3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
最新课程标准：1.会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题.2.掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识.
知识点 函数模型
(1)一次函数模型
解析式：y＝kx＋b.
(2)二次函数模型
①一般式：y＝ax2＋bx＋c.
②顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中顶点坐标为(h，k)．
(3)分段函数模型
有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
(1)在函数建模中，通常需要先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型．
(2)函数模型在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．
[基础自测]
1．一个等腰三角形的周长是20，则底边长y是关于腰长x的函数，其解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5
答案：D
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为( )
A．110元/个 B．105元/个
C．100元/个 D．95元/个
解析：设每个商品涨价x元，利润为y元，则销售量为(400－20x)个，根据题意，有y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.所以当x＝5时，y取得最大值，且为4 500，即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4 500元．
答案：D
3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )
A．52 B．52.5
C．53 D．52或53
解析：因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－2＋，所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．
答案：D
4．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示，试分析图像，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出________张门票．
解析：由题图知，盈利额每天要超过1 000元时，x∈(200,300]这一区间，设y＝kx＋b(k≠0)，将(200,500)，(300,2 000)代入得即y＝15x－2 500.由15x－2 500>1 000，得x>，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元．
答案：234
题型一 一次函数模型的应用[经典例题]
例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
(2)商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠一个茶杯；②按总价的92%付款．
某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？
【解析】 (1)因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．
(2)由优惠办法①可得函数解析式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．
由优惠办法②可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，
令y1－y2＝0，得x＝34.
所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；
当4≤x<34时，y1当x>34时，y1>y2，优惠办法②更省钱．
【答案】 (1)D (2)见解析
方法归纳
(1)一次函数模型的实际应用：
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
(2)一次函数的最值求解：
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
跟踪训练1 若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的( )
解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项，更不可能是A、C两项．故选B项．
答案：B
题型二 二次函数模型的应用[经典例题]
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】 (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题.
方法归纳
二次函数的实际应用
(1)在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．
(2)对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
跟踪训练2 有A，B两城相距100 km，在A，B两城之间距A城x km的D地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．
(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？
解析：(1)由题意：y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]＝7.52＋.
∵x≥10，且100－x≥10，
∴10≤x≤90.
∴函数的定义域为[10,90]．
(2)由二次函数知当x＝时，y最小，
因此当核电站建在距离A城 km时，供电费用最小．
题型三 分段函数模型的应用[经典例题]
例3 WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min)，按30元计费；超过500 min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费，在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费．计费时间均取整数，不足1 min的按1 min计算．WAP手机上网不收通话费和漫游费．
(1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式．
(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h，要付多少钱？
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
【解析】 由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．
(1)设上网时间为x min，用[x]表示不小于x的最小整数，由已知条件知所付费用y关于x的函数关系式为
y＝
(2)当x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为900 min.
方法归纳
分段函数的实际应用
(1)在刻画实际问题中，变量之间的关系因自变量x取值范围的不同，对应的函数关系不能用同一个解析式表示时，常用分段函数建立函数模型解决问题．
(2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数．求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个，分解函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个．
跟踪训练3 某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为
R(x)＝5x－(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？
(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
解析：(1)设利润为L(x)，成本为C(x)．当x≤5时，产品能全部售出；当x>5时，只能售出500台，故利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)
＝
＝
(2)当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－－0.5，
当x＝4.75时，L(x)max＝10.781 25(万元)；
当x>5时，L(x)<12－1.25＝10.75(万元)．
∴生产475台时利润最大．
(3)由或
得5≥x≥4.75－≈0.11或5∴产品年产量在11台到4 800台时，工厂不亏本．
本题考查分段函数问题，生产不超过500台时，产量等于销售量；产量超过500台时，销售量为一个常数500台．
课时作业 21
一、选择题
1．某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表：
x/个
1
2
3
…
y/小时
1
3
8
…
下面函数解析式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝2x＋1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案：D
2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12 B．15
C．25 D．50
解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.
答案：B
3．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
解析：由题意，知纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为y＝
由于此人纳税420元，所以8004 000时，令0.112x＝420，解得x＝3 750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元．故选C.
答案：C
4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图像可能正确．
答案：C
二、填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
解析：日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.
答案：2t2＋108t＋400，t∈N
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后的温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(只填序号)
解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢，因为此段内曲线越来越“缓”，故②正确；5分钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了，故④正确．
答案：②④
7．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
解析：设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
答案：60
三、解答题
8．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
解析：(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样．
(3)当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
9．某企业实行裁员增效．已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗人员每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
(2)当140解析：(1)由题意可得y＝(a－x)×(1＋0.01x)－0.4x＝－x2＋x＋a.
∵a－x≥a，∴x≤a，
即x的取值范围是中的自然数．
(2)∵y＝－2＋2＋a，且140∴当a为偶数时，x＝－70，y取最大值．
当a为奇数时，x＝－70，y取最大值．
因此，当员工人数a为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；当员工人数a为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益．
[尖子生题库]
10．为支持福利事业，解决残疾人就业问题，银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元，用于经营某种商品．已知该种商品的进价为每件40元，每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)之间满足关系式：q＝
该企业职工每人每月工资为1 200元，其他经营性费用为每月13 200元．
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下，当销售价p为52元/件，每月刚好收支平衡，求该企业的职工人数．
(2)若该企业只有20名职工，在保证职工工资及其他经营性支出外，剩余的利润都用来偿还贷款，试问最早几年后还清贷款？
解析：(1)设该企业职工人数为t，依题意当p＝52时，q＝36，则(52－40)×36×100＝1 200t＋13 200，∴t＝25.
即该企业有25名职工．
(2)设每个月的利润为f(p)，则f(p)＝
∵当p＝55时，[(－2p＋140)(p－40)]max＝450，
当p＝61时，[(－p＋82)(p－40)]max＝441，
∵450>441，
∴当p＝55时，能更早还清贷款，
又(100×450－1 200×20－13 200)×12＝93 600，
＝5，
∴当定价为55元时，最早5年后能还清贷款．
课件28张PPT。课时作业 21
一、选择题
1．某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表：
x/个
1
2
3
…
y/小时
1
3
8
…
下面函数解析式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝2x＋1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案：D
2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12 B．15
C．25 D．50
解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.
答案：B
3．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
解析：由题意，知纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为y＝
由于此人纳税420元，所以8004 000时，令0.112x＝420，解得x＝3 750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元．故选C.
答案：C
4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图像可能正确．
答案：C
二、填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
解析：日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.
答案：2t2＋108t＋400，t∈N
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后的温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(只填序号)
解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢，因为此段内曲线越来越“缓”，故②正确；5分钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了，故④正确．
答案：②④
7．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
解析：设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
答案：60
三、解答题
8．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
解析：(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样．
(3)当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
9．某企业实行裁员增效．已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗人员每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
(2)当140解析：(1)由题意可得y＝(a－x)×(1＋0.01x)－0.4x＝－x2＋x＋a.
∵a－x≥a，∴x≤a，
即x的取值范围是中的自然数．
(2)∵y＝－2＋2＋a，且140∴当a为偶数时，x＝－70，y取最大值．
当a为奇数时，x＝－70，y取最大值．
因此，当员工人数a为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；当员工人数a为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益．
[尖子生题库]
10．为支持福利事业，解决残疾人就业问题，银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元，用于经营某种商品．已知该种商品的进价为每件40元，每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)之间满足关系式：q＝
该企业职工每人每月工资为1 200元，其他经营性费用为每月13 200元．
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下，当销售价p为52元/件，每月刚好收支平衡，求该企业的职工人数．
(2)若该企业只有20名职工，在保证职工工资及其他经营性支出外，剩余的利润都用来偿还贷款，试问最早几年后还清贷款？
解析：(1)设该企业职工人数为t，依题意当p＝52时，q＝36，则(52－40)×36×100＝1 200t＋13 200，∴t＝25.
即该企业有25名职工．
(2)设每个月的利润为f(p)，则f(p)＝
∵当p＝55时，[(－2p＋140)(p－40)]max＝450，
当p＝61时，[(－p＋82)(p－40)]max＝441，
∵450>441，
∴当p＝55时，能更早还清贷款，
又(100×450－1 200×20－13 200)×12＝93 600，
＝5，
∴当定价为55元时，最早5年后能还清贷款．
