北师大五年级上册数学教案-第1单元-5：除得尽吗（含反思+同步习题）

5　除得尽吗
本节课的内容是循环小数,属于数与代数领域。循环小数知识是在学生掌握了小数除法和利用“四舍五入”法取近似值的基础上进行学习的。教材中主要结合“除得尽吗”的具体情景来学习循环小数。教材根据有关小动物爬行速度的一些资料,呈现了“蜘蛛3分钟爬行73米,蜗牛11分钟爬行9.4米”的情景。设计了四个递进式的问题:一是通过用竖式除法计算蜘蛛和蜗牛每分钟爬行的速度,感知有除不尽的情况;二是尝试发现当除不尽时,余数和商是如何变化的;三是初步认识循环小数及如何利用“四舍五入”法取循环小数的近似值;四是进一步巩固什么是循环小数。
1.通过解决实际数学问题,发现余数和商的特点,初步认识循环小数。
2.会用“四舍五入”法求循环小数的近似值,理解普通记法和简记两种方法表示循环小数,会读循环小数。
3.通过动物乐园的情景,体会生活中的实际问题,进一步体会数学与生活的密切联系,利用已有知识,经历探索循环小数的过程,发展数学的应用意识。
【重点】　理解、掌握循环小数,会用“四舍五入”法对循环小数取近似值。
【难点】　理解余数和商的特点以及它们和被除数、除数之间的关系。
【教师准备】　PPT课件,教材中“循环小数”的相关素材。
【学生准备】　阅读教材相关知识。
1.用“四舍五入”法求近似数(保留两位小数)。
29.333≈　　　　9.237≈
42.2309≈　　　　1.203≈
2.计算下面各题,得数保留两位小数。
24÷13　　　　　　　19÷6
12.234÷8.23　　　　6.237÷3
【参考答案】　1.29.33　9.24　42.23　1.20　2.1.85　3.17　1.49　2.08
方法一
师过渡语:今天老师给大家带来一个故事,你们想听吗?不过,听我讲故事可得有个条件,待会老师讲不动了,你们可得帮我接着讲下去。
故事内容:“从前,有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚在给小和尚讲故事,讲的是什么内容呢?从前,有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚在给小和尚讲故事,讲的是什么内容呢?从前,有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚在给小和尚讲故事……”
师:你们能接着讲下去吗?谁来试一试?
(学生接着讲故事“从前,有座山……”)
师:同学们,这个故事能讲得完吗?
预设 生:永远也讲不完。
师:是啊,这个故事永远也讲不完,其实在数学中也有这样的数呢,大家想了解它们吗?这节课我们就来学习循环小数。
(板书课题:除得尽吗)
[设计意图]　利用学生喜欢的故事引出课题,调动学生的积极性。
方法二
1.教师质疑。
(1)一年四季是怎么交替的?
(2)太阳每天从哪边升起?从哪边落下?
(3)一周7天是按照什么规律排列的?
师:同学们,你们还可以举出一些这样的例子吗?
预设 生1:钟面上的时针总是沿着1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3……的方向,反复重复,周而复始。
生2:昼夜交替现象。
师:你们发现了什么?
预设 生:它们都是按照一定的规律依次重复出现。
2.导入新课。
师:在我们的生活中,有很多依次不断重复出现的现象,数学计算中也会遇到这样的现象,这节课我们就一起来探讨这样的知识——循环小数。
(板书课题:除得尽吗)
[设计意图]　通过谈话导入新课,使学生感到亲切,拉近师生之间的距离,将数学和生活结合在一起,学生很容易理解“循环”的含义,从而为后面的学习做好铺垫。
方法三
(PPT课件出示数学比赛情景)
师:同学们,谁想参加今天的数学擂台赛?下面我们就分成两组进行较量,你们可以自己决定进入哪一组。最先算完的,并计算正确的一组为今天的擂台赛冠军。你们有信心吗?
(PPT课件出示比赛题目)
第一组:400÷75
第二组:115.2÷96　271.4÷0.25
(各组各派一名学生进行板演)
比赛结束后组织讨论:为什么选做第一组题的同学只做了一道题还没做完,而做第二组题的同学多做一道题反而获得了冠军呢?
预设 生:第一组的算式总是重复,除也除不完。
揭示课题:这是怎么回事呢?今天我们就来探究这样的知识——循环小数。
(板书课题:除得尽吗)
[设计意图]　创设情景,激发学生的学习兴趣,把例题知识提前渗透,让学生通过对题量、难易程度不同的两组题的计算,初步感受无限小数和有限小数的特点,同时产生疑问“为什么400÷75和以前学习的小数除法不一样?好像永远也除不完”,进而使学生产生强烈的探索欲望。
一、初步感受循环小数的特点。
1.PPT课件出示教材第15页上面“知识窗”。
师:请同学们认真观察情景图,从中能找出哪些有用的数学信息?
预设 生1:我从情景图中知道了蜘蛛3分钟爬行了73米。
生2:从情景图中我知道了蜗牛11分钟爬行了9.4米。
师:同学们,你们根据这些数学信息能提出哪些数学问题呢?同桌之间说一说。
预设 生1:蜘蛛每分钟爬行多少米?
生2:蜗牛每分钟爬行多少米?
生3:蜘蛛和蜗牛谁爬得快?
[设计意图]　创设动物王国的情景,激发学生的学习兴趣,引导学生发现数学信息,提出数学问题,培养学生的数学应用意识,感受数学来源于生活。
2.根据问题,列出算式。
师:同学们,根据已知信息,我们怎么来求出蜘蛛和蜗牛爬行的速度呢?你是怎么想的?说一说。
预设 生1:根据信息“蜘蛛3分钟爬行了73米”,可以知道,73米是蜘蛛爬行的路程,3分钟是所用的时间,问题“蜘蛛每分钟爬行多少米”求的是蜘蛛的爬行速度。根据关系式:路程÷时间=速度,列出算式:73÷3。
(教师板书:73÷3)
生2:根据信息“蜗牛11分钟爬行了9.4米”,同样可以知道,9.4米是蜗牛爬行的路程,11分钟是蜗牛所用的时间,问题“蜗牛每分钟爬行多少米”求的是蜗牛的爬行速度。根据关系式:路程÷时间=速度,列出算式:9.4÷11。
(教师板书:9.4÷11)
3.探究发现,建立模型。
(1)估一估,谁爬得快一些?
预设 生1:蜘蛛3分钟爬行了73米,把蜘蛛爬行的73米看成60米,60÷3=20米,我们把73米往小估了,所以,蜘蛛每分钟爬行的路程应该是大于20米。把蜘蛛爬行的73米估成90米,90÷3=30米,我们把73米往大估了,所以,蜘蛛每分钟爬行的路程应该是小于30米。因此,蜘蛛每分钟爬行的路程应该在20~30米之间。
生2:蜗牛11分钟爬行了9.4米,9.4米小于11,把9.4米平均分成11份,每份不到1米,因此,蜗牛每分钟爬行的路程应该小于1米。
师:谁爬行的速度更快一些呢?
预设 生:根据估算可以看出,蜘蛛爬行的速度更快一些。
(2)计算蜘蛛和蜗牛爬行的速度。
师:通过估算,我们知道了蜘蛛比蜗牛更快一些,那么,到底有多快呢?我们来计算一下吧!
学生独立完成,指名板演。
师:同学们,你们计算出来了吗?
预设 生:还没有计算完呢!
师:计算时间这么久,你们遇到什么问题了吗?
预设 生:感觉好像除不完。
师:继续除下去能除得完吗?
预设 生:不能。(学生回答后,教师终止计算)
师:计算时你们发现了什么?(或观察算式你们发现了什么)
预设 生1:第一个算式(蜘蛛爬行的速度),从商的十分位开始,总是重复出现3,余数总是重复出现1。
生2:第二个算式(蜗牛爬行的速度),从商的小数部分的第二位开始,总是依次重复出现5和4,余数总是依次重复出现6和5。
师:像这种依次重复出现的现象叫作“循环”。
师:商重复出现的数字与余数重复出现的数字有联系吗?如果有,有什么联系?大家先独立思考。
师:现在把你的想法和同桌交流一下。
师:咱们先看第一个算式和竖式,谁来说一说你的想法。
预设 生:商从小数点后面开始每次除得到的商都是3,余数都是1,不断重复出现。
师:那这边呢?(手指着第二个算式和竖式)
预设 生:余数中的数字6和5循环,所以商中的数字5和4循环。
师:看来正是由于计算过程中余数的不断循环导致我们的商中小数部分的某些数字也在不断循环。
4.明确循环小数的意义。
师:像24.333…,0.85454…这样从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数,叫什么好呢?我们给它取一个名字吧!
生:循环小数。
(教师板书:循环小数)
5.介绍写法。
师:既然我们都算出来了,可是该怎么写上去呢?能一直写下去吗?
预设 生:不能
师:你有什么好的方法?
预设 生:可以用省略号代替,表示无限。
(教师在第一个横式后面板书:24.333…)
师:那这边应该怎样写呢?像这样吗“0.854…”?
预设 生:不可以,这样就不知道哪些数字在循环。
师:所以循环的数字我们至少要写两次。(教师板书在54后面又添上54)
6.循环小数的读法。
师:真不错!我们一起写好了,有谁愿意来尝试读一读这个算式?
学生试读。
师:其实啊,应该这样读:二十四点三,三循环。
师:你会读了吗?能把第二个算式的结果读给你同桌听听吗?
师:谁来尝试读给全班同学听?
预设 生:零点八五四,五四循环。
7.求循环小数的近似值。
根据需要,我们可以用“四舍五入”法对循环小数取近似值,如0.85454…保留两位小数就是:0.85454…≈0.85。
师:你能把24.333…保留两位小数吗?
预设 生:24.333…≈24.33。
[设计意图]　学生通过自主探究与合作交流认识了循环小数,使学生全面参与新知的产生、发展和形成过程,真正体验到探究的乐趣和学数学的价值,有利于学生今后的再学习。
二、进一步认识循环小数。
1.PPT课件出示教材第15页下面的内容。
计算下面各题,并说一说哪几题的商是循环小数。
1÷2　　 　1÷3 　　　1÷5　　 　1÷7
(学生独立完成计算,集体订正)
2.教师引导,进一步认识循环小数。
师:你们计算的结果是多少?哪些算式的商是循环小数?(指名汇报)
预设 生1:1÷2=0.5,不是循环小数。
生2:1÷3=0.33…,是循环小数。
生3:1÷5=0.2,不是循环小数。
生4:1÷7=0.142857142857…,是循环小数。
师:同学们,在计算1÷3和1÷7时,你是怎么计算的?除到哪一位就不再继续往下除了呢?
预设 生1:在计算1÷3时,余数第二次出现1时就不继续除了。
生2:在计算1÷7时,余数第二次出现1时就不继续除了。
师:为什么?
预设 生:因为余数依次重复出现相同的数字时,商也会依次循环。这时,就不用再继续除下去了。
师:观察上面四道算式,想一想,两个数相除,如果得到的商是小数,会有几种情况?
预设 生:会有两种情况:第一种,商的小数位数是有限的,可以除尽。第二种,商的小数位数是无限的,不能够除尽。
[设计意图]　通过“计算”,学生对“循环小数”加深理解,知道了在计算时,余数重复出现相同的数字时,不用继续计算,此小数是循环小数。
三、理解循环小数的循环节和简记法。
1.PPT课件出示教材第16页下面的“你知道吗”。
你知道吗
一个循环小数依次不断重复出现的数字,叫作这个循环小数的循环节。循环小数可以只写一个循环节,并在首位和末位上各点一个圆点。例如:0.666…写作0.6·,3.2727…写作3.2·7·,0.1875875…写作0.18·75·。你能用这种方法表示24.333…和0.85454…吗?
2.阅读“你知道吗”,理解相关内容。
师:其实啊,循环小数除了这种表示方法,还有其他的表示方法,你们想知道吗?现在请你自己认真仔细地阅读。
[设计意图]　通过“你知道吗”相关知识的探索,对学生渗透“循环节和简便记法”,体现了数学知识的连续性和全面性。
四、总结循环小数的特征。
师:我们学习了像24.333…,0.85454…这样的小数都是循环小数,那循环小数有什么特征呢?
师:请你把你的想法和同桌分享。
小结:通过观察这两个小数我们发现了,它们的小数部分有一个数字或几个数字依次不断重复出现,像这样的小数就是我们今天所认识的“循环小数”。
(教师板书:小数部分,从某一位数起,有一个数字或几个数字依次不断重复出现,像这样的小数就是“循环小数”)
[设计意图]　通过“总结循环小数”的特点,加深对循环小数意义的理解和掌握。
1.填一填。
(1)一个数的小数部分,从某一位数起,一个数字或者几个数字(　　　　　　)出现,这样的小数叫作循环小数。
(2)4.385385385…,它的循环节是(　　　),用简便方法表示是(　　　),将它保留三位小数是(　　)。
2.写出下面各循环小数的近似值(保留三位小数)。
0.3333…≈(　　)　13.67373…≈(　　)
8.534534…≈(　　)　4.888…≈(　　)
3.你会比较这些小数的大小吗?试试看!
0.66(　　)0.6·　　　8.2·5·(　　)8.25
5.414(　　)5.41· 3.888(　　)3.08·
7.282·(　　)7.2·8· 0.9·(　　)0.9999
【参考答案】　1.(1)依次不断重复　(2)385　4.3·85·　4.385　2.0.333　13.674　8.535　4.889
3.<　>　>　>　<　>
这节课我们一起学习了循环小数,掌握了循环小数的意义和循环节以及循环小数的简便记法。像24.333…,0.85454…这样的小数,从小数部分某一位数起,有一个数字或几个数字依次不断重复出现,这样的小数就是“循环小数”。
作业1
教材第16页“练一练”的第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)在0.3232,4.555…,3.14,6.92727,0.142857142857…中,循环小数有(　　　　　　　　　)。
(2)3.713713…保留两位小数取近似值是(　　　)。
2.(难点题)计算下列各题,哪些商是循环小数?
5÷8=　 　10÷3=　 　12÷16=
3.(重点题)写出下列各循环小数的近似值。(保留三位小数)
2.3·5·≈　　　　　　0.39·6·≈
4.2·0·≈ 10.5·9·≈
3.4·12·≈ 9.13·5·≈
8.7·≈ 0.65·≈
【提升培优】
4.(易错题)从大到小排列下面各数。
(1)0.306306,0.306·,0.30·6·,0.3·06·,0.306。
(2)3.26·,3.266,3.26·7·,3.27·6·,3.2626。
5.(易错题)一辆汽车7小时行600千米,平均每小时行多少千米?(保留整数)
【思维创新】
6.(探究题)3÷7的商的小数点后面第2015位上的数字是几?
【参考答案】
作业1:1.196÷3≈65.33(千米),65.33…是循环小数　131÷5=26.2(千米)　241÷6≈40.17(千米)　40.166…是循环小数　2.0.666…　1.48383…　0.1875875…　0.333…　0.111…　3.(从左到右,循环小数后面打“√”)　0.375　1.333…√　1.428571428571…√　0.5　1.29090…√　0.0444…√　0.111…√　0.833…√
作业2:1.(1)4.555…,0.142857142857…　(2)3.71
2.0.625　3.33…(商是循环小数)　0.75　3.2.354　0.397　4.202　10.596　3.412　9.135　8.778　0.656　4.(1)0.306·>0.3·06·>0.306306>0.30·6·>0.306　(2)3.27·6·>3.26·7·>3.26·>3.266>3.2626　5.600÷7≈86(千米)　6.3÷7=0.428571428571…　2015÷6=335……5,是7。
除得尽吗
73÷3≈24.333…　　　　　　　9.4÷11≈0.85454…
像24.333…,0.85454…这样的小数,从小数部分某一位数起,有一个数字或几个数字依次不断重复出现,这样的小数就是“循环小数”。
本节课的教学目标是通过计算蜘蛛和蜗牛平均每分爬行多少米,发现余数和商的特点,知道什么是循环小数,学会用“四舍五入”法取近似值。重、难点是会判断一个数是否是循环小数。
引入激趣,初步感知循环。例如,讲故事“从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事;从前有座山……”一年四季的循环现象……激发兴趣,让学生初步感知重复,即循环现象,为突破难点埋下第一次伏笔。
创设问题情景,理解循环。通过动物乐园两只小动物爬行,让学生发现条件,提出问题,列式比赛解决问题,使学生成为真正的发现者。又一次感知循环小数这种数学现象,激发起学生探究新知的高昂兴趣。
引导学生自主探索,参与知识形成的全过程。数学知识只有通过学生亲身主动的参与,自主探索,才能转化为学生自己的知识,本节课通过让学生算一算、想一想、观察、比较、讨论中获得循环小数的特点。
本节课是概念课,学习了什么是循环小数,在总结的过程中只是在形式上简单的让学生谈一谈有什么收获。有些草率,效果不是很好。在学习“循环节和简记法”时,因为本部分不要求学生掌握,我只让学生简单地读一读,作为了解,没有深入讲解。
课堂教学是教与学的双边活动,学生要求参与其中,不是老师一味地讲解,在以后的教学设计中要注意这一点。
【练一练·16页】
1.196÷3≈65.33(千米),65.33…是循环小数　131÷5=26.2(千米)　241÷6≈40.17(千米)　40.166…是循环小数　2.0.666…　1.48383…　0.1875875…　0.333…　0.111…　3.(从左到右,循环小数后面打“√”)　0.375　1.333…√　1.428571428571…√　0.5　1.29090…√　0.0444…√　0.111…√　0.833…√　4.100÷60≈1.67(千米)
【你知道吗·16页】
24.3·　0.85·4·
　下面各小数中,哪些是循环小数?哪些不是循环小数?
1.666…　　3.1414…　　23.1515　　4.88
[名师点拨]　根据循环小数的概念判断哪些是循环小数,哪些不是循环小数。
[解答]　1.666…,3.1414…是循环小数;23.1515,4.88不是循环小数。
【知识拓展】　一个循环小数依次不断重复出现的数字,叫作这个循环小数的循环节。例如,5.233…的循环节是3;6.29258258…的循环节是258。循环小数可以只写一个循环节,并在循环节的首位和末位上点上圆点。例如,5.233…写作5.23·。
纯循环小数和混循环小数
从小数部分第一位开始的循环小数,称为纯循环小数。纯循环小数是从十分位开始循环的小数,如0.33333333…,0.142857142857…等。顾名思义,纯循环小数就是在纯小数的基础上变成循环小数。
循环节不是从小数部分第一位开始的叫混循环小数。例如:1.2333333…,13.0984343434343…等。
数学黑洞
你听说过黑洞吗?1939年,美国物理学家奥本海默和斯奈德设想,如果恒星的质量保持不变并不断地收缩下去,那么,恒星的密度就会越来越大,引力随距离的减少而迅速增大,直至大到任何物质都不能从中跑出去,甚至光都被牢牢吸住。光都出不来了,人们看到的只能是一片“漆黑”,这就是黑洞。黑洞有两个特征:一是它里面的东西出不来;二是外面的东西一旦进入它的圈子,就被拉进去。第二个特征将你吸引进去,第一个特征则使你陷入洞中无法逃脱。
在数学中,也存在着很多各式各样的黑洞。下面,让我们一起来领略一下“数学黑洞”的风光吧!
西西弗斯串。在希腊神话中,科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上,但无论他怎样努力,这块石头总是在到达山顶之前不可避免地滚下来,于是他只得重新去推,永无休止。在数学中同样的事情也可能发生。开始时任意取一个数字串,中华人民共和国成立于1949年10月1日,我们就取1949101吧,数出这个数字串中的偶数个数、奇数个数及这个数的位数。1949101中有2个偶数,5个奇数,是7位数,用这3个数字组成下一个数字串257。对257重复进行上面的程序,得到123。对123再重复这个程序,得到的还是123。这时,你会意识到,反复使用这个程序,一旦得到123就再也出不来了。对于这个程序以及数字“宇宙”来说,数123就是一个数学黑洞。每一个数最后都得到123吗?我们用一个比较大的数试试看。例如31415926535897932384626433832795028841,这是圆周率π序列中的前38个数字,它是一个质数。这个数中的偶数、奇数及数位个数分别为18,20和38,将这三个数合起来得到182038。对182038重复这个程序得到426,再重复这个程序得到303,最后一次重复程序得到123。你看,又跌进了123这个黑洞!
这个西西弗斯串是怎样起作用的呢?数学家解释是很大的输入得到较小的输出,这样便使一个无限的宇宙缩小为一个可控制的有限的宇宙。