4．4 对数函数
最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
知识点一 对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二 对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
定义域(0，＋∞)
值域R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
知识点三 反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
[教材解难]
1．教材P130思考
根据指数与对数的关系，由y＝ (x≥0)得到x＝logy(0＜y≤1)．如图，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)(0＜y0≤1)作x轴的平行线，与y＝ (x≥0)的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这就说明，对于任意一个y∈(0,1]，通过对应关系x＝logy，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数x＝logy，y∈(0,1]刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．
2．教材P132思考
利用换底公式，可以得到y＝logx＝－log2x.因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)都在y＝logx的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log2x的图象画出y＝logx的图象．
3．教材P138思考
一般地，虽然对数函数y＝logax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx.
4．4.1 对数函数的概念
[基础自测]
1．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝logx B．y＝log (x＋1)
C．y＝2logx D．y＝logx＋1
解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
2．函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln(1－x)的定义域为[0,1)．
答案：B
3．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是( )
解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；
又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．
答案：A
4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．
解析：因为f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，
所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.
答案：[1，log23]
题型一 对数函数的概念
例1 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；
(5)y＝log6x.
【解析】 (1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数.
用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1 若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.
答案：1
对数函数y＝logax系数为1.
题型二 求函数的定义域[教材P130例1]
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．
【解析】 (1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}.
真数大于0.
教材反思
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
解析：(1)要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数有意义，需∴
∴定义域为(2,3)∪(3,5)．
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
题型三 对数函数的图象问题
例3 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的( )
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________.
(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
【解析】 (1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3－＝2－＝.
(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
【答案】 (1)C (2) (3)b＞a＞1＞d＞c
(1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．
(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图象的问题时要注意
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.
(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.
跟踪训练3
(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )
解析：(1)方法一 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A.
方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，.故选A.
增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1.
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
先去绝对值，再利用单调性判断.
答案：(1)A (2)A
课时作业 23
一、选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)
D．y＝ln x
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)，则2＝loga4即a2＝4得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.
答案：A
3．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
答案：D
4．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的( )
解析：由函数y＝loga(－x)有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C.又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．
答案：B
二、填空题
5．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.
解析：由对数函数的定义可知
，∴a＝5.
答案：5
6．已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________.
解析：f＋f(15)＝log3＋log315＝log327＝3.
答案：3
7．函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f(2)＝loga1＝0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2,0)．
答案：(2,0)
三、解答题
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7.
解析：(1)由1－x＞0，得x＜1，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)由log2x≠0，得x＞0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
(3)由＞0，得x＜.
∴函数y＝log7的定义域为.
9．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围．
解析：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，
解得x＝2.
由图象知，当0＜a＜2时，
恒有f(a)＜f(2)．∴所求a的取值范围为0＜a＜2.
[尖子生题库]
10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2(x＋1)的图象？y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
解析：y＝log2xy＝log2(x＋1)，如图．
定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0,0)．
课件33张PPT。4.4.1 对数函数的概念 课时作业 22
一、选择题
1．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子：
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．
答案：A
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12
C．log6 D.
解析：log612－2log6＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.
答案：C
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：＝＝＝.
答案：C
4．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3 B．9
C．18 D．27
解析：原式可化为log8m＝，＝，
即lg m＝，lg m＝lg 27，m＝27.
故选D.
答案：D
二、填空题
5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
答案：4 －3
6．若log5·log36·log6x＝2，则x等于________．
解析：由换底公式，
得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
答案：
7.·(lg 32－lg 2)＝________.
解析：原式＝×lg＝·lg 24＝4.
答案：4
三、解答题
8．化简：(1)；
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋2.
解析：(1)方法一 (正用公式)：
原式＝
＝＝.
方法二 (逆用公式)：
原式＝
＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2.
9．计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
解析：(1)log1627log8132＝×
＝×＝×＝.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝
＝log32×log23＝××＝.
[尖子生题库]
10．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.
证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk6＝logk2＋logk3，
∴＝＋.
课时作业 23
一、选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)
D．y＝ln x
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)，则2＝loga4即a2＝4得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.
答案：A
3．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
答案：D
4．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的( )
解析：由函数y＝loga(－x)有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C.又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．
答案：B
二、填空题
5．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.
解析：由对数函数的定义可知
，∴a＝5.
答案：5
6．已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________.
解析：f＋f(15)＝log3＋log315＝log327＝3.
答案：3
7．函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f(2)＝loga1＝0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2,0)．
答案：(2,0)
三、解答题
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7.
解析：(1)由1－x＞0，得x＜1，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)由log2x≠0，得x＞0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
(3)由＞0，得x＜.
∴函数y＝log7的定义域为.
9．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围．
解析：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，
解得x＝2.
由图象知，当0＜a＜2时，
恒有f(a)＜f(2)．∴所求a的取值范围为0＜a＜2.
[尖子生题库]
10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2(x＋1)的图象？y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
解析：y＝log2xy＝log2(x＋1)，如图．
定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0,0)．
