2.1.1 等式的性质与方程的解集
最新课程标准：(1)掌握等式的性质及常用的恒等式．(2)会用因式分解解一元二次方程．
知识点一 等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.
知识点二 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
初中学习的恒等式
(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)；
(2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(两数和的平方公式)；
(3)(a＋b)c＝ac＋bc；
(4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)．
知识点三 方程的解集
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
[基础自测]
1．分解因式a2＋8ab－33b2得( )
A．(a＋11)(a－3)
B．(a＋11b)(a－3b)
C．(a－11b)(a－3b)
D．(a－11b)(a＋3b)
解析：a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．
答案：B
2．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是( )
A．1＋3x－4y B．－1－3x－4y
C．1－3x－4y D．－1－3x＋4y
解析：－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，
所以另一个因式是(1－3x－4y)．
答案：C
3．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a的值为( )
A．－ B.
C．－或 D．不存在
解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，
即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.
所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.
解得a＝－或a＝.
答案：C
4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
答案：{3，－5}
题型一 因式分解[经典例题]
例1 把下列各式因式分解：
(1)6x2＋11x－7；
(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；
(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2.
【解析】 (1)由图，得
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
(2)(＋6)(－)；
(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z).
利用十字相乘法因式分解
方法归纳
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．
跟踪训练1 把下列各式分解因式：
(1)x2－3x＋2＝________；
(2)x2＋37x＋36＝________；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；
(4)4m2－12m＋9＝________.
解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28
＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]
＝(a－b＋4)(a－b＋7)；
(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.
答案：(1)(x－1)(x－2) (2)(x＋1)(x＋36)
(3)(a－b＋4)(a－b＋7) (4)(2m－3)2
题型二 一元一次方程的解集[经典例题]
例2 求下列方程的解集：
(1)4－3(10－y)＝5y；
(2)＝－1.
【解析】 (1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.
合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.
所以该方程的解集为{－13}．
(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项，得4x－2x＝1－6＋2.
合并同类项，得2x＝－3.
系数化为1，得x＝－.
所以该方程的解集为.
把方程化成ax＝b的形式，求x＝.
方法归纳
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
跟踪训练2 如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值．
解析：解方程－8＝－，
去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，
去括号，得2x－8－48＝－3x－6，
移项、合并同类项，得5x＝50，
系数化为1，得x＝10.
把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，
得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.
当a＝－4时，a－＝－4－＝－.
题型三 因式分解法解一元二次方程[教材P45例2]
例3 求方程x2－5x＋6＝0的解集．
【解析】 因为x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)＝0，
从而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝2或x＝3，因此方程的解集为{2,3}.
教材反思
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
[提醒] ①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
跟踪训练3 用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x＝x；
(2)(x－3)2＋2x－6＝0；
(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
解析：(1)x＝0，
即x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以该方程的解集为.
(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，
(x－3)(x－3＋2)＝0，
所以x－3＝0或x－1＝0，
所以x1＝3，x2＝1，
所以该方程的解集为{3,1}．
(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，
所以(10x－1)(2x＋19)＝0，
所以10x－1＝0或2x＋19＝0，
所以x1＝，x2＝－.
所以该方程的解集为.
课时作业 7
一、选择题
1．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得( )
A．(a＋b＋10)(a＋b－2) B．(a＋b＋5)(a＋b－4)
C．(a＋b＋2)(a＋b－10) D．(a＋b＋4)(a＋b－5)
解析：(a＋b)2＋8(a＋b)－20＝[(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．
答案：A
2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是( )
A．a＝10，b＝2 B．a＝10，b＝－2
C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2
解析：因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，
所以即.
答案：C
3．方程2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)的解集为( )
A. B.
C．{－2} D．{2}
解析：因为2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)，
所以2x－x－10＝5x＋2x＋2，
即－6x＝12，
所以x＝－2.
答案：C
4．多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是( )
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
解析：∵mx2－m＝m(x2－1)＝m(x＋1)(x－1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，∴公因式为x－1，故选A.
答案：A
二、填空题
5．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________．
解析：因为3x(x－2)＝2－x，
所以3x(x－2)－(2－x)＝0，
即3x(x－2)＋(x－2)＝0，
所以(x－2)(3x＋1)＝0，
所以x＝2或x＝－，
所以方程的解集为.
答案：
6．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．
解析：因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，
所以2－13(m－1)＝2，
即m＝1.
所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)等于(x－3)－2＝2x－5.
解得x＝0.
所以方程的解集为{0}．
答案：{0}
7．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________.
解析：设a＋b＝x，则原方程可化为4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－，x2＝1.则a＋b＝－或1.
答案：－或1
三、解答题
8．因式分解：
(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y.
(2)4xy＋1－4x2－y2.
解析：(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y
＝(x＋2y)(x＋y)＋2(x＋2y)
＝(x＋2y)(x＋y＋2)．
(2)4xy＋1－4x2－y2
＝1－(4x2－4xy＋y2)
＝1－(2x－y)2
＝(1＋2x－y)(1－2x＋y)．
9．用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x2－10x＋9＝0；
(2)2(x－3)＝3x(x－3)；
(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；
(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；
(5)2x2－16＝x2＋5x＋8；
(6)(3x－1)2＋3(3x－1)＋2＝0.
解析：(1)(x－1)(x－9)＝0，
所以x1＝1，x2＝9；
所以该方程的解集为{1,9}．
(2)整理，得(x－3)(2－3x)＝0，
所以x－3＝0或2－3x＝0，
所以x1＝3，x2＝；
所以该方程的解集为.
(3)4(3x－2)(x＋1)－3(x＋1)＝0，
所以(x＋1)(12x－11)＝0，
所以x1＝－1，x2＝；
所以该方程的解集为.
(4)(2x－3)[2(2x－3)－3]＝0，
(2x－3)(4x－9)＝0，
所以x1＝，x2＝；
所以该方程的解集为.
(5)2x2－x2－5x－16－8＝0，
x2－5x－24＝0，
(x－8)(x＋3)＝0，
所以x1＝8，x2＝－3；
所以该方程的解集为{8，－3}．
(6)[(3x－1)＋1][(3x－1)＋2]＝0，
3x(3x＋1)＝0，
所以x1＝0，x2＝－；
所以该方程的解集为.
[尖子生题库]
10．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n.求m－n的值．
解析：将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为
(2 0182x＋1)(x－1)＝0，
所以x1＝－，x2＝1，
所以m＝1.
同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0可得
(x＋2 019)(x－1)＝0，
所以x1＝－2 019，x2＝1，
所以n＝－2 019，
所以m－n＝2 020.
课件23张PPT。课时作业 7
一、选择题
1．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得( )
A．(a＋b＋10)(a＋b－2) B．(a＋b＋5)(a＋b－4)
C．(a＋b＋2)(a＋b－10) D．(a＋b＋4)(a＋b－5)
解析：(a＋b)2＋8(a＋b)－20＝[(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．
答案：A
2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是( )
A．a＝10，b＝2 B．a＝10，b＝－2
C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2
解析：因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，
所以即.
答案：C
3．方程2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)的解集为( )
A. B.
C．{－2} D．{2}
解析：因为2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)，
所以2x－x－10＝5x＋2x＋2，
即－6x＝12，
所以x＝－2.
答案：C
4．多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是( )
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
解析：∵mx2－m＝m(x2－1)＝m(x＋1)(x－1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，∴公因式为x－1，故选A.
答案：A
二、填空题
5．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________．
解析：因为3x(x－2)＝2－x，
所以3x(x－2)－(2－x)＝0，
即3x(x－2)＋(x－2)＝0，
所以(x－2)(3x＋1)＝0，
所以x＝2或x＝－，
所以方程的解集为.
答案：
6．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．
解析：因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，
所以2－13(m－1)＝2，
即m＝1.
所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)等于(x－3)－2＝2x－5.
解得x＝0.
所以方程的解集为{0}．
答案：{0}
7．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________.
解析：设a＋b＝x，则原方程可化为4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－，x2＝1.则a＋b＝－或1.
答案：－或1
三、解答题
8．因式分解：
(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y.
(2)4xy＋1－4x2－y2.
解析：(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y
＝(x＋2y)(x＋y)＋2(x＋2y)
＝(x＋2y)(x＋y＋2)．
(2)4xy＋1－4x2－y2
＝1－(4x2－4xy＋y2)
＝1－(2x－y)2
＝(1＋2x－y)(1－2x＋y)．
9．用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x2－10x＋9＝0；
(2)2(x－3)＝3x(x－3)；
(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；
(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；
(5)2x2－16＝x2＋5x＋8；
(6)(3x－1)2＋3(3x－1)＋2＝0.
解析：(1)(x－1)(x－9)＝0，
所以x1＝1，x2＝9；
所以该方程的解集为{1,9}．
(2)整理，得(x－3)(2－3x)＝0，
所以x－3＝0或2－3x＝0，
所以x1＝3，x2＝；
所以该方程的解集为.
(3)4(3x－2)(x＋1)－3(x＋1)＝0，
所以(x＋1)(12x－11)＝0，
所以x1＝－1，x2＝；
所以该方程的解集为.
(4)(2x－3)[2(2x－3)－3]＝0，
(2x－3)(4x－9)＝0，
所以x1＝，x2＝；
所以该方程的解集为.
(5)2x2－x2－5x－16－8＝0，
x2－5x－24＝0，
(x－8)(x＋3)＝0，
所以x1＝8，x2＝－3；
所以该方程的解集为{8，－3}．
(6)[(3x－1)＋1][(3x－1)＋2]＝0，
3x(3x＋1)＝0，
所以x1＝0，x2＝－；
所以该方程的解集为.
[尖子生题库]
10．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n.求m－n的值．
解析：将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为
(2 0182x＋1)(x－1)＝0，
所以x1＝－，x2＝1，
所以m＝1.
同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0可得
(x＋2 019)(x－1)＝0，
所以x1＝－2 019，x2＝1，
所以n＝－2 019，
所以m－n＝2 020.
