(新教材)人教A版必修第一册(课件30张PPT+学案+课时作业)4.3.2 对数的运算

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名称 (新教材)人教A版必修第一册(课件30张PPT+学案+课时作业)4.3.2 对数的运算
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文件大小 464.3KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2019-09-14 21:06:39

文档简介

4.3.2 对数的运算
知识点一 对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(M·N)=logaM+logaN,
(2)loga=logaM-logaN,
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
 对数的这三条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立 . 例如,log2[(-3)·(-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误的.
知识点二 对数换底公式
logab=(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0).
特别地:logab·logba=1(a>0,a≠1,b>0,b≠1).
 对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba=1,即=logba ,此公式表示真数与底数互换,所得的对数值与原对数值互为倒数 .
(2)logNMm=logNM,此公式表示底数变为原来的n次方,真数变为原来的m次方,所得的对数值等于原来对数值的倍.
[教材解难]
换底公式的推导
 设x=logab,化为指数式为ax=b,两边取以c为底的对数,得logcax=logcb,即xlogca=logcb.
所以x=,即logab=.
[基础自测]
1.下列等式成立的是(  )
A.log2(8-4)=log28-log24
B.=log2
C.log28=3log22
D.log2(8+4)=log28+log24
解析:由对数的运算性质易知C正确.
答案:C
2.的值为(  )
A.  B.2
C. D.
解析:原式=log39=2.
答案:B
3.2log510+log50.25=(  )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析:原式=log5102+log50.25
=log5(102×0.25)=log525=2.
答案:C
4.已知ln 2=a,ln 3=b,那么log32用含a,b的代数式表示为________.
解析:log32==.
答案:
题型一 对数运算性质的应用[教材P124例3]
例1 求下列各式的值:
(1)lg ;
(2)log2(47×25).
【解析】 (1)lg=lg 100=lg 100=;
(2)log2(47×25)=log247+log225
=7log24+5log22
=7×2+5×1
=19.
利用对数运算性质计算.
教材反思
1.对于同底的对数的化简,常用方法是:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.
跟踪训练1 (1)计算:lg+2lg 2--1=________.
(2)求下列各式的值.
①log53+log5
②(lg 5)2+lg 2·lg 50
③lg 25+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
解析:(1)lg+2lg 2--1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.
(2)①log53+log5=log5=log51=0.
②(lg 5)2+lg 2·lg 50
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2+lg 2·lg 5
=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2
=lg 5+lg 2=lg 10=1.
③原式=lg 25+lg 8+lg·lg(10×2)+(lg 2)2
=lg 25+lg 4+(lg 10-lg 2)(lg 10+lg 2)+(lg 2)2
=lg 100+(lg 10)2-(lg 2)2+(lg 2)2=2+1=3.
答案:(1)-1 (2)见解析
利用对数运算性质化简求值.
题型二 对数换底公式的应用[经典例题]
例2 (1)已知2x=3y=a,+=2,则a的值为(  )
A.36  B.6
C.2 D.
(2)计算下列各式:
①log89·log2732.
②2lg 4+lg 5-lg 8-.
③64+lg 4+2lg 5.
【解析】 (1)因为2x=3y=a,
所以x=log2a,y=log3a,
所以+=+=loga2+loga3=loga6=2,
所以a2=6,解得a=±.
又a>0,所以a=.
(2)①log89·log2732=·
=·=·=.
②2lg 4+lg 5-lg 8-=lg 16+lg 5-lg 8-=lg-=1-=.
③64+lg 4+2lg 5=4+lg(4×52)=4+2=6.
【答案】 (1)D (2)见解析
 1.先把指数式化为对数式,再用换底公式,把所求式化为同底对数式,最后用对数的运算性质求值.
2.先用换底公式将式子变为同底的形式,再用对数的运算性质计算并约分.
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般来讲,对数的底越小越便于化简,如an为底的换为a为底.
(2)换底公式的派生公式:logab=logac·logcb;loganbm=logab.
跟踪训练2 (1)式子log916·log881的值为(  )
A.18  B.
C. D.
(2)(log43+log83)(log32+log98)等于(  )
A. B.
C. D.以上都不对
解析:(1)原式=log3224·log2334=2log32·log23=.
(2)原式=·
=·
=×log32=.
答案:(1)C (2)B
利用换底公式化简求值.
题型三 用已知对数表示其他对数
例3 已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
解析:方法一 因为log189=a,所以9=18a.
又5=18b,
所以log3645=log2×18(5×9)=log2×1818a+b=(a+b)·log2×1818.
又因为log2×1818=====,所以原式=.
方法二 ∵18b=5,∴log185=b.
∴log3645======.
 方法一 对数式化为指数式,再利用对数运算性质求值.
方法二 先求出a、b,再利用换底公式化简求值.
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值,要注意以下几点:
(1)增强目标意识,合理地把所求向已知条件靠拢,巧妙代换;
(2)巧用换底公式,灵活“换底”是解决这种类型问题的关键;
(3)注意一些派生公式的使用.
跟踪训练3 (1)已知log62=p,log65=q,则lg 5=________;(用p,q表示)
(2)①已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.
②设3x=4y=36,求+的值.
解析:(1)lg 5===.
(2)①∵log147=a,14b=5,
∴b=log145.
∴log3528==
==.
②∵3x=36,4y=36,
∴x=log336,y=log436,
∴===log363,
===log364,
∴+=2log363+log364=log36(9×4)=1.
答案:(1) (2)① ②1
(1)利用换底公式化简.
(2)利用对数运算性质化简求值.
课时作业 22
一、选择题
1.若a>0,a≠1,x>y>0,下列式子:
①logax·logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y);③loga=logax÷logay;④loga(xy)=logax·logay.其中正确的个数为(  )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:根据对数的性质知4个式子均不正确.
答案:A
2.化简log612-2log6的结果为(  )
A.6 B.12
C.log6 D.
解析:log612-2log6=(1+log62)-log62=(1-log62)=log63=log6.
答案:C
3.设lg 2=a,lg 3=b,则=(  )
A. B.
C. D.
解析:===.
答案:C
4.若log34·log8m=log416,则m等于(  )
A.3 B.9
C.18 D.27
解析:原式可化为log8m=,=,
即lg m=,lg m=lg 27,m=27.
故选D.
答案:D
二、填空题
5.lg 10 000=________;lg 0.001=________.
解析:由104=10 000知lg 10 000=4,10-3=0.001得lg 0.001=-3,注意常用对数不是没有底数,而是底数为10.
答案:4 -3
6.若log5·log36·log6x=2,则x等于________.
解析:由换底公式,
得··=2,
lg x=-2lg 5,x=5-2=.
答案:
7.·(lg 32-lg 2)=________.
解析:原式=×lg=·lg 24=4.
答案:4
三、解答题
8.化简:(1);
(2)(lg 5)2+lg 2lg 50+2.
解析:(1)方法一 (正用公式):
原式=
==.
方法二 (逆用公式):
原式=
==.
(2)原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)+21·2=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2+2=1+2.
9.计算:(1)log1627log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
解析:(1)log1627log8132=×
=×=×=.
(2)(log32+log92)(log43+log83)
=
=
=log32×log23=××=.
[尖子生题库]
10.已知2x=3y=6z≠1,求证:+=.
证明:设2x=3y=6z=k(k≠1),
∴x=log2k,y=log3k,z=log6k,
∴=logk2,=logk3,=logk6=logk2+logk3,
∴=+.
课件30张PPT。