4.3.2 对数的运算
知识点一 对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
知识点二 对数换底公式
logab＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．
特别地：logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．
对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba＝1，即＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .
(2)logNMm＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
[教材解难]
换底公式的推导
设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.
所以x＝，即logab＝.
[基础自测]
1．下列等式成立的是( )
A．log2(8－4)＝log28－log24
B.＝log2
C．log28＝3log22
D．log2(8＋4)＝log28＋log24
解析：由对数的运算性质易知C正确．
答案：C
2.的值为( )
A. B．2
C. D.
解析：原式＝log39＝2.
答案：B
3．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：原式＝log5102＋log50.25
＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
答案：C
4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________．
解析：log32＝＝.
答案：
题型一 对数运算性质的应用[教材P124例3]
例1 求下列各式的值：
(1)lg ；
(2)log2(47×25)．
【解析】 (1)lg＝lg 100＝lg 100＝；
(2)log2(47×25)＝log247＋log225
＝7log24＋5log22
＝7×2＋5×1
＝19.
利用对数运算性质计算．
教材反思
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
跟踪训练1 (1)计算：lg＋2lg 2－－1＝________.
(2)求下列各式的值．
①log53＋log5
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50
③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解析：(1)lg＋2lg 2－－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
(2)①log53＋log5＝log5＝log51＝0.
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
③原式＝lg 25＋lg 8＋lg·lg(10×2)＋(lg 2)2
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
答案：(1)－1 (2)见解析
利用对数运算性质化简求值．
题型二 对数换底公式的应用[经典例题]
例2 (1)已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为( )
A．36 B．6
C．2 D.
(2)计算下列各式：
①log89·log2732.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－.
③64＋lg 4＋2lg 5.
【解析】 (1)因为2x＝3y＝a，
所以x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2，
所以a2＝6，解得a＝±.
又a＞0，所以a＝.
(2)①log89·log2732＝·
＝·＝·＝.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－＝lg 16＋lg 5－lg 8－＝lg－＝1－＝.
③64＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.
【答案】 (1)D (2)见解析
1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．
2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.
跟踪训练2 (1)式子log916·log881的值为( )
A.18 B.
C. D.
(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于( )
A. B.
C. D．以上都不对
解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.
(2)原式＝·
＝·
＝×log32＝.
答案：(1)C (2)B
利用换底公式化简求值．
题型三 用已知对数表示其他对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
解析：方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.
方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝＝＝＝.
方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．
方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值.
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练3 (1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)
(2)①已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528.
②设3x＝4y＝36，求＋的值．
解析：(1)lg 5＝＝＝.
(2)①∵log147＝a,14b＝5，
∴b＝log145.
∴log3528＝＝
＝＝.
②∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝log363，
＝＝＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
答案：(1) (2)① ②1
(1)利用换底公式化简．
(2)利用对数运算性质化简求值．
课时作业 22
一、选择题
1．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子：
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．
答案：A
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12
C．log6 D.
解析：log612－2log6＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.
答案：C
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：＝＝＝.
答案：C
4．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3 B．9
C．18 D．27
解析：原式可化为log8m＝，＝，
即lg m＝，lg m＝lg 27，m＝27.
故选D.
答案：D
二、填空题
5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
答案：4 －3
6．若log5·log36·log6x＝2，则x等于________．
解析：由换底公式，
得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
答案：
7.·(lg 32－lg 2)＝________.
解析：原式＝×lg＝·lg 24＝4.
答案：4
三、解答题
8．化简：(1)；
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋2.
解析：(1)方法一 (正用公式)：
原式＝
＝＝.
方法二 (逆用公式)：
原式＝
＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2.
9．计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
解析：(1)log1627log8132＝×
＝×＝×＝.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝
＝log32×log23＝××＝.
[尖子生题库]
10．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.
证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk6＝logk2＋logk3，
∴＝＋.
课件30张PPT。
