必修四 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理
【学习目标】
理解平面向量基本定理；
了解平面内所有向量的一组基底；
理解向量夹角的概念。
【学习过程】
学前预习
平面向量基本定理及定理的证明是什么？
定理的实质和功能是什么？
两个向量的夹角是什么?
平面向量基本定理中实数的取值范围是多少？
学习探究
、平面向量基本定理
平面向量基本定理：如果，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数。
我们把叫做 。
定理的证明：存在性：
。
3、定理的实质： 。
4、定理的功能：由平面向量基本定理可知，若共线，则由 的所有线性组合构成的集合就是平面内的全体向量，其中叫做这一平面内的所有向量的一组基底。
例1、给出下列说法：（1）、一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；（2）、一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；（3）、零向量不可以作为基底中的向量。其中说法正确的是
例2、设是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是
例3、已知是同一平面内的两个不共线的向量，，试用向量
、两个向量的夹角
向量夹角的概念: .
向量夹角的特殊情形：时，
时，
时，
在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是（ ）
已知，若的夹角为，则 。
平面向量基本定理中实数的取值范围
1
如图，以OA，OB为邻边作平行四边形AOBD，对于平面内的任一向量，由平面向量基本定理可得：存在唯一的有序实数对（x,y），使得。
、若点C与点O重合，则x=y=0;
、若点C与点A重合，则
、若点C与点D重合，则
、若点C在直线BD上，则
、若点C在AB直线上，则
若点C在(1),(2),(3)区域上，则
若点C在(2),(5),(8)区域上，则
练一练
如图、在平行四边形ABCD中，设对角线，试用基底表示。
已知，则（ ）
A.
3、已知在Rt中，，AC=3，BC=4，P为线段AB的点，且则XY的最大值为 。
4、已知向量且得夹角为
5、如图，在三角形ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交与点P,求AP：PM与BP:PN
必修四 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第二课时 平面向量的正交分解、坐标表示与坐标运算
【学习目标】
理解正交分解的概念；
理解向量的坐标表示；
理解平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示；
平面向量共线的坐标表示。
【学习过程】
一、学前预习
平面向量的正交分解及坐标表示的根据是什么？
平面向量坐标运算的形式是什么？
平面向量共线的坐标表示形式是什么？
等比分点的坐标表示形式是什么？
探究活动
、平面向量的正交分解及坐标表示
正交分解： 。
说明：（1）向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例。
（2）正交分解中的两个基向量互相垂直，构成正交基底。
2、向量的坐标表示： .
3、点的坐标与向量的坐标的关系：
区别 表示形式不同
意义不同
联系
已知向量向量，给出下列四个结论：
、存在唯一的一对实数；
、若。则；
、的始点是原点O；
、若，则
其中正确的结论是：
已知O是坐标原点，点A在第一象限，， ，则向量的坐标为 。
、平面向量的坐标运算
坐标向量的和（差）坐标：
向量数乘的坐标表示：
任一向量的坐标：
注意：（1）、向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关。
、向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变。
、在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标。
、求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标。
，则
。
已知
已知四点，试以为基底表示
。
、平面向量共线的坐标表示
共线的坐标表示：
三点共线的坐标表示：
注意：（1）、平面想象共线的坐标表示还可以写成，即不平行与坐标轴的共线向量的对应坐标成比例。
当也成立，即对任意向
量都有：
（1）中点坐标公式：
（2）重心坐标公式：
。
已知平面向量（ ）
(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)
已知向量分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数的值，使A,B,C三点共线。
若过点P使，则点P的坐标为 。
练一练
已知向量
已知
。
已知向量O是三角形ABC内一点，
已知A,B,C三点的坐标分别为，
。
已知直角梯形ABCD，
、DE//BC
、D,M,B三点共线。
