1.4 充分条件与必要条件
最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
知识点一 充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p?q，并且说，p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
知识点二 充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．
[教材解难]
1．教材P17思考
(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．
2．教材P18思考
不唯一，两组对边分别平行，一组对边平行且相等．
3．教材P19思考
不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．
4．教材P20思考
命题(1)(4)和它的逆命题是真命题．
命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．
命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．
5．教材P21探究
“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．
[基础自测]
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．
答案：B
2．设p：x<3，q：－1
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为(－1,3)?(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．
答案：C
3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A、B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A?B”，由“A?B”可得“A∩B＝A”，所以A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的充要条件．故选C.
答案：C
4．用符号“?”与“”填空：
(1)x2>1________x>1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1x>1.
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数?a＋b是偶数．
答案：(1) (2)?
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
[教材P18例1、P19例2]
例1 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
④若x2＝1，则x＝1；
⑤若a＝b，则ac＝bc；
⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．
(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；
③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
④若x＝1，则x2＝1；
⑤若ac＝bc，则a＝b；
⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．
【解析】 (1)①这是一条平行四边形的判定定理，p?q，所以p是q的充分条件．
②这是一条相似三角形的判定定理，p?q，所以p是q的充分条件．
③这是一条菱形的性质定理，p?q，所以p是q的充分条件．
④由于(－1)2＝1，但－1≠1，pq，所以p不是q的充分条件．
⑤由等式的性质知，p?q，所以p是q的充分条件．
⑥为无理数，但×＝2为有理数，pq，所以p不是q的充分条件．
p?q由充分条件的定义来判断．
(2)①这是平行四边形的一条性质定理，p?q，所以，q是p的必要条件．
②这是三角形相似的一条性质定理，p?q，所以，q是p的必要条件．
③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以，q不是p的必要条件．
④显然，p?q，所以，q是p的必要条件．
⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，pq，所以，q不是p的必要条件．
⑥ 由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，pq，所以，q不是p的必要条件.
p?q由必要条件的定义来判断．
教材反思
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1．定义法
(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．
(2)找推式：判断“p?q”及“q?p”的真假．
(3)根据推式及条件得出结论．
2．等价转化法
(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．
(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若綈p?綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若綈p?綈q，且綈q 綈p，则p是q的必要不充分条件；
若綈p?綈q，则p与q互为充要条件；
若綈p綈q，且綈q 綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．
4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．
5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解析：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件．
→
题型二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件)
[经典例题]
例2 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≥0
B．x<0或x>2
C. x∈{－1,3,5}
D．x≤－或x≥3
【解析】 由2x2－5x－3≥0，得x≥3或x≤－，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．
【答案】 C
方法归纳
本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－}?{x|x>2或x<0}，误选B.事实上，“不等式2x2－5x－3≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p使p?q且q p即可．
跟踪训练2 2x2－5x－3<0的必要不充分条件是( )
A．－B．0C．－1D．－解析：2x2－5x－3<0?－∵?，
∴－答案：D
使2x2－5x－3<0成立的x为－题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
[经典例题]
例3 已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
【解析】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝；
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p?q且q p，得M?N.
∴或
解得≤a<2或即所求a的取值范围是.
―→
方法归纳
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练3 已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．
解析：由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1则M＝{x|a－1又由x2－5x－24<0得－3则N＝{x|－3∵M是N的充分条件，∴M?N，
∴解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是－2≤a≤7.
先求M、N，再利用充分条件得M?N，即M?N来求a的取值范围．
课时作业 5
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A?B，所以a＝3?A?B；若A?B，则a＝2或a＝3，所以A?Ba＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．
答案：A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
答案：A
3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.
答案：B
4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，
∵q是p的充分不必要条件，
∴B?A，
∴a≥1.
答案：A
二、填空题
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；
(2)“x<5”是“x<3”的________．
解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A?B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．
答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件
6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．
解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．
解析：对称轴x＝－≤0，即b≥0.
答案：b≥0
三、解答题
8．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解析：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为p?q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A?B，所以p是q的充分不必要条件．
9．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．
解析：由命题p得：x>10或x<－2，
由命题q得：x2－2x＋1－m2>0(m>0)?[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]>0?x<1－m，或x>1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
所以p?q，且qp，{x|x>10或x<－2}?{x|x<1－m或x>1＋m(m>0)}，
所以两等号不能同时成立，解得即m≤3.
所以正实数m的取值范围为(0,3]．
[尖子生题库]
10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
解析：(1)a＝0时，可得x＝－，符合题意．
(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，
则解得a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足解得0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
课件29张PPT。课时作业 5
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A?B，所以a＝3?A?B；若A?B，则a＝2或a＝3，所以A?Ba＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．
答案：A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
答案：A
3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.
答案：B
4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，
∵q是p的充分不必要条件，
∴B?A，
∴a≥1.
答案：A
二、填空题
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；
(2)“x<5”是“x<3”的________．
解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A?B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．
答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件
6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．
解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．
解析：对称轴x＝－≤0，即b≥0.
答案：b≥0
三、解答题
8．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解析：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为p?q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A?B，所以p是q的充分不必要条件．
9．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．
解析：由命题p得：x>10或x<－2，
由命题q得：x2－2x＋1－m2>0(m>0)?[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]>0?x<1－m，或x>1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
所以p?q，且qp，{x|x>10或x<－2}?{x|x<1－m或x>1＋m(m>0)}，
所以两等号不能同时成立，解得即m≤3.
所以正实数m的取值范围为(0,3]．
[尖子生题库]
10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
解析：(1)a＝0时，可得x＝－，符合题意．
(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，
则解得a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足解得0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
