北师大五年级上册数学教案-第2单元-2：轴对称再认识(二)（含反思+同步习题）

2　轴对称再认识(二)
本节课轴对称再认识(二)是属于本册教材第2单元“轴对称和平移”的内容,属于小学数学“空间与图形”领域。
本节课的教学是在学生已经掌握了轴对称图形的特征,认识并且会画轴对称图形的对称轴的基础上进行教学的,根据教材的情景,教材设计了三个问题,其中,前两个问题是在方格纸上补全轴对称图形的问题,第三个问题是在方格纸上画出某一个图形的轴对称图形。目的是丰富学生画轴对称图形的经验,进一步帮助学生熟悉画一个图形的轴对称图形的方法,从而进一步了解轴对称图形的特征,为后面的学习奠定基础。
1.借助方格纸补全一个简单的轴对称图形,或画出某一个图形的轴对称图形。
2.在画图活动中,进一步体会轴对称图形的特征,积累图形运动的思维经验,发展空间观念。
【重点】　画出已有图形的轴对称图形。
【难点】　根据要求画出图形的轴对称图形。
【教师准备】　PPT课件,有关本节的图片素材。
【学生准备】　方格纸。
1.下列图形中是轴对称图形的在括号里写出有几条对称轴。
2.下列图形的对称轴画得对吗?说出你的理由。
【参考答案】　1.一条　一条　两条　一条　2.平行四边形的对称轴是错误的,平行四边形是没有对称轴的;“十字标记”的对称轴是正确的,它应该有四条对称轴,只不过题中只画了一条。
方法一
师:通过上节课的学习,我们已经掌握了轴对称图形的特征,你们还记得吗?
预设 生:轴对称图形经过对折,直线两边的部分能够完全重合。
师:那么我们怎样在方格纸上画出轴对称图形的另一半呢?
揭示课题:今天我们来进一步学习有关轴对称图形的问题。
(板书课题:轴对称再认识(二))
[设计意图]　通过开门见山导入新知,学生明确这节课的学习任务是什么,在学生的头脑中可以形成一个知识链。
方法二
1.PPT课件出示教材主题图①(半个小房子),引导学生观察、想象。
师:同学们,观察大屏幕,想象一下小房子的另一半是什么样的?(学生想象)
预设 生:小房子的另一半应该和左侧的图案是相同的,只是方向是相反的。
2.PPT课件出示淘气画出的房子的另一半。
师:淘气画出小房子的另一半后,绘制成的完整的小房子和你想象的图案一致吗?
预设 生:不太一样。
师:小组内交流,和同桌说说哪里不一样。
预设 生1:小房子有些扭曲。
生2:小房子不对称。
3.揭示问题:如果要你画,你想怎样画?今天,我们继续学习轴对称图形的有关知识。
(板书课题:轴对称再认识(二))
[设计意图]　由于本节课的重要目标是让学生进一步体会轴对称图形的特征,所以不能只停留在简单的直观认识上,因此细致的观察和大胆的想象是帮助我们达成目标的前提。所以上课的伊始创设了一个观察图片的情景,激发学生的兴趣,同时也让学生体会观察和想象的重要作用,有意识地发展学生的空间观念。从生活情景的引入到抽象的图形的引入,是引导学生逐步抽象的过程,借助淘气的错误认知进入下一环节更深入的学习。
一、教学“淘气画得对吗,为什么?”。
师过渡语:同学们,我们已经掌握了轴对称图形的特征,下面是淘气根据轴对称图形的特征画的小房子的另一半,画出了整个房子,他画得对吗?
1.PPT课件出示教材第23页上面情景图。
2.观察大屏幕,发现问题。
师:同学们,淘气根据轴对称图形的特征画出了小房子的另一半,组成了一个新的小房子,你认为他画得正确吗?
(小组讨论,全班交流,代表汇报)
预设 生:老师,我们小组认为淘气画得不正确。在全班交流时,我们小组的意见和其他小组的意见相同,都是认为淘气画的小房子的另一半是不对的。
师:同学们,你们为什么认为淘气画得不对?你们有什么根据吗?
(教师再次组织学生独立思考,小组内交流,汇报淘气画得不对的原因)
预设 生1:我们小组把淘气画的小房子刻印在一张白纸上,然后剪下,把剪下的小房子的平面图形进行对折,两边的部分不能够完全重合,所以我们小组认为淘气画的小房子是不对的。
生2:我们小组没有进行对折,通过观察发现,小房子左边的各个点到对称轴的小格子数与右边对应点到对称轴的小格子数并不完全相同,房子有些扭曲,所以我们小组认为淘气画的是不对的。(小组出示图例)
师:我们怎样才能正确地画出平面图形的另一半呢?
3.学生在教材的方格纸中,把淘气的错误画法改正过来。
二、以虚线为对称轴,在方格纸上画出图形的另一半。
师:为了能够准确画出平面图形的另一半,只凭借猜想和想象是不够的,我们怎么才能准确地画出轴对称图形的另一半呢?
1.PPT课件出示教材第23页第二个问题。
以虚线为对称轴,在方格纸上画出图形的另一半。
　　师:同学们,我们应该怎样解决这样的问题呢?把你的想法和小组内的同学交流一下吧!(小组内进行交流、讨论,然后汇报)
2.学生汇报思路。
师:你们想到解决问题的方案了吗?汇报一下你的想法吧。
　　方法一:我们可以根据轴对称图形的特征,把教材中的方格纸进行对折,通过透印或者刻印的手段,画出图形每条线段重合的端点,再将对折的方格纸打开,然后按照所给图形的顺序连接各点,绘制出图形的另一半。(PPT课件演示)
师:同学们,每次做关于轴对称图形的题时都要把教材中的方格纸剪下,这可不是聪明的办法,你们还有更好的解题思路吗?
(学生思考,教师针对情况进行引导)
师:同学们,你们想到了吗?老师这儿有一个轴对称图形,请你们观察一下,从中你们可能有所发现。
(1)PPT课件出示教师课前准备好的轴对称图形。
师:同学们,观察大屏幕呈现的轴对称图形,你发现了什么?
预设 生:发现了A,B两点是关于对称轴对称的,点C和点D也是关于对称轴对称的。
师:我们可以把点B看成是点A的对称点,把点D看成是点C的对称点。
师:我们再次观察轴对称图形两边的对称点到对称轴的方格数(距离)有什么关系?
预设 生1:我发现点A到对称轴的距离是3个格子,点B到对称轴的距离也是3个格子。
生2:我发现点C到对称轴的距离是2个格子,点D到对称轴的距离也是2个格子。
生3:两个对称点到对称轴的方格数(距离)相等。
师:同学们,那你们知道老师是怎么画出这个轴对称图形的另一半的吗?
预设 生:老师是先找到图上每条线段端点的对称点,再依次连接这些对称点,就得到了轴对称图形的另一半。
师:你们能根据这种方式画出轴对称图形小松树的另一半吗?(学生自己画图尝试)
　　方法二:先找到每条线段的端点(即关键点),再找到这些端点的对称点,然后按照所给图形的顺序连接各点。
3.总结补全一个轴对称图形的方法。
师:同学们,你们是怎么做到的?把你们的方法总结一下吧!
补全一个轴对称图形的方法:一是找出图形上每条线段的端点(关键点);二是数出或量出各关键点到对称轴的距离;三是根据对称轴画出每个端点的对称点;四是依次连接这些对称点,得到轴对称图形的另一半。
(教师板书:一是找出关键点,二是数出距离,三是画出对称点,四是依次连接对称点)
[设计意图]　学生已经有了对轴对称图形的直观认识,再认识实质上是进入分析阶段,引导学生观察教师画出的轴对称图形,根据轴对称图形的特征,领悟画轴对称图形的方法,那么就需要借助一个有效的载体——画,所以在本环节设计了画的环节,就是通过画图让学生深入理解轴对称图形的特征。通过每一次活动的不断深入,都让学生对轴对称图形有更深层次的了解和掌握。
三、以虚线为对称轴,画出下列图形的轴对称图形。
1.PPT课件出示教材第23页第三个问题。
以虚线为对称轴,画出下面图形的轴对称图形。
师:观察画面,好像哪里和我们刚才学习的轴对称图形的画法不一样,你看出来了吗?
预设 生:刚才学习的是画轴对称图形的另一半的方法,而这里的画面呈现的是一个完整的图形,画出关于对称轴对称的完整图形。
师:增加了困难,你们可以完成吗?
2.学生独立解决,小组讨论,全班交流。
3.学生汇报。
预设 生:我们还是依据补全一个轴对称图形的方法:一是找出图上每条线段的端点(关键点),二是数出或量出每个关键点到对称轴的距离,三是根据对称轴画出每个端点的对称点,四是依次连接这些对称点,来解决这个问题的。
4.比较问题二和问题三的异同。
(1)PPT课件呈现两种方法。
问题二:
问题三:
(2)引导学生思考,发现相同点和不同点。
师:同学们,比较第二个问题和第三个问题,它们的相同点和不同点是什么?
预设 生1:这两个问题画图的方法是相同的,都是依据:一是找出图上每条线段的端点(关键点),二是数出或量出各个关键点到对称轴的距离,三是根据对称轴画出每个端点的对称点,四是依次连接这些对称点,来解决这个问题的。
生2:不同点在于:第二个问题给出的图形是轴对称图形的一部分,对称轴在图形上,第三个问题给出的图形是一个完整的图形,对称轴在图形之外。
[设计意图]　引导学生进行操作、探究等活动,通过运用探索出的补全一个轴对称图形的方法,进而解决在方格纸上画某个图形的轴对称图形的问题,是对上一个问题的拓展和延伸。
1.填空。
(1)如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是(　　　　),折痕所在的直线叫作(　　　　)。
(2)圆的对称轴有(　　　　)条,半圆形的对称轴有(　　)条。
2.分别画出①号和②号图形的另一半,使它们成为轴对称图形.
3.画出下面图形的轴对称图形。
【参考答案】　1.(1)轴对称图形　对称轴　(2)无数　1
2.
3.
这节课我们一起学习了画轴对称图形的方法:一是找出图上每条线段的端点(关键点),二是数出或量出各个关键点到对称轴的距离,三是根据对称轴画出每个端点的对称点,四是依次连接这些对称点。
作业1
教材第24页“练一练”的第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)以虚线为对称轴,分别画出下面各点的对称点。
2.(重点题)你能画出这棵松树的另一半吗?它可是轴对称图形啊!
【提升培优】
3.(难点题)画出下面图形的另一半。
4.(易错题)将图中的图形以虚线为对称轴画出它的另一半,使它成为轴对称图形。
【思维创新】
5.(探究题)已知六边形ABCDEF是一只蝴蝶的一半,你能找到各点的对称点,画出这个轴对称图形吗?
【参考答案】
作业1:2.
作业2:1.
2.　3.
4.　5.
轴对称再认识(二)
补全简单的轴对称图形的方法一是找出关键点二是数出或量出各个关键点到对称轴的距离三是画出对称点四是依次连接对称点
轴对称是一种最基本的图形变换,是学习空间与图形知识的必要基础,对于帮助学生建立空间观念,培养学生的空间想象力有着不可忽略的作用。
教学轴对称图形,教材中安排了形式多样的操作活动,在本节课的教学中,我结合教材的特点,设计了三次操作活动,让学生在动手操作中逐步体验轴对称图形的基本特征。
一、创设情景教学,导入一:通过问题,直接导入新知。可以明确学习任务,让学生事先有个心理准备,我们应该干些什么。导入二:通过创设情景,揭示课题。通过学生的直观观察来判断“小房子画得正确吗?”激发学生的学习兴趣,培养了学生思考动脑的能力,通过答案都不同,激发学生继续探索的欲望。
二、本节课的第一次操作活动,根据轴对称图形的特征,通过画出小松树另一半的实际情景,探索解决问题的思路,从而掌握画简单的轴对称图形的方法。
三、在教学以虚线为对称轴,画出图形的轴对称图形时,通过方法的迁移,学生独立完成,锻炼了学生的动手能力,通过问题二和问题三的比较,知道它们的相同点和不同点,为以后的学习奠定了基础。
没有充分利用已有资源调动学生,留给学生思考的时间较少,整节课老师所占的时间较多,没有充分做到师生合作,给学生自主探索思考的空间较少。这样不利于培养学生的自学能力,也不利于发展学生的思维,不利于学生主体作用的发挥。
再进行设计时,要关注学生的差异,学生的层次的不同,设计的练习应满足不同基础的学生的需要。
【练一练·24页】
1.
2.
4.或
　在方格纸上画出下面图①中图形的另一半,使它成为轴对称图形。
　　①
[名师点拨]　画轴对称图形的另一半,应找出图形的关键点。一般情况下,图形的顶点、线段的交点是关键点。图中的图形以A,C两点所在的直线为对称轴,关键点应是B点。B点到对称轴的距离是3格,B点的对称点到对称轴的距离也应是3格。在过B点且垂直于对称轴所在的直线上找到B点的对称点D,连接DA,DC,就得到一个轴对称图形。
[解答]　如图所示。
对称与对仗——谈变化中的不变性质
数学中有对称,诗词中有对仗,乍看上去两者似乎风马牛不相及,其实他们在理念上具有鲜明的共性:在变化中保持着不变的性质。
教学中说,这两个图形是轴对称的,在对仗中也反映出来了。例如,我们看唐朝王维的诗句:“明月松间照,清泉石上流”。
诗的上句“变换”到下句,内容从描写月亮到描写泉水,确实有变化。但是,这一变化中有许多是不变的。
“明”——“清”(都是形容词)
“月”——“泉”(都是自然景物,“名词”)
“松”——“石”(都是自然景物,“名词”)
“间”——“上”(都是介词)
“照”——“流”(都是动词)
对仗之美在于它的不变性。例如上联的词语变到下联,含义、词性、格律全都变了,就成了白开水,还有什么味道?
世间万物都在变化之中,但是只说事物在“变”,不说明什么问题。科学的任务是要找出“变化中不变的规律”。一个民族必须与时俱进,不断创新,但是民族的传统精华不能变。京剧需要改革,可是京剧的灵魂不能变。古典诗词的内容千变万化,但是基本的格律不变。自然科学中,物理学有能量守恒,动能守恒;化学反应中有方程式的平衡,分子量的总值不能变。总之,唯有找出变化中的不变性,才有科学的、美学的价值。
数学上的对称本来只是几何学研究的对象,后来数学家又把它拓展到代数中,例如,二次式x2+y2,当把x变换为y,y变换为x后,原来的式子就变成了y2+x2,没有变化。由于这个代数式经过x与y变化后形式上与先前完全一样,所以把它称为对称的二次式。进一步说,对称,可以用“群”来表示,各色各样的对称群成为描述大自然的数学工具。
对称是个十分宽广的概念,它出现在数学教材中,也存在于日常生活中,能在文学意境中感受到它,你还能在建筑物、绘画艺术中看到它。对称甚至成为大自然的深刻结构的一部分。数学和人类文明同步发展,“对称”是纷繁文化中的一颗明珠。
对称的古都“北京”
因为在直升飞机上鸟瞰北京,人们惊奇地发现,景山犹如一个人像,五官俱全,左右对称。
　　古老的北京城是一座对称的城市。它以故宫为中心,从永定门、前门、天安门、午门、神武门、景山到地安门、钟楼、鼓楼和安定门,组成了一条中轴线。东四、西四等南北平行的大街,同一条条东西向的胡同纵横交错,分列在中轴线的两旁。因为对称,北京的道路也就很好辨认。许多象征封建时代帝王权力的重要建筑,也都整齐对称地分布在中轴线的周围。如明、清两代帝王祭天祭地的天坛和地坛,筑在轴线的南北两端的东侧;天安门的东边,有着皇室的太庙(现已改建为劳动人民文化宫),它的西边,都是祭神祈谷的社稷坛(现已辟为中山公园)。这种对称的格局在故宫的宫殿建筑上表现得尤为明显。紫禁城内部,不仅殿堂建筑此起彼落,互相对应,甚至连道旁的石兽石栏,城边的角楼,屋脊上的雕刻,也都成双配对,相映成趣。整齐对称,构成了北京城市建筑上的独特风格和宏伟的气势,给人以稳重、博大、端庄的感觉。
　　北京有着三千多年的历史。辽代以后,是元、明、清三个朝代的都城。它集中地代表了中华民族的古老文化,名胜古迹很多,如故宫、景山、北海、中南海、颐和园、天坛、地坛、长城——八达岭、慕田峪长城、周口店中国猿人和山顶洞人遗址等。很多建筑物造型奇特,蕴含着丰富的文化思想。如天坛是一个圆丘,地坛却成方形,这正符合我国古代的“天圆地方”的说法。
　　北京西倚太行,背靠燕山,东临渤海,面向华北平原,属温带大陆性气候,四季分明,春干、夏热、秋凉、冬寒。
　　现在的北京市,有16个区,面积约16000平方千米,人口近两千多万。它是我国的政治、经济、文化中心。市内高楼林立,车水马龙,非常繁华。北京的现代建筑在布局上虽已不像过去那样恪守对称的陈规,但市政建设还是考虑到我国的传统风格。例如,以紫禁城为中心的环城地铁、二环路、三环路、四环路、五环路等,都是对称的。古老的北京城的中轴线及其延长线,正在被改建成南接京郑公路、北经亚运村,直达燕山奇峰的现代化中轴路。