4．1 指数
最新课程标准：通过对有理数指数幂a (a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
知识点一 n次方根及根式的概念
1．a的n次方根的定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R.
(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中－表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．
3．根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
根式的概念中要求n>1，且n∈N*.
知识点二 根式的性质
(1)()n＝a(n∈R＋，且n>1)；
(2)＝
()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运
算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数
指数幂
规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数
指数幂
规定：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
性质
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s；(a>0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars；(a>0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝arbr.(a>0，b>0，r∈Q)
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
[教材解难]
1．教材P105思考
可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，，等写成下列形式：
＝a (a>0)，
＝b (b>0)，
＝c (c>0)．
2．教材P108思考
无理数指数幂2的含义：就是一串以的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故2是一个确定的实数．
[基础自测]
1.＋π等于( )
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4 D．4－2π
解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.
答案：A
2．b4＝3(b>0)，则b等于( )
A．34 B．3
C．43 D．35
解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝3.
答案：B
3．下列各式正确的是( )
A.＝－3 B.＝a
C．()3＝－2 D.＝2
解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.
答案：C
4.的值是________．
解析：＝＝ ＝＝ ＝.
答案：
题型一 利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1 (1)下列各式正确的是( )
A.＝a B．a0＝1
C. ＝－4 D. ＝－5
(2)计算下列各式：
① ＝________.
② ＝________.
③ －－＝________.
【解析】 (1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)① ＝－a.
② ＝＝π－3.
③ －－＝－－＝－－＝.
首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
【答案】 (1)D (2)①－a ②π－3 ③
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ＋ .
解析：(1) ＝－2；
(2) ＝ ＝ ；
(3) ＝|3－π|＝π－3；
(4)原式＝ ＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x所以原式＝
由根式被开方数正负讨论x≥y，x题型二 根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2 (1)将分数指数幂a (a>0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·)÷(·)＝________.(用分数指数幂表示)．
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·.
② (a>0，b>0)．
【解析】 (1)a＝＝
(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a＝a
【答案】 (1) (2)a (3)①a3·＝a3·a＝a＝a. ② ＝ ＝ ＝ ＝ab.
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.－＝(－x) (x>0)
B.＝y (y<0)
C．x＝ (x>0)
D．x＝－(x≠0)
解析：－＝－x (x>0)；＝(y2)＝－y (y<0)；
x＝(x－3) ＝(x>0)；x＝＝(x≠0)．
答案：C
A：－先把 ＝x再加上－.
B：注意y<0.
C：负指数次幂运算．
题型三 分数指数幂的运算与化简[教材P106例4]
例3 计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)（2ab）（－6ab）÷（－3ab）；
(2)（mn）8；
(3)(－)÷.
【解析】 (1) （2ab）（－6ab）÷（－3ab）
＝[2×(－6)÷(－3)]ab
＝4ab0
＝4a；
(2) （mn）8＝88
＝m2n－3
＝；
(3)(－)÷＝（a－a）÷a
＝a÷a－a÷a
＝a－a
＝a－a
＝－a.
①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．
教材反思
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 计算：
(1)(－1.8)0＋－2·－＋；
(2)·(a>0，b>0)．
解析：(1)原式＝1＋2·－10＋9＝1＋2·2－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝4·0.12·＝2××8＝.
先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．
一、选择题
1．将化为分数指数幂，其形式是( )
A．2 B．－2
C．2 D．－2
解析： ＝(－2)＝(－2×2)＝(－2)＝－2.
答案：B
2．若a (a－2)0有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a＝2
C．a≠2 D．a≥0且a≠2
解析：要使原式有意义，只需，
∴a≥0且a≠2.
答案：D
3．化简的结果是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：依题意知x<0，所以＝－＝－.
答案：A
4．化简()4·()4的结果是( )
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
解析：()4·()4
＝()·()
＝(a)·(a)＝a·a＝a4.
答案：C
二、填空题
5. －＋的值为________．
解析：原式＝ － ＋
＝－＋＝.
答案：
6．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则α＋β＝____________________.
解析：由根与系数关系得α＋β＝－，所以α＋β＝＝(2－2) ＝23＝8.
答案：8
7．若 ＋＝0，则(x2019)y＝________.
解析：∵＋＝0，
∴＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
∴x＝－1，y＝－3.
∴(x2019)y＝[(－1)2019]－3＝(－1)－3＝－1.
答案：－1
三、解答题
8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)a2； (2)·；
(3)()2·； (4) .
解析：(1)原式＝a2a＝a＝a.
(2)原式＝a·a＝a＝a.
(3)原式＝(a)2·(ab3) ＝a·ab＝ab＝ab.
(4)原式＝a2·a＝a＝a.
9．计算下列各式：
(1)0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75；
(2) －(－9.6)0－＋(－1.5)－2；
(3) ＋0.002－10(－2)－1＋(－)0.
解析：(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(2)原式＝－1－＋－2＝－1－－2＋2＝.
(3)原式＝(－1) ·＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
[尖子生题库]
10．已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.
解析：(1)将a＋a＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，
则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，
得a2＋a－2＋2＝9，
则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2
＝(a2＋a－2)2－4
＝72－4
＝45，
所以y＝±3，
即a2－a－2＝±3.
课件30张PPT。
一、选择题
1．将化为分数指数幂，其形式是( )
A．2 B．－2
C．2 D．－2
解析： ＝(－2)＝(－2×2)＝(－2)＝－2.
答案：B
2．若a (a－2)0有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a＝2
C．a≠2 D．a≥0且a≠2
解析：要使原式有意义，只需，
∴a≥0且a≠2.
答案：D
3．化简的结果是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：依题意知x<0，所以＝－＝－.
答案：A
4．化简()4·()4的结果是( )
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
解析：()4·()4
＝()·()
＝(a)·(a)＝a·a＝a4.
答案：C
二、填空题
5. －＋的值为________．
解析：原式＝ － ＋
＝－＋＝.
答案：
6．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则α＋β＝____________________.
解析：由根与系数关系得α＋β＝－，所以α＋β＝＝(2－2) ＝23＝8.
答案：8
7．若 ＋＝0，则(x2019)y＝________.
解析：∵＋＝0，
∴＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
∴x＝－1，y＝－3.
∴(x2019)y＝[(－1)2019]－3＝(－1)－3＝－1.
答案：－1
三、解答题
8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)a2； (2)·；
(3)()2·； (4) .
解析：(1)原式＝a2a＝a＝a.
(2)原式＝a·a＝a＝a.
(3)原式＝(a)2·(ab3) ＝a·ab＝ab＝ab.
(4)原式＝a2·a＝a＝a.
9．计算下列各式：
(1)0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75；
(2) －(－9.6)0－＋(－1.5)－2；
(3) ＋0.002－10(－2)－1＋(－)0.
解析：(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(2)原式＝－1－＋－2＝－1－－2＋2＝.
(3)原式＝(－1) ·＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
[尖子生题库]
10．已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.
解析：(1)将a＋a＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，
则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，
得a2＋a－2＋2＝9，
则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2
＝(a2＋a－2)2－4
＝72－4
＝45，
所以y＝±3，
即a2－a－2＝±3.
