1.1.1 集合及其表示方法
最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
知识点一 集合的概念
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．
知识点二 元素与集合的表示及关系
1．元素与集合的符号表示
表示
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
示例
a属于集合A
a是集合
A中的元素
a∈A
若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江?A
a不属于集合A
a不是集合
A中的元素
a?A
对元素和集合之间关系的两点说明
1．符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A ”与“a?A ”这两种结果．
2．∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．集合中元素的特征
特征
含义
确定性
集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准
互异性
给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性
集合中的元素无先后顺序之分
4.空集
一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作?.
5．几种常见的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R.
6．集合的分类
集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
知识点三 集合的表示
1．列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．
这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
1．列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
知识点四 区间及其表示
1．区间的几何表示
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
2.实数集R的区间表示
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示
定义
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x(－∞，b)
关于无穷大的2点说明
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
[基础自测]
1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案：C
2．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，x∈N*，
∴x<5，x∈N*，
∴x＝1,2,3,4.故选B.
答案：B
3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1或－1
解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2＝1.则a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.
若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.
若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.
答案：C
4．用区间表示下列集合：
(1)＝________；
(2){x|x<1或2解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝.
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2答案：(1) (2)(－∞，1)∪(2,3]
题型一 集合的概念[经典例题]
例1 下列对象能构成集合的是( )
A.高一年级全体较胖的学生
B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.
【答案】 D
构成集合的元素具有确定性．
方法归纳
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数
B．等于2的数
C.接近于0的数
D．不等于0的偶数
解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.
答案：C
C中元素不确定．
题型二 元素与集合的关系[经典例题]
例2 (1)下列关系中，正确的有( )
①∈R；②?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
a分类处理：
①a＝0，a＝1，a＝2；
②a＝3，a＝4
还讨论吗？
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．
跟踪训练2 下列说法正确的是( )
A.0?N B.∈Q
C．π?R D.∈Z
解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.是无理数，Q是有理数集合， ?Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.＝2,2是正整数，则∈Z，故本选项正确．故选D.
答案：D
N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．
题型三 集合的表示[教材P7例题1]
例3 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；
(2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.
【解析】 (1)因为0和1是方程x(x－1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A＝{0,1}．
(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0}.
找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．
教材反思
本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．
跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有的点组成的集合．
解析：(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．
(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
易错点 忽略集合中元素的互异性出错
例 含有三个元素的集合，也可表示为集合{a2，a＋b,0}，求a，b的值．
【错解】 ∵＝{a2，a＋b,0}，
∴
解得或
【正解】 ∵＝{a2，a＋b,0}，
∴
解得或
由集合中元素的互异性，得a≠1.
∴a＝－1，b＝0.
【易错警示】
错误原因
纠错心得
错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素
含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论
课时作业 1
一、选择题
1．已知集合A中元素x满足－≤x≤，且x∈N*，则必有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．1∈A
解析：x∈N*，且－≤x≤，所以x＝1,2.所以1∈A.
答案：D
2．将集合用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{(3,2)} D．(2,3)
解析：解方程组得
所以答案为{(2,3)}．
答案：B
3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：B
4．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．
答案：D
二、填空题
5．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的是________．
解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．
答案：(1)(4)
6．用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3(3){x|x>1且x≠2}＝________.
解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；
(2)(3,4]；
(3)(1,2)∪(2，＋∞)．
答案：(1)[2，＋∞) (2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)
7．已知集合A＝，用列举法表示集合A为________．
解析：(6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.
答案：{0,2,3,4,5}
三、解答题
8．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
9．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
[尖子生题库]
10．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解析：(1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
课件33张PPT。课时作业 1
一、选择题
1．已知集合A中元素x满足－≤x≤，且x∈N*，则必有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．1∈A
解析：x∈N*，且－≤x≤，所以x＝1,2.所以1∈A.
答案：D
2．将集合用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{(3,2)} D．(2,3)
解析：解方程组得
所以答案为{(2,3)}．
答案：B
3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：B
4．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．
答案：D
二、填空题
5．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的是________．
解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．
答案：(1)(4)
6．用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3(3){x|x>1且x≠2}＝________.
解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；
(2)(3,4]；
(3)(1,2)∪(2，＋∞)．
答案：(1)[2，＋∞) (2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)
7．已知集合A＝，用列举法表示集合A为________．
解析：(6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.
答案：{0,2,3,4,5}
三、解答题
8．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
9．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
[尖子生题库]
10．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解析：(1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
