2.2.1 不等式及其性质
最新课程标准：理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
知识点一 实数大小比较
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a
2．符号表示
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
知识点二 不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b?b可逆
2
传递性
a>b，b>c?a>c
3
可加性
a>b?a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
?ac>bc
c的符号
?ac5
同向
可加性
?a＋c>b＋d
同向
6
同向同正
可乘性
?ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0?an>bn
(n∈N，n≥2)
同正
8
可开方
a>b>0?>(n∈N，n≥2)
同正
(1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ?a>c －b. 性质3是可逆性的，即a>b ?a ＋c>b ＋c.
(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件. 不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
[基础自测]
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( )
A．T<40 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．
答案：C
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N
C．M解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.
答案：A
3．已知xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
答案：B
4．不等式组的解集为________．
解析：，∴－答案：
题型一 比较大小[教材P61例2]
例1 比较x2－x和x－2的大小．
【解析】 因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1>0，从而(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.
教材反思
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A．f(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)>g(x)
D．随x值变化而变化
解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)
＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以f(x)>g(x)．故选C.
答案：C
→→→
题型二 不等式的性质[经典例题]
例2 对于实数a、b、c，有下列说法：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若c>a>b>0，则>；
⑤若a>b，>，则a>0，b<0.
其中正确的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．
对于②，由ac2>bc2，知c≠0，
∴c2>0?a>b.②对．
对于③，由a两边同乘以a得a2>ab，
两边同乘以b得ab>b2，
∴a2>ab>b2.③对．
对于④，?0? ?>.④对．
对于⑤， ??a>0，b<0.⑤对．
故选C.
【答案】 C
→
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练2 (1)已知aA.4a<4b
B．－4a<－4b
C．a＋4D．a－4(2)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是( )
A．若a>b，c≠0，则ac>bc
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a>b，则<
解析：(1)根据不等式的性质，a0?4a<4b，A项正确；a－4b，B项错误；a(2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．
答案：(1)B (2)C
利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．
题型三 利用不等式性质求范围[经典例题]
例3 已知－2(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
【解析】 (1)|a|∈[0,3]；(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3 已知实数x，y满足：1(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
解析：(1)∵1(2)由(1)知1 (1)根据不等式的性质6可直接求解；
(2)求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y的取值范围．
课时作业 10
一、选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，所以A≥B.
答案：B
2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c D．若a2>b2，则－a<－b
解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．
答案：B
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1.
又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，
又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.
答案：A
4．有四个不等式：①|a|>|b|；②ab3.若<<0，则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由<<0可得bb，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.
答案：C
二、填空题
5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．
解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
答案：<
6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.
答案：c－2b
7．给定下列命题：
①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?<1；④a>b，c>d?ac>bd；⑤a>b，c>d?a－c>b－d.
其中错误的命题是________(填写相应序号)．
解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．
答案：①②③④⑤
三、解答题
8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·，
因为x<1，所以x－1<0，
又因为2＋>0，
所以(x－1)<0，
所以x3－1<2x2－2x.
9．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，所以≤.
[尖子生题库]
10．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解析：方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5,10]．
方法二 由，得，
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5,10]．
课件28张PPT。课时作业 10
一、选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，所以A≥B.
答案：B
2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c D．若a2>b2，则－a<－b
解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．
答案：B
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1.
又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，
又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.
答案：A
4．有四个不等式：①|a|>|b|；②ab3.若<<0，则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由<<0可得bb，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.
答案：C
二、填空题
5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．
解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
答案：<
6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.
答案：c－2b
7．给定下列命题：
①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?<1；④a>b，c>d?ac>bd；⑤a>b，c>d?a－c>b－d.
其中错误的命题是________(填写相应序号)．
解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．
答案：①②③④⑤
三、解答题
8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·，
因为x<1，所以x－1<0，
又因为2＋>0，
所以(x－1)<0，
所以x3－1<2x2－2x.
9．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，所以≤.
[尖子生题库]
10．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解析：方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5,10]．
方法二 由，得，
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5,10]．
