5.1 任意角和弧度制
最新课程标准：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．
5.1.1 任意角
知识点一 角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．
(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”
知识点二 角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
知识点三 角的分类
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
知识点四 象限角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点五 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．
[教材解难]
象限角的集合表示.
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限角
{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}
第三象限角
{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}
第四象限角
{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}
[基础自测]
1．下列说法中正确的是( )
A．终边相同的角都相等 B．钝角是第二象限的角
C．第一象限的角是锐角 D．第四象限的角是负角
解析：终边相同的角不一定相等，第一象限角不一定是锐角，第四象限角可能为正角，也可能为负角，故选B.
答案：B
2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.
答案：B
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈ Z}
B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
答案：A
4．2 019°是第________象限角．
解析：2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.
∴2 019°是第三象限角．
答案：三
题型一 任意角的概念及应用[经典例题]
例1 (1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
【解析】 (1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×2＝－960°.
【答案】 (1)C (2)－960°
按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的．
分针1个小时转过的角度的绝对值是360 °.
方法归纳
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1 在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________．
解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．
②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．
④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．
答案：①②④
题型二 终边相同的角[经典例题]
例2 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．
【解析】 与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角．
根据与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360 °＋α，k∈Z}，写出与75 °角终边相同的角的集合，再取适当的k值，求出360 °～1 080 °范围内的角．
方法归纳
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．
(1)60°；
(2)－210°；
(3)364°13′.
解析：(1)S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.
(2)S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.
(3)S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.
求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360 °＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．
题型三 象限角与区间角的表示[教材P170例1]
例3 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【解析】 －950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
先求出与－950 °12 ′终边相同的角，再判断是第几象限角．
教材反思
象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
跟踪训练3 (1)若α是第四象限角，则－α一定在( )
A.第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
解析：(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，
由此可知－α是第一象限角．
依题意写出α的范围，再求－α的范围．
(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.
所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，
30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.
故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．
由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.
答案：(1)A (2)见解析
一、选择题
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )
A．45° B．90°
C．180° D．270°
解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
答案：B
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120°
C．240° D．－240°
解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.
答案：C
4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.
答案：C
二、填空题
5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.
答案：390° －150° 60°
6．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.
解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，所以α＝k·360°(k∈Z)，
因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.
答案：0°
7．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
三、解答题
8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．
9．已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角．
解析：由α＝240°＋k·360°，k∈Z，
得＝120°＋k·180°，k∈Z.
若k为偶数，设k＝2n，n∈Z，
则＝120°＋n·360°，n∈Z，与120°角的终边相同，是第二象限角；
若k为奇数，设k＝2n＋1，n∈Z，
则＝300°＋n·360°，n∈Z，与300°角的终边相同，是第四象限角．
所以，是第二象限角或第四象限角．
[尖子生题库]
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
课件27张PPT。
一、选择题
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )
A．45° B．90°
C．180° D．270°
解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
答案：B
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120°
C．240° D．－240°
解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.
答案：C
4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.
答案：C
二、填空题
5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.
答案：390° －150° 60°
6．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.
解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，所以α＝k·360°(k∈Z)，
因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.
答案：0°
7．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
三、解答题
8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．
9．已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角．
解析：由α＝240°＋k·360°，k∈Z，
得＝120°＋k·180°，k∈Z.
若k为偶数，设k＝2n，n∈Z，
则＝120°＋n·360°，n∈Z，与120°角的终边相同，是第二象限角；
若k为奇数，设k＝2n＋1，n∈Z，
则＝300°＋n·360°，n∈Z，与300°角的终边相同，是第四象限角．
所以，是第二象限角或第四象限角．
[尖子生题库]
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
