1.1.2 集合的基本关系
最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义．(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
知识点一 子集
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符号语言
图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
对任意元素x∈A，必有x∈B，则A?B(或B?A)，读作A包含于B或B包含A
“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
知识点二 真子集
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．
在真子集的定义中，A ?B首先要满足A ?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
知识点三 集合相等
一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．
由集合相等的定义可知：如果A?B且B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B且B?A.
知识点四 子集、真子集的性质
根据子集、真子集的定义可知：
(1)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C；
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C.
[基础自测]
1．集合{0,1}的子集有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：集合{0,1}的子集为?，{0}，{1}，{0,1}．
答案：D
2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )
A．M＝{π}，N＝{3.141 59}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{x|－1
D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．
答案：D
3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0?A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，D正确．
答案：D
4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.
解析：∵B?A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.
答案：1
题型一 集合间关系的判断[经典例题]
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
【解析】 (1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
【答案】 (1)B (2)见解析
根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．
方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；
若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
跟踪训练1 (1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( )
A．M?T B．M?T
C．M＝T D．MT
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M?T.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
答案：(1)A (2)见解析
学习完知识点后，我们可以得到B ?A，C ?A，D ?A，D ?B，
D ?C.
题型二 子集、真子集及个数问题[教材P11例1]
例2 写出集合A＝{6,7,8}的所有子集和真子集．
【解析】 如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0,1,2,3.可依下列步骤来完成此题：
(1)写出元素个数为0的子集，即?；
(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；
(3)写出元素个数为2的子集，即{6,7}，{6,8}，{7,8}；
(4)写出元素个数为3的子集，即{6,7,8}．
集合A的所有子集是?，{6}，{7}，{8}，{6,7}，{6,8}，{7,8}，{6,7,8}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{6,7,8}，剩下的都是A的真子集．
写出集合的子集时易忘?，真子集是在子集的基础上去掉自身.
教材反思
1．求集合子集、真子集个数的三个步骤
2．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )
A．－2 B．4
C．0 D．以上答案都不是
解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2，4}．
(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
答案：(1)B (2)C
(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A ?C ?B确定集合C.
(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．
题型三 根据集合的包含关系求参数[经典例题]
例3 已知集合A＝{x|1【解析】 (1)当a＝0时，①
A＝?，满足A?B.
(2)当a>0时，A＝.
又∵B＝{x|－1∴a≥2.
(3) 当a<0时，A＝.③
∵A?B，∴∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}．
①欲解不等式10，a<0进行讨论．
②A ?B用数轴表示如图所示：(a>0时)
由图易知，和需在－1与1之间．当＝－1，或＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如＝1时，A＝，x取不到1.
③a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变.
方法归纳
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
跟踪训练3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系．
(2)若B?A，求实数a的取值集合．
解析：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B?A.
(2)当B＝?时，满足B?A，此时a＝0；当B≠?，a≠0时，集合B＝，由B?A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为.
(1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．
(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．
①B＝?，此时a＝0；
②B≠?，此时a≠0.
易错点 忽略空集的特殊性致误
例 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，求所有满足条件的a的取值集合．
【错解】 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝{－1}或{3}．
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【正解】 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝?或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝?时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【易错警示】
错误原因
纠错心得
错解忽略了N＝?这种情况
空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则
课时作业 2
一、选择题
1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是( )
解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R 且0≤x≤1}，∴N?M.
答案：B
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.
答案：C
3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
答案：B
4．设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3
C．m<3 D．m≤3
解析：因为A＝{x|2将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
答案：B
二、填空题
5．已知集合：(1){0}；(2){?}；(3){x|3m解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素?，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．
答案：(4)(5)
6．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．
解析：集合A的子集分别是：?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.
答案：36
7．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．
答案：5
三、解答题
8．已知{1,2}?A?{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A.
解析：∵{1,2}?A，∴1∈A,2∈A.
又∵A?{1,2,3,4}，
∴集合A中还可以有3,4中的一个，
即集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
解析：方法一 根据集合中元素的互异性，
有或解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
[尖子生题库]
10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解析：∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，
有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
课件34张PPT。课时作业 2
一、选择题
1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是( )
解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R 且0≤x≤1}，∴N?M.
答案：B
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.
答案：C
3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
答案：B
4．设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3
C．m<3 D．m≤3
解析：因为A＝{x|2将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
答案：B
二、填空题
5．已知集合：(1){0}；(2){?}；(3){x|3m解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素?，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．
答案：(4)(5)
6．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．
解析：集合A的子集分别是：?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.
答案：36
7．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．
答案：5
三、解答题
8．已知{1,2}?A?{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A.
解析：∵{1,2}?A，∴1∈A,2∈A.
又∵A?{1,2,3,4}，
∴集合A中还可以有3,4中的一个，
即集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
解析：方法一 根据集合中元素的互异性，
有或解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
[尖子生题库]
10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解析：∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，
有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
