3.2.1 单调性与最大(小)值
最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
第1课时 函数的单调性
知识点一 定义域为I的函数f(x)的单调性
定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
[教材解难]
1．教材P77思考
f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；
f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．
2．教材P77思考
(1)不能 例如反比例函数f(x)＝－，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．
(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．
[基础自测]
1．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．
答案：A
2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m> B．m<
C．m>－ D．m<－
解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.
答案：B
3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是，故选D.
答案：D
4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．
解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.
答案：x1>x2
题型一 利用函数图象求单调区间[经典例题]
例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)
C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)
【解析】 在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．
【答案】 C
观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．
跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )
A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数
D．函数f(x)在[2,4]上是增函数
解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.
答案：A
根据图象上升或下降趋势判断．
题型二 函数的单调性判断与证明[教材P79例3]
例2 根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增．
【证明】 ?x1，x2∈(1，＋∞)，
且x1y1－y2＝－＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1)．
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1.
所以x1x2>1，x1x2－1>0.
又由x1于是(x1x2－1)<0，
即y1所以，函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增.
先根据单调性的定义任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1教材反思
利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键．
跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1∵－10，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
利用四步证明函数的单调性．
题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]
例3 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】 ∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
故a的取值范围为(－∞，－3]．
首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解.
方法归纳
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？
解析：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3.
求出函数的减区间，用端点值相等求出a.
一、选择题
1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．f(x)是R上的增函数
C．函数f(x)先减后增
D．函数f(x)是R上的减函数
解析：由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a答案：B
2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10
解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.
答案：D
3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是( )
A．(－∞，1] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：f(x)＝x|x－2|＝
作出f(x)简图如下：
由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．
答案：C
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
答案：C
二、填空题
5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是____________．
解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．
答案：[－1.5,3]和[5,6]
6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.
答案：(5，＋∞)
7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．
解析：画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．
答案：(－∞，0]，[2,4]
三、解答题
8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
解析：f(x)＝的图象如图所示．
由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．
[尖子生题库]
10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)解析：∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)∴解得1≤x<，
所以x的取值范围为1≤x<.
课件25张PPT。第2课时 函数的最值
知识点 函数的最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)?x∈I，都有f(x)≤M；
(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(maximum value)．
最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
[教材解难]
1．教材P80思考
函数f(x)的最大值包含“最大”和“值”两方面的含义．“最大”是指没有比它更大的，“值”是指一定是函数值．以f(x)＝－x2为例，画出其图象(图略)可以发现：所有函数值都不大于1，但1不是f(x)的某个函数值，因而1不是f(x)的最大值；存在x0使f(x0)＝－1，即－1是f(x)的某个函数值，但－1不是f(x)的函数值中最大的，因此也不是f(x)的最大值．两项要求均满足的函数值只能是0，即函数f(x)＝－x2的最大值为0.
2．教材P80思考
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝m.
那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值(minimum value)
[基础自测]
1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )
A．3,5 B．－3,5
C．1,5 D．－5,3
解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案：B
3．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．
答案：C
4．函数f(x)＝2x2－4x＋4有最________值，为________．
解析：f(x)＝2x2－4x＋4＝2(x2－2x＋1)＋2＝2(x－1)2＋2
答案：小 2
题型一 图象法求函数的最值[经典例题]
例1 如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.
当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解析：y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示．
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
利用x的不同取值先去绝对值，再画图．
题型二 利用单调性求函数的最大(小值)[教材P81例5]
例2 已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
【解析】 ?x1，x2∈[2,6]，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递减．
因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.
由函数f(x)＝(x∈[2,6])的图象(如图)可知，函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.
教材反思
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．
解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是单调递减的，所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
?1?判断函数的单调性.
?2?利用单调性求出最大?小?值.
解题思想方法 利用函数最值或分离参数求解恒
成立问题
例 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
设1≤x1∵1≤x10,2x1x2>2，
∴0<<，1－>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立?x2＋2x＋a>0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，
故a>－3.
【反思与感悟】 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：
a>f(x)恒成立?a>f(x)max，
a一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
解析：B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
3．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )
A．－1,3 B．0,2
C．－1,2 D．3,2
解析：当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.
答案：C
4．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值．故选A.
答案：A
二、填空题
5．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
6．函数y＝x＋的最小值为________．
解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝t2＋t＋1＝2＋，
当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.
答案：1
7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
答案：4
三、解答题
8．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；
单调递减区间为 .
(2)因为f＝，f()＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
[尖子生题库]
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．求f(x)的最小值．
解析：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，且函数图象开口向上，如下图所示：
当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，f(x)的最小值为
f(x)min＝
课件26张PPT。
一、选择题
1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．f(x)是R上的增函数
C．函数f(x)先减后增
D．函数f(x)是R上的减函数
解析：由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a答案：B
2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10
解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.
答案：D
3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是( )
A．(－∞，1] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：f(x)＝x|x－2|＝
作出f(x)简图如下：
由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．
答案：C
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
答案：C
二、填空题
5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是____________．
解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．
答案：[－1.5,3]和[5,6]
6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.
答案：(5，＋∞)
7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．
解析：画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．
答案：(－∞，0]，[2,4]
三、解答题
8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
解析：f(x)＝的图象如图所示．
由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．
[尖子生题库]
10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)解析：∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)∴解得1≤x<，
所以x的取值范围为1≤x<.
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
解析：B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
3．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )
A．－1,3 B．0,2
C．－1,2 D．3,2
解析：当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.
答案：C
4．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值．故选A.
答案：A
二、填空题
5．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
6．函数y＝x＋的最小值为________．
解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝t2＋t＋1＝2＋，
当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.
答案：1
7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
答案：4
三、解答题
8．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；
单调递减区间为 .
(2)因为f＝，f()＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
[尖子生题库]
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．求f(x)的最小值．
解析：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，且函数图象开口向上，如下图所示：
当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，f(x)的最小值为
f(x)min＝
