2020版高中数学第一章算法初步1.3算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术学案（含解析）新人教A版必修3

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第1课时　辗转相除法与更相减损术

学习目标
　1.了解辗转相除法与更相减损术中的数学原理.2.会求两个数的最大公约数.3.体会案例中的数学素养．


知识点一　辗转相除法
1．辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
2．辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n(m>n)．
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；
否则，返回第二步．
思考　注意到8251＝6105×1＋2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？
答案　显然8251与6105的公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数．
知识点二　更相减损术
更相减损术的运算步骤
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．


1．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．(　√　)
2．求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．(　×　)
3．编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．(　√　)


题型一　辗转相除法
例1　试用辗转相除法求228与1995的最大公约数．
解　1995＝8×228＋171，
228＝1×171＋57，
171＝3×57，
所以228与1995的最大公约数为57.
反思感悟　辗转相除法的实质：对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数．
跟踪训练1　用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是________．
答案　3
解析　用辗转相除法可得
204÷85＝2……34，
85÷34＝2……17，
34÷17＝2，
此时可以判断204与85的最大公约数是17，做了3次除法得出结果．
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