修四 2.2 平面向量的线性运算
向量数乘运算及其几何意义
【学习目标】
掌握向量的数乘运算;
理解向量共线定理的注意点及主要应用；
掌握三点共线定理的判定定理与性质定理。
【学习过程】
课前预习
向量的数乘运算的定义及其几何意义是什么？
向量数乘的运算律以及向量线性运算的形式是什么？
向量的共线定理的注意点及主要应用有哪些？
4、三点共线的判定定理和性质定理是什么？
二、探究活动
、向量的数乘运算
向量数乘的定义：
。它的长度和方向规定如下：
。 。
向量数乘的几何意义：
。
向量数乘的运算律：设
结合律：
第一分配率：
第二分配率：
向量数乘与实数乘法的区别： 。
5、向量的线性运算： 。
已知（ ）
、2与的方向相同，且2的模式的模的2倍；
-2与5的方向相反，且-2的模式5的模的；
-2和2是一对相反向量；
-与-（-）是一对相反的量。
已知非零向量，方向为正东，长度为单位一，求作向量2，-3，，
、向量共线定理
向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得=
这个定理的可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数，使得
+=0,则与共线；若两个非零向量与不共线，且+=0，则必有t=s=0.
向量共线定理主要用来证明： 等问题。
已知O是所在平面内一点，D为边BC的中点，且
则，（ ）
判断下列各小题中向量是否共线（其中是两非零不共线向量）。
、三点共线定理
三点共线的判定定理：
。
推理： 。
三点共性的性质定理：
。
已知A，B，P三点共线，O为直线外为任意一点，若，则X+y的值为 。
证明：已知点P分有向线段的定比为平面内任意一点，则有。
（三）、练一练
O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
。则点P的轨迹一定通过（ ）
外心 B.内心 C.重心 D.垂心
注意：三角形的“四心”
、三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点。
、三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点。
、三角形的垂心：三角形三条高的交点。
、三角形的重心：三角形三条中线的交点，若G是内一点，且满足，则G是 的重心。
设D,E,F分别为的三边BC,CA,AB的中点，则
若O是，则的形状为 。
化简下列各式;
已知若，
求证：A,B,C三点共线。
6、已知向量，是否存在非零实数，使得向量
必修四 2.2 平面向量的线性运算
向量加法、减法运算及其几何意义
【学习目标】
理解向量加减法的定义及几何意义。
理解向量加法的交换律与结合律；相反向量的概念。
3、能够类比实数的加法运算进行向量的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为背景引入。向量的减法运算是类比实数的减法运算引入的。
4、理解向量是方向的，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题。
【学习过程】
学前预习
向量加法的运算法则有哪些？
向量加法的运算率是什么？
向量加法的运算法则是什么？
向量求和的多边形法则是什么？
向量形式的三角不等式的推导过程是什么?
探究活动
向量的加法
向量加法的定义： 。
向量加法的三角形法则： 。
向量加法的平行四边形法则： 。
三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系
两向量起点、 终点的特点
如图，所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则=
B. C. D.
已知向量不共线，作向量。
、向量加法的运算律
交换律：
结合律:
从位移的物理意义理解向量加法的交换律,只和移动的起点和终点有关。
化简
、向量的减法
相反向量：
向量减法的定义：
向量减法的几何意义: 三角形法则：
如图，已知向量.
下列说法中，正确的有
如果非零向量共线，那么的方向向量必与之一的方向相同；
在=0；
若均为非零向量，则一定相等。
、向量形式的三角不等式
当向量不共线的时，根据三角形三边的关系可得：
。
当向量同向时，得：
当向量反向时，得：
结合起来得：
若非零不共线向量（ ）
B.
C. D.
例7、若（ ）
A. B. C. D.
练一练
化简
已知，则（ ）
已知向量，求。
如图，已知D,E,F分别为的三边BC，AC，AB的中点，求证：。
