4．2 指数函数
第1课时 指数函数的概念
最新课程标准：
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
知识点一 指数函数的定义
函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.
指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
知识点二 指数函数的图象与性质
a>1
0
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0[教材解难]
规定底数a>0且a≠1的理由
(1)如果a＝0，则
(2)如果a<0，比如y＝(－2)x，这时对于x＝，，，，…在实数范围内函数值不存在．
(3)如果a＝1，那么y＝1x＝1是常量，对此就没有研究的必要．
[基础自测]
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.
答案：B
3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.
答案：A
4．函数f(x)＝的值域为________．
解析：由1－ex≥0得ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}，所以0答案：[0,1)
题型一 指数函数概念的应用[经典例题]
例1 (1)若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C.
D．(－∞，1)
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________．
【解析】 (1)由已知，得0<2a－1<1，则(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
【答案】 (1)C (2)64
(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1.
(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2，)求a，最后求值．
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
跟踪训练1 (1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x ②y＝2x－1 ③y＝x ④y＝xx ⑤y＝3 ⑥y＝x.
解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则解得a<且a≠1.
(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：(1)(－∞，1)∪ (2)③
1.指数函数系数为1.
2．底数>0且≠1.
题型二 指数函数[教材P114例1]
例2 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
【解析】 因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π.
所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝π＝，f(－3)＝π－1＝.
要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式，即先求a的值．
教材反思
求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．
跟踪训练2 若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．
所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.
设f(x)＝ax，代入(2,9)求出a.
一、选择题
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝2x－1.
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确．
答案：B
2．已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(4)的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．81
解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正确．
答案：C
3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( )
A. B．[－1,1]
C. D．[0,1]
解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故选C.
答案：C
4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是( )
解析：需要对a讨论：
①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0答案：B
二、填空题
5．下列函数中：
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝3；⑤y＝x.
是指数函数的是________(填序号)．
解析：①中指数式的系数不为1；②中y＝2x－1＝·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．
答案：③
6．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________.
解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
因为f(x)过点，
所以＝a－2，
所以a＝4.
所以f(x)＝4x，
所以f＝4＝.
答案：
7．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．
解析：因为2x＝a－1有负根，
所以x<0，
所以0<2x<1.
所以0所以1答案：(1,2)
三、解答题
8．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．
解析：由指数函数的定义知
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝.
解析：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2≠1；故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2.
故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]．
[尖子生题库]
10．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
课件22张PPT。第2课时 指数函数的图象和性质[基础自测]
1．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.
答案：D
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5
解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
3．已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为( )
解析：方法一 y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝x与y3＝10－x＝x单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
方法二 y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝x与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.
答案：A
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P(1,5)．
答案：(1,5)
题型一 利用指数的单调性比较大小[教材P117例3]
例1 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.8－，0.8－；
(3)1.70.3,0.93.1.
【解析】 (1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．
因为底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x是增函数．
因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
(2)同(1)理，因为0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x是减函数．
因为－＞－，所以0.8－＜0.8－.
(3)由指数函数的性质知
1．70.3＞1.70＝1，
0．93.1＜0.90＝1，
所以1.70.3＞0.93.1.
对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3)，1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y＝1.7x和y＝0.9x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来.
教材反思
1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．
2．比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(1)－1.8与－2.5；
(2)－0.5与－0.5；
(3)0.20.3与0.30.2.
解析：(1)因为0＜＜1，所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以－1.8＜－2.5.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得－0.5＞－0.5.
(3)因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2＜0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2.
底数相同，指数不同；
底数不同，指数相同；
底数不同，指数不同．
题型二 指数函数的图象问题
例2 (1)如图所示是下列指数函数的图象：
①y＝ax ②y＝bx
③y＝cx ④y＝dx
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
(2)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．
【解析】 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
(2)当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
【答案】 (1)B (2)(3，－1)
1．先由a＞1,0＜a＜1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象．
2．由y＝ax过定点(0,1)来求f(x)过定点．
方法归纳
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
跟踪训练2 (1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定在( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
(2)∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图象如右图所示．
答案： (1)C (2)A
由底数的范围判断函数图象 .
题型三 解简单的指数不等式
例3 (1)不等式3x－2＞1的解为________．
(2)若ax＋1＞5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】 (1)3x－2＞1?3x－2＞30?x－2＞0?x＞2，所以解为(2，＋∞)．
(2)因为ax＋1＞5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
【答案】 (1)(2，＋∞) (2)见解析
首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围.
方法归纳
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
跟踪训练3 (1)解不等式≤3；
(2)已知(a2＋2a＋3)x＞(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．
解析：(1) ＝(3－1) ＝3，
∴原不等式等价于 3≤31.
∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．
∴x＞1－x，解得x＞.
∴x的取值范围是.
(1)化成同底，确定指数函数的单调性．
(2)判断a2＋2a＋3的范围．
题型四 指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
【解析】 (1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.
因为x1＜x2，
所以2－2＜0，
又(1＋2)(1＋2)＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝－＝，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
(1)用定义法证明函数的单调性需4步：
①取值；②作差变形；③定号；④结论．
(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值．
方法归纳
(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；
(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．
跟踪训练4 已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数f(x)的值域．
解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝2＋－＝(2－2)＋＝(2－2)＋＝(2－2)＝(2－2)·，
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，
所以2＜2，2＞1，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)≥f(0)＝2.
故函数f(x)的值域为[2，＋∞)．
(1)由偶函数求a.
(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(3)利用单调性求最值，得值域．
一、选择题
1．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x＞0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，
故选D.
答案：D
2．函数y＝a|x|(0解析：y＝a|x|(0答案：C
3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.
答案：B
4．设x＞0，且1＜bx＜ax，则( )
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a D．1＜a＜b
解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.
∵bx＜ax，∴x＞1，又x＞0，∴＞1，
∴a＞b，即1＜b＜a.
答案：C
二、填空题
5．三个数，，中，最大的是________，最小的是________．
解析：因为函数y＝x在R上是减函数，
所以＞，
又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方，
所以＞.即＞＞.
答案：
6．函数y＝的单调增区间是________．
解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.
当x≤2时，t随x增大而减小，
则y增大，即y＝的单调增区间为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
7．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝a－x＝x，
∵f(－2)＞f(－3)，
∴－2＞－3，即a2＞a3.
∴a＜1，即0＜a＜1.
答案：(0,1)
三、解答题
8．比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1与1.8－0.2；
(2)1.90.3与0.73.1；
(3)a1.3与a2.5(a＞0，且a≠1)．
解析：(1)由于1.8＞1，所以指数函数y＝1.8x，在R上为增函数．所以1.8－0.1＞1.8－0.2.
(2)因为1.90.3＞1,0.73.1＜1，所以1.90.3＞0.73.1.
(3)当a＞1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3＜a2.5，
当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3＞a2.5.
故当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5，当a＞1时，a1.3＜a2.5.
9．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式2x＞2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
解析：由≥0，解得x≤－2或x＞1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
2x＞2－a－x?2x＞a＋x?2x＜a＋x?x＜a，所以B＝(－∞，a)．
因为A∩B＝B，所以B?A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)＜2，求a的取值范围．
解析：当a＞1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递增，
此时f(x)≤f(2)＝a2，
由题意可知a2＜2，即a＜，所以1＜a＜.
当0＜a＜1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递减，
此时f(x)≤f(－2)＝a－2，
由题意可知a－2＜2，即a＞，所以＜a＜1.
综上所述，所求a的取值范围是∪(1，)．
课件36张PPT。
一、选择题
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝2x－1.
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确．
答案：B
2．已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(4)的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．81
解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正确．
答案：C
3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( )
A. B．[－1,1]
C. D．[0,1]
解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故选C.
答案：C
4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是( )
解析：需要对a讨论：
①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0答案：B
二、填空题
5．下列函数中：
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝3；⑤y＝x.
是指数函数的是________(填序号)．
解析：①中指数式的系数不为1；②中y＝2x－1＝·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．
答案：③
6．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________.
解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
因为f(x)过点，
所以＝a－2，
所以a＝4.
所以f(x)＝4x，
所以f＝4＝.
答案：
7．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．
解析：因为2x＝a－1有负根，
所以x<0，
所以0<2x<1.
所以0所以1答案：(1,2)
三、解答题
8．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．
解析：由指数函数的定义知
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝.
解析：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2≠1；故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2.
故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]．
[尖子生题库]
10．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
一、选择题
1．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x＞0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，
故选D.
答案：D
2．函数y＝a|x|(0解析：y＝a|x|(0答案：C
3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.
答案：B
4．设x＞0，且1＜bx＜ax，则( )
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a D．1＜a＜b
解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.
∵bx＜ax，∴x＞1，又x＞0，∴＞1，
∴a＞b，即1＜b＜a.
答案：C
二、填空题
5．三个数，，中，最大的是________，最小的是________．
解析：因为函数y＝x在R上是减函数，
所以＞，
又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方，
所以＞.即＞＞.
答案：
6．函数y＝的单调增区间是________．
解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.
当x≤2时，t随x增大而减小，
则y增大，即y＝的单调增区间为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
7．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝a－x＝x，
∵f(－2)＞f(－3)，
∴－2＞－3，即a2＞a3.
∴a＜1，即0＜a＜1.
答案：(0,1)
三、解答题
8．比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1与1.8－0.2；
(2)1.90.3与0.73.1；
(3)a1.3与a2.5(a＞0，且a≠1)．
解析：(1)由于1.8＞1，所以指数函数y＝1.8x，在R上为增函数．所以1.8－0.1＞1.8－0.2.
(2)因为1.90.3＞1,0.73.1＜1，所以1.90.3＞0.73.1.
(3)当a＞1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3＜a2.5，
当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3＞a2.5.
故当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5，当a＞1时，a1.3＜a2.5.
9．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式2x＞2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
解析：由≥0，解得x≤－2或x＞1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
2x＞2－a－x?2x＞a＋x?2x＜a＋x?x＜a，所以B＝(－∞，a)．
因为A∩B＝B，所以B?A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)＜2，求a的取值范围．
解析：当a＞1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递增，
此时f(x)≤f(2)＝a2，
由题意可知a2＜2，即a＜，所以1＜a＜.
当0＜a＜1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递减，
此时f(x)≤f(－2)＝a－2，
由题意可知a－2＜2，即a＞，所以＜a＜1.
综上所述，所求a的取值范围是∪(1，)．
