2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．(2)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
知识点一 b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系
b2－4ac(Δ)
根的情况
b2－4ac>0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x1＝，x2＝
b2－4ac＝0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－
b2－4ac<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
(1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)|x1－x2|＝＝；
(4)＋＝；
(5)＋＝＝.
[基础自测]
1．方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是( )
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
解析：Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.
答案：C
2．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
解析：由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，
则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，
解得b＝4.
答案：A
3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为( )
A．7或－1 B．1或－5
C．－1或－5 D．不能确定
解析：由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，
x2－6x－7＝0，∴x＝，
解得x1＝－1，x2＝7.故选A.
答案：A
4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝________.
解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，
所以＋＝＝－2.
答案：－2
题型一 方程根个数的判断及应用[经典例题]
例1 若关于x的不等式x－<1的解集为x<1，试判断关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0的根的情况．
【解析】 解不解式x－<1，得x<1＋，而不等式x－<1的解集为x<1，所以1＋＝1，解得a＝0，所以一元二次方程的根的判别式Δ＝a2－4＝－4<0，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．
先求出a再判断根的个数
(1)解一元一次不等式，利用解集求a.
(2)Δ＝a2－4，利用Δ>0，Δ＝0，Δ<0的情况讨论根的情况.
方法归纳
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有
(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1,2＝；
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
(3)当Δ<0时，方程没有实数根．
跟踪训练1 已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根．
解析：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4(1－3k)>0，
所以k<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，
所以k＝.
题型二 直接应用根与系数的关系进行计算[教材P50例2]
例2 已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
(1)x＋x；
(2)|x1－x2|.
【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝－2.
(1)由上有
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2－2×(－2)＝.
(2)因为
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4×(－2)＝，
所以
|x1－x2|＝＝.
教材反思
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
跟踪训练2 已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
(1)x＋x；
(2)＋.
解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＋＝＝＝3.
题型三 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围[经典例题]
例3 已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.
【解析】 Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，
Δ≥0，k≥.
(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．
(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝.
方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足．
②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.
方程为x2＋＝0而方程无解，
所以k≠－1，所以k＝.
方法归纳
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
跟踪训练3 (1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－2或3 B．3
C．－2 D．－3或2
(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．
解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，
解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.
∴m＝－2.
(2)设x1，x2为方程的两个根，则，
|x1－x2|＝1，2－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.
检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．
答案：(1)C (2)－3或9
课时作业
一、选择题
1．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况无法确定
解析：∵Δ＝42－4×3×(－5)＝76>0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选B.
答案：B
2．若关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是( )
A．m≤ B．m≤且m≠0
C．m<1 D．m<1且m≠0
解析：∵Δ＝[2(m－1)]2－4m2＝－8m＋4≥0，∴m≤，
∵x1＋x2＝－2(m－1)>0，x1x2＝m2>0，∴m<1，m≠0.
综上，m≤且m≠0.故选B.
答案：B
3．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )
A．2 B．0
C．1 D．2或0
解析：根据根与系数的关系，得－(a2－2a)＝0，解得a1＝0，a2＝2，∵当a＝2时，原方程为x2＋1＝0，无解，∴a＝0.
答案：B
4．若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥1 B．k>1
C．k<1 D．k≤1
解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0，
有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4(k－1)2－4(k2－1)＝－8k＋8≥0，解得k≤1.故选D.
答案：D
二、填空题
5．已知代数式7x(x＋5)＋10与代数式9x－9的值互为相反数，则x＝________.
解析：根据题意，得7x(x＋5)＋10＋9x－9＝0，
整理得7x2＋44x＋1＝0，
∵a＝7，b＝44，c＝1，∴Δ＝442－28＝1 908，
∴x＝＝.
答案：
6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________.
解析：由题知：x1＋x2＝5，x1x2＝a.
因为x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，
所以x1－x2＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，
所以a＝.
答案：
7．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．
解析：∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8(m－5)>0，且m－5≠0，解得m<5.5，且m≠5，∴m的最大整数值是4.
答案：4
三、解答题
8．解下列方程：
(1)x2＝2x－2；
(2)(3x＋2)(x＋3)＝x＋14.
解析：(1)整理成一般式，得x2－2x＋2＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝2，∴Δ＝20－4×1×2＝12>0，
则x1＝＋，x2＝－.
(2)方程整理得3x2＋10x－8＝0，∵a＝3，b＝10，c＝－8，
∴Δ＝100＋96＝196，∴x1＝，x2＝－4.
9．若关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根．
解析：∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.
而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0.∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根．
[尖子生题库]
10．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
解析：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
所以Δ≥0，
即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤.
(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.
因为x＋x＝11，所以2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
因为k≤，所以k＝－1.
课件24张PPT。课时作业 8
一、选择题
1．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况无法确定
解析：∵Δ＝42－4×3×(－5)＝76>0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选B.
答案：B
2．若关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是( )
A．m≤ B．m≤且m≠0
C．m<1 D．m<1且m≠0
解析：∵Δ＝[2(m－1)]2－4m2＝－8m＋4≥0，∴m≤，
∵x1＋x2＝－2(m－1)>0，x1x2＝m2>0，∴m<1，m≠0.
综上，m≤且m≠0.故选B.
答案：B
3．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )
A．2 B．0
C．1 D．2或0
解析：根据根与系数的关系，得－(a2－2a)＝0，解得a1＝0，a2＝2，∵当a＝2时，原方程为x2＋1＝0，无解，∴a＝0.
答案：B
4．若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥1 B．k>1
C．k<1 D．k≤1
解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0，
有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4(k－1)2－4(k2－1)＝－8k＋8≥0，解得k≤1.故选D.
答案：D
二、填空题
5．已知代数式7x(x＋5)＋10与代数式9x－9的值互为相反数，则x＝________.
解析：根据题意，得7x(x＋5)＋10＋9x－9＝0，
整理得7x2＋44x＋1＝0，
∵a＝7，b＝44，c＝1，∴Δ＝442－28＝1 908，
∴x＝＝.
答案：
6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________.
解析：由题知：x1＋x2＝5，x1x2＝a.
因为x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，
所以x1－x2＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，
所以a＝.
答案：
7．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．
解析：∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8(m－5)>0，且m－5≠0，解得m<5.5，且m≠5，∴m的最大整数值是4.
答案：4
三、解答题
8．解下列方程：
(1)x2＝2x－2；
(2)(3x＋2)(x＋3)＝x＋14.
解析：(1)整理成一般式，得x2－2x＋2＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝2，∴Δ＝20－4×1×2＝12>0，
则x1＝＋，x2＝－.
(2)方程整理得3x2＋10x－8＝0，∵a＝3，b＝10，c＝－8，
∴Δ＝100＋96＝196，∴x1＝，x2＝－4.
9．若关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根．
解析：∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.
而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0.∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根．
[尖子生题库]
10．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
解析：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
所以Δ≥0，
即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤.
(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.
因为x＋x＝11，所以2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
因为k≤，所以k＝－1.
