5.3 诱导公式
最新课程标准：(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.(2)掌握六组诱导公式并能灵活运用．
第1课时 诱导公式(一)
知识点
诱导公式一～四的理解
(1)公式一～四中角α是任意角．
(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．
(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.
[教材解难]
教材P190思考
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
[基础自测]
1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )
A．α一定是锐角
B．0≤α<2π
C．α一定是正角
D．α是使公式有意义的任意角
解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．
答案：D
2．sin 600°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.
答案：D
3．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，sin(4π－α)＝－sin α＝－.
答案：A
4．化简：＝________.
解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
题型一 给角求值问题[经典例题]
例1 (1)sinπ·cosπ·tan的值是( )
A.－ B.
C．－ D.
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°.
②sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
【解析】 (1)sinπ·cosπ·tan
＝sincostan
＝－sin·tan
＝－··(－)＝－.
(2)①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)
＝sin 30°·(－cos30°)＝×＝－.
②sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)
＝－sin 1 200°·－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)
＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°)
＝－×(－1)＝.
答案：(1)A (2)①－ ②
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
方法归纳
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”；
(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 (1)sin＋tan的值为( )
A. B．－
C．－ D.
(2)sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.
解析：(1)原式＝－sin＋tan＝－＋＝－.故选C.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin 30°＝2－2＋＝.
答案：(1)C (2)
首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．
题型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值[经典例题]
例2 若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于( )
A.－ B．－
C．－ D.
【解析】 因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－，
又α∈，所以cos α＝ ＝.
所以tan α＝＝－＝－.
所以tan(π－α)＝－tan α＝.故选D.
【答案】 D
将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值．
方法归纳
解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2 已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为sin α＝且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.所以tan(π＋α)＝tan α＝－.故选D.
答案：D
先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值．
题型三 三角函数式的化简与证明[教材P190例2]
例3 化简.
解析：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)]
＝－tan(180°＋α)＝－tan α，
cos(－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]
＝cos(180°－α)＝－cos α，
所以原式＝＝－cos α.
→
教材反思
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
跟踪训练3 证明：＝tan α.
解析：证明：
＝＝tan α.
证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异. 能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．
思路方法 分类讨论思想在三角函数中的应用
例 证明：＝(－1)ncos α，n∈Z.
证明：当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
左边＝
＝＝＝cos α.
右边＝(－1)2kcos α＝cos α，∴左边＝右边．
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，
左边＝
＝＝
＝＝－cos α.
右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．
综上所述，＝(－1)ncos α，n∈Z成立．
点评：解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论．常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin α(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)等．
课时作业 31
一、选择题
1．sin 480°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°
＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
答案：B
2．已知sin(π＋θ)＝，则角θ的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
解析：∵sin(π＋θ)＝＝－sin θ，∴sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.
答案：D
3．下列各式不正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sin α B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin α D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B不正确．
答案：B
4．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．±
C. D．－
解析：由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角)．
答案：D
二、填空题
5．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－225°)＝________.
解析：(1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.
答案：(1)－ (2)－1
6．若sin(－α)＝，α∈，则cos(π＋α)＝________.
解析：∵sin(－α)＝，∴sin α＝－.∵α∈，
∴cos α＝＝，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案：－
7．若f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
解析：f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sin π＝0，f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin 2π＝0，f(7)＝sin＝sin＝f(1)，f(8)＝f(2)，……，∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＋336×0＝.
答案：
三、解答题
8．求下列各三角函数值：
(1)sin 1 200°；(2)cosπ；(3)sin；
(4)tan(－855°)．
解析：(1)sin 1 200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
(2)cosπ＝cos＝cosπ＝cos＝cos＝.
(3)sin＝－sin＝－sin
＝－sin＝－.
(4)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.
9．若cos α＝，α是第四象限角，求
的值．
解析：由已知cos α＝，α是第四象限角得sin α＝－，
故
＝＝＝－＝.
[尖子生题库]
10．求sin·cos(n∈Z)的值．
解析：方法一 ①当n为奇数时，原式＝sin·(－cos)＝sin·＝sin·cos＝×＝.
②当n为偶数时，原式＝sin·cos＝sin·cos＝sin·＝×＝－.
综上可知，原式＝(－1)n＋1.
方法二 原式＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)n·(－cos)＝(－1)n××＝(－1)n＋1.
课件26张PPT。第2课时 诱导公式(二)
知识点 诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
[教材解难]
准确记忆六组诱导公式
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．
(2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．
[基础自测]
1．化简：sin＝( )
A．sin x B．cos x
C．－sin x D．－cos x
解析：sin＝sin＝sin
＝cos x
答案：B
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
答案：B
3．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
答案：B
4．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
题型一 利用诱导公式求值[教材P193例5]
例1 已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．
解析：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β.于是sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.
因为－270°<α<－90°，所以143°<β<323°.
由sin β＝>0，得143°<β<180°.
所以cos β＝－＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝sin γ＝－.
注意到(53 °－α)＋(37 °＋α)＝90 °，如果设β＝53 °－α，γ＝37 °＋α，那么β＋γ＝90 °，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．
教材反思
利用诱导公式五、六求值的三个关注点
(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．
(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．
提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．
跟踪训练1 若cos(π＋α)＝－，且α∈，则tan＝________.
解析：因为cos(π＋α)＝－，所以cos α＝，因为α∈，所以sin α＝－＝－，
所以tan＝tan＝tan＝＝＝＝＝.
答案：
由cos(π＋α)可求出cos α，进而可求sin α，tan可化为sin α，cos α的关系．
题型二 利用诱导公式证明恒等式[经典例题]
例2 求证：＝.
【解析】 证明：右边＝
＝
＝
＝
＝＝＝左边，
所以原等式成立.
等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．
(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．
(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.
跟踪训练2 求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.
解析：证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．
等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．
题型三 诱导公式的综合应用[经典例题]
例3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)．
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【解析】 (1)f(α)＝＝＝－cos α.
(2)因为cos＝，又cos＝cos ＝－sin α，即sin α＝－，而α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－＝－，所以
f(α)＝－cos α＝.
(3)α＝－π时，f(α)＝－cos α＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．
方法归纳
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练3 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．
解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2.
首先注意α的范围．求出a的范围与值再利用诱导公式求值．
课时作业 32
一、选择题
1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos(π＋A)＝－cos A＝－，
∴cos A＝，
∴sin＝cos A＝.
答案：B
2．下列式子与sin相等的是( )
A．sin B．cos
C．cos D．sin
解析：因为sin＝－sin＝－cos θ，
对于A，sin＝cos θ；
对于B，cos＝－sin θ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sin θ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cos θ.
答案：D
3．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：＝＝＝＝－2.
答案：B
4．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sinB D．sin＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，
故A，B错；
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错；
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D对．
答案：D
二、填空题
5．若cos α＝－，且α是第三象限角，则cos＝________.
解析：因为cos α＝－，且α是第三象限角，所以sin α＝－，cos＝cos＝－sin α＝.
答案：
6．求＝________.
解析：原式＝
＝＝－tan α.
答案：－tan α
7．已知cos α＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析：sincostan(π－α)
＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α
＝1－2＝.
答案：
三、解答题
8．已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；
(2)sin
解析：(1)sin＝sin
＝cos＝.
(2)sin＝sin
＝－sin
＝－cos＝－.
9．化简：
(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解析：
(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cos αcos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋cos αcos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
[尖子生题库]
10．在△ABC中，已知sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又sin＝sin，∴sin＝sin，
∴sin＝sin，∴cos C＝cos B，
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
故△ABC为等腰三角形．
课件26张PPT。课时作业 31
一、选择题
1．sin 480°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°
＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
答案：B
2．已知sin(π＋θ)＝，则角θ的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
解析：∵sin(π＋θ)＝＝－sin θ，∴sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.
答案：D
3．下列各式不正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sin α B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin α D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B不正确．
答案：B
4．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．±
C. D．－
解析：由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角)．
答案：D
二、填空题
5．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－225°)＝________.
解析：(1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.
答案：(1)－ (2)－1
6．若sin(－α)＝，α∈，则cos(π＋α)＝________.
解析：∵sin(－α)＝，∴sin α＝－.∵α∈，
∴cos α＝＝，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案：－
7．若f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
解析：f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sin π＝0，f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin 2π＝0，f(7)＝sin＝sin＝f(1)，f(8)＝f(2)，……，∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＋336×0＝.
答案：
三、解答题
8．求下列各三角函数值：
(1)sin 1 200°；(2)cosπ；(3)sin；
(4)tan(－855°)．
解析：(1)sin 1 200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
(2)cosπ＝cos＝cosπ＝cos＝cos＝.
(3)sin＝－sin＝－sin
＝－sin＝－.
(4)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.
9．若cos α＝，α是第四象限角，求
的值．
解析：由已知cos α＝，α是第四象限角得sin α＝－，
故
＝＝＝－＝.
[尖子生题库]
10．求sin·cos(n∈Z)的值．
解析：方法一 ①当n为奇数时，原式＝sin·(－cos)＝sin·＝sin·cos＝×＝.
②当n为偶数时，原式＝sin·cos＝sin·cos＝sin·＝×＝－.
综上可知，原式＝(－1)n＋1.
方法二 原式＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)n·(－cos)＝(－1)n××＝(－1)n＋1.
课时作业 32
一、选择题
1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos(π＋A)＝－cos A＝－，
∴cos A＝，
∴sin＝cos A＝.
答案：B
2．下列式子与sin相等的是( )
A．sin B．cos
C．cos D．sin
解析：因为sin＝－sin＝－cos θ，
对于A，sin＝cos θ；
对于B，cos＝－sin θ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sin θ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cos θ.
答案：D
3．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：＝＝＝＝－2.
答案：B
4．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sinB D．sin＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，
故A，B错；
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错；
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D对．
答案：D
二、填空题
5．若cos α＝－，且α是第三象限角，则cos＝________.
解析：因为cos α＝－，且α是第三象限角，所以sin α＝－，cos＝cos＝－sin α＝.
答案：
6．求＝________.
解析：原式＝
＝＝－tan α.
答案：－tan α
7．已知cos α＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析：sincostan(π－α)
＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α
＝1－2＝.
答案：
三、解答题
8．已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；
(2)sin
解析：(1)sin＝sin
＝cos＝.
(2)sin＝sin
＝－sin
＝－cos＝－.
9．化简：
(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解析：
(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cos αcos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋cos αcos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
[尖子生题库]
10．在△ABC中，已知sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又sin＝sin，∴sin＝sin，
∴sin＝sin，∴cos C＝cos B，
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
故△ABC为等腰三角形．
