2.1.3 方程组的解集
最新课程标准：(1)全用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．(2)能灵活解二元二次方程组.
知识点 方程组的解集
方程组中，由两个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
[基础自测]
1．方程组的解集是( )
A．{2，－1} B．{(2，－1)}
C．{－2,1} D．{(－2,1)}
解析：
①＋②得2x＝4，∴x＝2，
代入①得y＝－1.
答案：B
2．若x，y满足方程组则x＋y的值是( )
A．5 B．－1
C．0 D．1
解析：
方法一 ②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以x＋y＝2＋3＝5.
方法二 由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.故选A.
答案：A
3．方程组的解集是( )
A．(±1，±1) B．{(±1，±1)}
C．{(－1，－1)，(1,1)} D．(－1，－1)，(1,1)
解析：
把①代入②得2x2＝2，∴x2＝1
x＝±1，y＝±1.
答案：C
4．方程组的解集为________．
解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16 ④
④－①，得z＝8；
④－②，得x＝4.5；
④－③，得y＝3.5.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(4.5,3.5,8)}．
答案：{(x，y，z)|(4.5,3.5,8)}
题型一 n元一次方程组[经典例题]
例1 解方程组
【解析】 设＝＝＝k(k为常数，k≠0)，
则x＝3k，y＝4k，z＝5k.
将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2.
所以x＝6，y＝8，z＝10，
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(6,8,10)}．
n元一次方程组主要指二元和三元一次方程组，主要用加减消元法和代入消元法求解．
方法归纳
消元法解三元一次方程组的两个注意点
(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
跟踪训练1 用适当的方法解方程组：
解析：由②×6，得3(x＋y)＋(x－y)＝6.③
③－①，得5(x－y)＝2，即x－y＝.
把x－y＝代入③，得x＋y＝.
解方程组得
所以原方程组的解集为.
题型二 “二·一”型的二元二次方程组[教材P53例2]
例2 求方程组的解集．
【解析】 将②代入①，整理得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2.
利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(1,2)，(－2，－1)}.
教材反思
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
跟踪训练2 解方程组
解析：方法一 由②得x＝2y＋5③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.
整理，得3y2＋10y＋7＝0.
解得y1＝－，y2＝－1.
把y1＝－代入③，得x1＝，
把y2＝－1代入③，得x2＝3.
所以原方程组的解是
所以方程组的解集为.
方法二 由①得(x＋y)2＝4，
即x＋y＝2或x＋y＝－2.
原方程组转化为或
解得
所以方程组的解集为.
题型三 “二·二”型的二元二次方程组[经典例题]
例3 解方程组
【解析】 由①得(x－4y)(x＋y)＝0，
所以x－4y＝0或x＋y＝0，
由②得(x＋2y)2＝1，
所以x＋2y＝1或x＋2y＝－1.
原方程可化为以下四个方程组：
解这四个方程组，得原方程组的四个解是：
所以方程组的解集为
.
方法归纳
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
跟踪训练3 解方程组
解析：由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0.
所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0.
所以原方程组可化为两个方程组：
用代入消元法解方程组，分别得
所以原方程组的解集为.
课时作业 9
一、选择题
1．方程组的解集为( )
A．{1,1} B．{(x，y)|x＝1，y＝1}
C．{2，－1} D．{(x，y)|x＝2，－1}
解析：
①×5－②得7x＝7，∴x＝1.
代入①得y＝1.
答案：B
2．方程组的解集为( )
A．{－1,2} B．{(x，y)|(－1,2)}
C．{2，－1} D．{(x，y)|(2，－1)}
解析：由
①＋②×4得27x＋27＝0，得x＝－1.
代入①得y＝2.
答案：B
3．方程组的解集为( )
A．{(x，y)|(3,5)，(－1，－3)} B．{(x，y)|(3,5)}
C．{(x，y)|(－1,3)} D．{(x，y)|(3,5)，(3，－1)}
解析：
由①得y＝2x－1，代入②得
3x2－2x－(2x－1)2＝－4
整理得x2－2x－3＝0，解得
或
答案：A
4．方程组的解集为( )
A.
B．{(x，y)|(1,2)，(1，－2)}
C．{(x，y)|(1,2)，(－1，－2)}
D．{(x，y)|(2,1)，(－2,1)}
解析：
①×2－②得5x2＋3x－8＝0
解得x＝－，x＝1
把x＝－代入①得y2＝7－<0(无解)
把x＝1代入①得y2＝4，y＝±2.
答案：B
二、填空题
5．若＝＝，且x＋y＋z＝102，则x＝________.
解析：由已知得
由①得y＝，④
由②得z＝，⑤
把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，
解得x＝26.
答案：26
6．已知方程组的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，则m的值为________．
解析：
①＋②，得x－z＝5，④
将③④组成方程组解得
把x＝3代入①，得y＝1.
故原方程组的解是
代入3x＋my＋2z＝0，得9＋m－4＝0，
解得m＝－5.
答案：－5
7．若方程组的解集为{(a，b)|(8.3,1.2)}，则方程组的解集为________．
解析：由题意可得即
答案：{(x，y)|(6.3,2.2)}
三、解答题
8．解下列三元一(二)次方程组：
(1)
(2)
(3)
解析：(1)将①代入②、③，消去z，得
解得把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(2,3,5)}．
(2)①－②，得x＋2y＝11.④
①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
所以原方程组的解集为.
(3)①－②×3得x2＋xy－3(xy＋y2)＝0，
即x2－2xy－3y2＝0?(x－3y)(x＋y)＝0，
所以x－3y＝0或x＋y＝0，
所以原方程组可化为两个二元二次方程组：
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
所以该方程组的解集为{(x，y)|(3,1)(－3，－1)}．
9．解方程组：
(1)
(2)
解析：(1)由①得(x－1)(y－1)＝0，即x＝1或y＝1.
(ⅰ)当x＝1时，4y2＝－2无解．
(ⅱ)当y＝1时，3x2＝－3无解，
所以原方程组的解集为?.
(2)由①得(3x－4y)(x＋y)－(3x－4y)＝0，
(3x－4y)(x＋y－1)＝0，
即3x－4y＝0或x＋y－1＝0.
由得或.
由得或.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(4,3)，(－4，－3)，(4，－3)，(－3,4)}．
[尖子生题库]
10．k为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解；
(2)有两个不相等的实数解；
(3)没有实数解．
解析：将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，③
Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝－16(k－1)．
(1)当k＝0时，y＝2，则－4x＋1＝0，解得x＝，
方程组的解为
当时，原方程组有一个实数解，即k＝1时方程组有一个实数解，将k＝1代入原方程组得解得
(2)当时，原方程组有两个不相等的实数解，即k<1且k≠0.
所以当k<1且k≠0时，原方程组有两个不相等的实数解．
(3)当时，即当k>1时，方程组无实数解．
课件24张PPT。课时作业 9
一、选择题
1．方程组的解集为( )
A．{1,1} B．{(x，y)|x＝1，y＝1}
C．{2，－1} D．{(x，y)|x＝2，－1}
解析：
①×5－②得7x＝7，∴x＝1.
代入①得y＝1.
答案：B
2．方程组的解集为( )
A．{－1,2} B．{(x，y)|(－1,2)}
C．{2，－1} D．{(x，y)|(2，－1)}
解析：由
①＋②×4得27x＋27＝0，得x＝－1.
代入①得y＝2.
答案：B
3．方程组的解集为( )
A．{(x，y)|(3,5)，(－1，－3)} B．{(x，y)|(3,5)}
C．{(x，y)|(－1,3)} D．{(x，y)|(3,5)，(3，－1)}
解析：
由①得y＝2x－1，代入②得
3x2－2x－(2x－1)2＝－4
整理得x2－2x－3＝0，解得
或
答案：A
4．方程组的解集为( )
A.
B．{(x，y)|(1,2)，(1，－2)}
C．{(x，y)|(1,2)，(－1，－2)}
D．{(x，y)|(2,1)，(－2,1)}
解析：
①×2－②得5x2＋3x－8＝0
解得x＝－，x＝1
把x＝－代入①得y2＝7－<0(无解)
把x＝1代入①得y2＝4，y＝±2.
答案：B
二、填空题
5．若＝＝，且x＋y＋z＝102，则x＝________.
解析：由已知得
由①得y＝，④
由②得z＝，⑤
把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，
解得x＝26.
答案：26
6．已知方程组的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，则m的值为________．
解析：
①＋②，得x－z＝5，④
将③④组成方程组解得
把x＝3代入①，得y＝1.
故原方程组的解是
代入3x＋my＋2z＝0，得9＋m－4＝0，
解得m＝－5.
答案：－5
7．若方程组的解集为{(a，b)|(8.3,1.2)}，则方程组的解集为________．
解析：由题意可得即
答案：{(x，y)|(6.3,2.2)}
三、解答题
8．解下列三元一(二)次方程组：
(1)
(2)
(3)
解析：(1)将①代入②、③，消去z，得
解得把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(2,3,5)}．
(2)①－②，得x＋2y＝11.④
①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
所以原方程组的解集为.
(3)①－②×3得x2＋xy－3(xy＋y2)＝0，
即x2－2xy－3y2＝0?(x－3y)(x＋y)＝0，
所以x－3y＝0或x＋y＝0，
所以原方程组可化为两个二元二次方程组：
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
所以该方程组的解集为{(x，y)|(3,1)(－3，－1)}．
9．解方程组：
(1)
(2)
解析：(1)由①得(x－1)(y－1)＝0，即x＝1或y＝1.
(ⅰ)当x＝1时，4y2＝－2无解．
(ⅱ)当y＝1时，3x2＝－3无解，
所以原方程组的解集为?.
(2)由①得(3x－4y)(x＋y)－(3x－4y)＝0，
(3x－4y)(x＋y－1)＝0，
即3x－4y＝0或x＋y－1＝0.
由得或.
由得或.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(4,3)，(－4，－3)，(4，－3)，(－3,4)}．
[尖子生题库]
10．k为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解；
(2)有两个不相等的实数解；
(3)没有实数解．
解析：将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，③
Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝－16(k－1)．
(1)当k＝0时，y＝2，则－4x＋1＝0，解得x＝，
方程组的解为
当时，原方程组有一个实数解，即k＝1时方程组有一个实数解，将k＝1代入原方程组得解得
(2)当时，原方程组有两个不相等的实数解，即k<1且k≠0.
所以当k<1且k≠0时，原方程组有两个不相等的实数解．
(3)当时，即当k>1时，方程组无实数解．
