2.2.4 均值不等式及其应用
最新课程标准：掌握基本不等式≤(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
1．数轴上两点之间的距离公式
一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|.
2．中点坐标公式
如果线段AB的中点M的坐标为x.若a
则M为x＝.
知识点二 基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)基本不等式：≤(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中和分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．
基本不等式≤(a，b∈R＋)的应用：
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a ＋b＝M，M为定值，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．即：a ＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝.
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab ＝P，P为定值，则a ＋b≥2，当且仅当a ＝b时等号成立．
[基础自测]
1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2 ，即＋≥2成立．
答案：D
2．若a>1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a
C. D．3
解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．
答案：D
3．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确．
答案：D
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：(1)2 (2)
第1课时 基本不等式
题型一 对基本不等式的理解[经典例题]
例1 (1)下列不等式中，不正确的是( )
A.a2＋b2≥2|a||b|
B.≥2a－b(b≠0)
C.2≥－1(b≠0)
D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
(2)给出下列命题：
①若x∈R，则x＋≥2；
②若a<0，b<0，则ab＋≥2；
③不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________．
【解析】 (1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b<0时，≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则2≥－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确．
1．举反例、基本不等式?逐个判断．
2．明确基本不等式成立的条件?逐个判断．
【答案】(1)B
【解析】(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．
基本不等式的两个关注点
(1)正数：指式子中的a，b均为正数，
(2)相等：即“＝”成立的条件．
【答案】(2)②
跟踪训练1 设0A.aB．a<<C．a<D.解析：0答案：B
利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．
题型二 利用基本不等式求最值[教材P70例1]
例2 已知x>0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
【解析】 因为x>0，所以根据均值不等式有
x＋≥2＝2，
其中等号成立当且仅当x＝，即x2＝1，解得x＝1或x＝－1(舍)．
因此x＝1时，y取得最小值2.
教材反思
1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
跟踪训练2 (1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
(2)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值( )
A．3 B．4
C. D.
解析：(1)因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
(1＋x)·(1＋y)取最大值25.
(2)因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，
所以x＋2y＋2－8≥0.
设x＋2y＝t>0，
所以t＋t2－8≥0，
所以t2＋4t－32≥0，
即(t＋8)(t－4)≥0，
所以t≥4，
故x＋2y的最小值为4.
答案：(1)B (2)B
1．展开(1＋x)(1＋y)?将x＋y＝8代入?用基本不等式求最值．
2．利用基本不等式得x＋2y＋2－8≥0?设x＋2y＝t>0，解不等式求出x＋2y的最小值．
易错点 利用基本不等式求最值
例 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
【错解】 由x＋3y＝5xy?5xy≥2，
因为x>0，y>0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥.
所以3x＋4y≥2≥2＝，
当且仅当3x＝4y时取等号，
故3x＋4y的最小值是.
错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．
【正解】 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，
当且仅当x＝1，y＝时取等号，
故3x＋4y的最小值是5.
【答案】 C
课时作业 13
一、选择题
1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．
答案：C
2．已知t>0，则y＝的最小值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．－5
解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
答案：B
3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：∵a2＋b2≥2ab，
∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，
即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.
答案：C
4．若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．
答案：C
二、填空题
5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.
答案：a＝1
6．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．
解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，
由基本不等式可得，ab≤2＝，
因为ab的最大值为2，
所以＝2，M>0，所以M＝2.
答案：2
7．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．
解析：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，
所以(3x＋4y)min＝25.
答案：25
三、解答题
8．已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值．
解析：因为x<，所以4x－5<0,5－4x>0.
f(x)＝4x－5＋3＋＝－＋3
≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝时等号成立，
又5－4x>0，
所以5－4x＝1，x＝1.
所以f(x)max＝f(1)＝1.
9．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
解析：因为f(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．
又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.
[尖子生题库]
10．已知x∈，求函数y＝＋的最小值．
解析：y＝＋＝·(2x＋1－2x)＝10＋2·＋8·，
而x∈，2·＋8·≥2＝8，
当且仅当2·＝8·，
即x＝∈时取到等号，则y≥18，
所以函数y＝＋的最小值为18.
课件26张PPT。第1课时 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用
型一 利用基本不等式证明不等式[经典例题]
例1 已知a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
【解析】 ∵a，b，c，，，均大于0，
∴＋b≥2＝2a.
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b.
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
→→→→
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练1 已知x>0，y>0，z>0.
求证：≥8.
证明：因为x>0，y>0，z>0，
所以＋≥>0，
＋≥>0，
＋≥>0，
所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
分别对＋，＋，＋用基本不等式?同向不等式相乘．
题型二 利用基本不等式解决实际问题
[教材P71例3]
例2 (1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
【分析】 在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．
【解析】 (1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100.
因为x>0，y>0，所以≥＝10，
所以2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时
x＝y＝10.
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.
(2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x＋y)＝36，即x＋y＝18.
因为x>0，y>0，所以＝≥，
因此≤9，即xy≤81.
当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时
x＝y＝9.
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
教材反思
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练2 某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
＝－2≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．
2．利用基本不等式求平均利润．
课时作业 14
一、选择题
1．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
答案：C
2.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.
C．3 D.
解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．
答案：B
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5 m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．9.5 m B．10 m
C．10.5 m D．11 m
解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝a＋b＋，从而l＝a＋b＋≥2＋＝6＋3≈10.24，当且仅当a＝b＝3时，l取得最小值．从最节俭的角度来看，选择10.5 m.
答案：C
4．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5.由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
二、填空题
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：8
6．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析：设＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.
答案：18
7．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
解析：设原价为1，则提价后的价格为
方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，
方案乙：2，
因为≤＝1＋%，
且p>q>0，
所以<1＋%，
即(1＋p%)(1＋q%)<2，
所以提价多的方案是乙．
答案：乙
三、解答题
8．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴
＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
9．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a?：b＝1?：2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1 832－6x－y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)方法一 S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝y，xy＝1 800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.
方法二 S＝1 832－6x－×＝1 832－≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值，此时y＝＝45.
[尖子生题库]
10．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)．
证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
课件17张PPT。课时作业 13
一、选择题
1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．
答案：C
2．已知t>0，则y＝的最小值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．－5
解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
答案：B
3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：∵a2＋b2≥2ab，
∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，
即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.
答案：C
4．若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．
答案：C
二、填空题
5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.
答案：a＝1
6．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．
解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，
由基本不等式可得，ab≤2＝，
因为ab的最大值为2，
所以＝2，M>0，所以M＝2.
答案：2
7．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．
解析：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，
所以(3x＋4y)min＝25.
答案：25
三、解答题
8．已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值．
解析：因为x<，所以4x－5<0,5－4x>0.
f(x)＝4x－5＋3＋＝－＋3
≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝时等号成立，
又5－4x>0，
所以5－4x＝1，x＝1.
所以f(x)max＝f(1)＝1.
9．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
解析：因为f(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．
又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.
[尖子生题库]
10．已知x∈，求函数y＝＋的最小值．
解析：y＝＋＝·(2x＋1－2x)＝10＋2·＋8·，
而x∈，2·＋8·≥2＝8，
当且仅当2·＝8·，
即x＝∈时取到等号，则y≥18，
所以函数y＝＋的最小值为18.
课时作业 14
一、选择题
1．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
答案：C
2.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.
C．3 D.
解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．
答案：B
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5 m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．9.5 m B．10 m
C．10.5 m D．11 m
解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝a＋b＋，从而l＝a＋b＋≥2＋＝6＋3≈10.24，当且仅当a＝b＝3时，l取得最小值．从最节俭的角度来看，选择10.5 m.
答案：C
4．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5.由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
二、填空题
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：8
6．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析：设＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.
答案：18
7．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
解析：设原价为1，则提价后的价格为
方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，
方案乙：2，
因为≤＝1＋%，
且p>q>0，
所以<1＋%，
即(1＋p%)(1＋q%)<2，
所以提价多的方案是乙．
答案：乙
三、解答题
8．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴
＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
9．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a?：b＝1?：2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1 832－6x－y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)方法一 S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝y，xy＝1 800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.
方法二 S＝1 832－6x－×＝1 832－≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值，此时y＝＝45.
[尖子生题库]
10．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)．
证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
