北师大五年级上册数学教案-第3单元-1：倍数与因数（含反思+同步习题）

1　倍数与因数
本节内容是认识倍数与因数,以及找一个数的倍数的方法,“倍数与因数”是整数学习中的重要概念,也是分数学习中的重要基础知识。教材中利用整数乘法认识倍数与因数,设计了四个递进问题。其中,第一个问题根据情景写出乘法算式;第二个问题认识倍数与因数;第三个问题结合乘法算式,判断倍数与因数;第四个问题结合给定的数,探索找7的倍数的方法。
1.结合具体情景,联系乘法算式认识倍数与因数。
2.探索找一个数的倍数的方法,能在1~100的自然数中,找出10以内某个自然数的所有倍数。
3.积极参与数学的学习活动,初步养成乐于思考的良好品质。
【重点】　认识倍数与因数,掌握找一个数的倍数的方法。
【难点】　理解因数与倍数之间的关系。
【教师准备】　PPT课件;与本课时内容有关的素材。
填一填。
(1)24=1×(　　)=2×(　　)=3×(　　)=(　　)×(　　)。
(2)　2　　×　9　=　　18
　　|　　　　|　　　　|
　 (　　)　 (　　)　 (　　)
【参考答案】　(1)24　12　8　4　6　(2)乘数　乘数　积
方法一
谈话导入。
师:生活在人类社会中,每个人都有着复杂的关系网,每个人都有自己的好朋友,你能告诉我你的好朋友是谁吗?
　　学生根据自己的朋友关系,回答出老师的问题。
　　师:通过同学们的回答,老师了解了你们的交友情况。淘气是笑笑的好朋友,???是XXX的好朋友。
(根据学生回答情况,教师追问)
师:如果他这样介绍:淘气是好朋友。可以吗?
预设 生:不可以。
师:为什么不可以呢?
预设 生:这样说指代不明,这样就不知道淘气是谁的好朋友了。
师:朋友是表示人与人之间的关系,我们在介绍的时候就一定要说清楚谁是谁的朋友,这样别人才能明白。在数学中,也有描述数与数之间关系的概念,今天这节课我们就要来研究有关这方面的一些知识——倍数与因数。
(板书课题:倍数与因数)
[设计意图]　通过人际关系——朋友关系引入,呈现同学之间的朋友关系,有利于学生间的团结,通过话题一转引入因数与倍数的关系,能充分调动学生的学习积极性。
方法二
直接导入。
师:在运动会上,各个班级要列成方队,接受检阅,下面是两个班级方阵的点子图,请同学们看大屏幕。
(PPT课件出示教材情景图)
运动会上两个班同学分别排出下面两种队形,算一算两班各有多少人。
师:从图中你能获得哪些有价值的数学信息解决问题?
预设 生1:列出算式:4×9=36(人)。
生2:列出算式:9×4=36(人)。
生3:列出算式:7×5=35(人)。
生4:列出算式:5×7=35(人)。
师:(针对算式4×9=36或9×4=36)同学们,在乘法算式中,4和9叫作什么?36呢?
预设 生:4和9叫作乘数,36叫作积。
师:根据上面的分析,说一说7×5=35或5×7=35的算式。
预设 生:5和7叫作乘数,35叫作积。
师:同学们,说得非常好。老师告诉大家,在乘法算式中,还有另外一种关系,还有新的名称,你们想知道吗?今天,我们来学习这样的知识——倍数与因数。
(板书课题:倍数与因数)
[设计意图]　在呈现教材中的情景图片时,请学生从中说出获得的信息并解决问题,通过学生的回答,引入乘法算式的另一个关系“倍数与因数”,激发了学生的求知欲望。
方法三
创设情景,引出课题。
师:在我们的人生角色中,我们每个人都有着不同的身份,同学们,你们思考过这样的问题吗?(学生可能有些困惑,教师引导)
师:比如:在家中,你们是爸爸、妈妈的什么?
预设 生:孩子。
师:在学校,你们是……
预设 生:学生。
师:在弟弟、妹妹面前,你们是……
预设 生:哥哥、姐姐。
……
师:同是一个人,有着不同的身份。在数学知识领域中,也有很多这样的现象。今天我们就来学习这样的知识。
(板书课题:倍数与因数)
[设计意图]　创设情景,呈现各种各样的角色,让学生感受数学与生活的共性联系,激发学生学习的兴趣,为学习本课做铺垫。
一、认识倍数与因数。
师:同学们,下面的点子图是运动会上两个班同学分别排出的两种队形,算一算两班各有多少人。(PPT课件出示教材主题图)
1.根据题意列出算式,解决问题。
师:从图中你能获得哪些有价值的数学信息?怎样列式?
预设 生1:第一个方阵有4排,每排有9人,一共有多少人?用乘法计算。列出算式:4×9=36(人)。
(教师板书:4×9=36(人))
生2:还可以这样想,第一个方阵有9列,每列有4人,一共有多少人?也用乘法计算。列出算式:9×4=36(人)。
(教师板书:9×4=36(人))
生3:第二个方阵有7排,每排有5人,一共有多少人?用乘法计算。列出算式:7×5=35(人)。
(教师板书:7×5=35(人))
生4:还可以这样想,第二个方阵有5列,每列有7人,一共有多少人?也用乘法计算。列出算式:5×7=35(人)。
(教师板书:5×7=35(人))
2.认识倍数与因数。
师:(针对算式4×9=36或9×4=36)同学们,在乘法算式中,4和9叫作什么?36呢?
预设 生:4和9叫作乘数,36叫作积。
师:根据上面的分析,说一说7×5=35或5×7=35的算式。
预设 生:5和7叫作乘数,35叫作积。
师:观察算式9×4=36或4×9=36结合第一个班级队形的点子图,你们还有什么不一样的理解?(如果学生疑惑,教师进行引导)
预设 生1:老师,我是这样理解的,方阵中一共有36人,共有4排,一排9人,我们可以理解为36是9的4倍。
生2:我们是不是也可以这样来理解,方阵中一共有36人,有9列,每列4人,36就是4的9倍。
师:观察乘法算式中4,9,36他们都是我们学习过的什么数?
预设 生:自然数(整数)。
师:同学们,老师告诉大家。在乘法算式9×4=36(或4×9=36)中,乘数4和9以及积36都是自然数,人们把具有这样特征的乘法算式里的乘数叫作积的因数,积叫作乘数的倍数。
(教师板书:倍数,因数)
3.倍数与因数的关系。
师:结合算式9×4=36(或4×9=36),说一说谁是谁的因数,谁是谁的倍数。
预设 生:9和4是36的因数,36是9和4的倍数。
师:我们可不可以单一地说36是倍数,9和4是因数呢?
预设 生:不可以。
师:为什么不可以?能说说你的理由吗?
预设 生1:我们只说36是倍数,或者只说9和4是因数,听起来就不清楚36是谁的倍数,9和4是谁的因数。
生2:在9×4=36的算式中,9和4是36的因数,36是9和4的倍数。在算式3×3=9中,3是9的因数,9是3的倍数。从两道算式中不难看出,9既是倍数,同时也是因数。只是单一地说某一个数是倍数,或者说某一个数是因数,是不正确的。
师:同学们说得真好,倍数与因数相互依存,没有倍数就不存在因数,没有因数就不存在倍数,不能单一说一个数是倍数或因数。
(教师完善板书:“与”“相互依存”)
师:算式7×5=35或5×7=35,谁是谁的因数?谁是谁的倍数?
预设 生:35是7和5的倍数,7和5是35的因数。
(PPT课件出示教材问题三)
根据算式说一说哪个数是哪个数的倍数,哪个数是哪个数的因数。
25×3=75　　　　20×5=100
　　师:在说倍数(或因数)时,我们必须说明谁是谁的倍数(或因数)。不能单独说谁是倍数(或因数),因数和倍数不能单独存在。你能完整地表达谁是谁的因数?谁是谁的倍数吗?
预设 生1:第一个算式,75是25和3的倍数,25和3是75的因数。
生2:第二个算式,100是20和5的倍数,20和5是100的因数。
4.明确研究倍数与因数的范围。
(PPT课件出示)
0×3　　0×10　　0÷3　　0÷10(学生口算)
　　师:通过刚才的计算,你有什么发现?
　　预设 生1:我发现0和任何数相乘,都等于0。
　　生2:0除以任何数都等于0。
　　生3:我补充,0不能作为除数。
　　师:所以在研究因数和倍数时,我们所说的数一般指自然数,不包括0。
　　师生小结。
师:刚才,你们都学会了哪些知识?还有什么不明白的地方?
　　预设 生:我有一个疑问,在2×6=12中,2在算式中叫因数,而2是12的因数,这两种说法一样吗?
　　师:这个问题提得好!谁能回答他的问题?
　　预设 生1:我觉得好像不一样,但不知道为什么。
　　生2:我认为不一样,在2×6=12中,2叫因数(乘数)是指在算式中它的名称,而2是12的因数指的是2和12的关系。
　　师:说得真好!这节课我们研究因数与倍数的关系中所说的因数不是乘法算式中各部分名称中的“因数”,两者可不能搞混哦!
5.因数与倍数的含义。
师:我们表示一个普遍性的关系,通常用什么来表示?
预设 生:用含有字母的式子来表示。
师:如果用字母a,b,c表示算式中的3个数,那么因数与倍数应该怎样表达?
预设 生:如果a×b=c,那么a和b是c的因数,c是a和b的倍数。
师:他概括的对吗?
预设 生:他概括得不够完整。
师:还需要什么条件呢?
预设 生:因为我们研究“倍数与因数”,是在自然数(0除外)的范围内研究的,所以a,b,c都不能是0。
师:那么,你现在完整地概括一下。
预设 生:如果a×b=c(a,b,c是不为0的自然数),那么a和b是c的因数,c是a和b的倍数。
[设计意图]　放手让学生自己实践,通过算式解决问题,从中掌握谁是谁的因数,谁是谁的倍数。以小组学习探讨的形式,创设自由的学习气氛。通过学生自己的质疑,学生内部解决,培养了学生发现问题、解决问题的能力。通过用字母表示因数与倍数的含义,为后面学习字母表示数奠定了基础。
二、找一个数的倍数的方法。
师:同学们,给你一个数,你能准确地找出它的倍数吗?请同学们看大屏幕。
1.(PPT课件出示教材问题四)
下面哪些数是7的倍数?与同伴交流你的想法。
　　师:同学们,大屏幕上显示的5个数字,哪些是7的倍数?哪些不是7的倍数呢?
(学生自主解决,小组内交流,然后汇报)
预设 生:7是7的倍数,14是7的倍数,17不是7的倍数,25不是7的倍数,77是7的倍数。
师:你是怎样判断的?
预设方法。
方法一:利用除法找倍数。
用上面这几个数分别除以7,如果商是自然数,而且没有余数,那么这个数就是7的倍数;如果商是自然数,但是有余数,那么这个数就不是7的倍数。
7÷7=1　　　　17÷7=2……3
14÷7=2 25÷7=3……4
77÷7=11
所以7,14,77是7的倍数,17,25不是7的倍数。
方法二:利用乘法找倍数。
看7和一个自然数相乘的积,能得到上面这几个数中的哪一个,这个数就是7的倍数,一般从自然数1开始和7相乘。
7=7×1
14=7×2
77=7×11
所以,7,14,77是7的倍数,17,25不是7的倍数。
2.找出7的其他倍数的方法。
师:7的倍数只有7,14,77吗?还有没有其他的倍数了呢?
预设 生:7的倍数除了7,14,77以外,还有其他的倍数。
师:用你喜欢的方式,找出100以内所有7的倍数吧!
(学生独立完成,小组内交流)
师:你们是用什么样的方法找出7的其他倍数的?
预设 生:利用乘法找倍数的方法来找一个数的倍数,用7分别和自然数1,2,3,4,5,6,7,8,…相乘,所得的积都是7的倍数。
即:1×7=7;2×7=14;3×7=21;4×7=28……
师:100以外有没有7的倍数呢?
预设 生:有。
师:老师给大家一分钟的时间,你们能找出多少个7的倍数?
(学生汇报)
师:(指名汇报)你找出了多少个?7的倍数你找全了吗?
预设 生:没有找全。
师:说明了什么?
预设 生:说明了7的倍数是无限的。
师:那么2的倍数有多少个?
(学生再次体会,一个数的倍数是无限的)
3.7的倍数的表示方法。
(1)列举法。
7的倍数的个数是无限的,写的时候从7本身写起,按从小到大的顺序依次写出几个后,用“…”表示其他的7的倍数,每两个倍数间,直接用“,”隔开。例如,7的倍数:7,14,21,28,…。
(2)集合法。
画一个椭圆,在椭圆的下面写上“7的倍数”,他就表示7的倍数的集合,把7的倍数写在集合里面,如图所示。
　　[设计意图]　通过小组活动,探索7的倍数,拓展到2的倍数的过程,使学生体会到一个数的倍数的个数是无限的。
1.完成教材第32页“练一练”的第1题。
学生独立完成,全班交流。
2.完成教材第32页“练一练”的第4题。
学生通过互相间写算式再说一说,算式可以是乘法算式也可以是除法算式。
3.下面每一组数中,谁是谁的倍数?谁是谁的因数?
16和2　　　　　　4和24
72和8　　　　　　20和5
4.请你找出100以内9的所有倍数。
【参考答案】　1.(1)6×2=12(个)　(2)12是2和6的倍数　2和6是12的因数　2.略　3.16是2的倍数,2是16的因数　24是4的倍数,4是24的因数　72是8的倍数,8是72的因数　20是5的倍数,5是20的因数　4.100以内9的倍数:9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了在乘法算式9×4=36(或4×9=36)中,乘数4和9以及积36都是自然数,人们把具有这样特征的乘法算式里的乘数叫作积的因数,积叫作乘数的倍数。
生2:还知道了,如果a×b=c(a,b,c是不为0的自然数),那么a和b是c的因数,c是a和b的倍数。
生3:因数与倍数的关系:倍数与因数相互依存,没有倍数就不存在因数,没有因数就不存在倍数,不能单一说一个数是倍数或因数。
作业1
教材第32页“练一练”的第2,3,6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)把下面的数填在合适的框内。
5,15,6,9,12,10
2.(重点题)我会填。
(1)在1~10这10个数中,是2的倍数的数有(　　　　 　)。
(2)在5×6=30中,5和6是30的(　　),30是5和6的(　　)。
(3)3既是24的(　　),又是12的(　　　)。
(4)根据a÷b=c(a≠0,b≠0),可知(　　)是(　　)的倍数,(　　)是(　　)的因数。
3.(难点题)我是小法官。
(1)一个数的倍数一定比它的因数大。 (　　)
(2)1.2是0.4的3倍,那么1.2是0.4和3的倍数。 (　　)
【提升培优】
4.(易错题)20的因数有哪些?20的倍数有哪些?
5.(变式题)在1~50的自然数中,找出下面各数的倍数。
【思维创新】
6.(难点题)五(3)班学生人数在40与50之间,且把这个班的学生平均分成6组或8组都没有剩余,这个班共有多少人?
【参考答案】
作业1:2.84是14和6的倍数,14和6是84的因数。140是20和7的倍数,20和7是140的因数。　45是9和5的倍数,9和5是45的因数。　3.6　9　15　18　24　6.8　16　24　32　40　48　56　64　72　80　88　96
作业2:1.2的倍数:6,12,10　5的倍数:5,15,10　2.(1)2,4,6,8,10　(2)因数　倍数　(3)因数　因数　(4)a　b和c　b和c　a　3.(1)?　(2)?　4.20的因数:1,2,4,5,10,20。20的倍数:20,40,60,80,…。　5.　6.6的倍数:6,12,18,24,30,36,42,48,…。8的倍数:8,16,24,32,40,48,…。在40与50之间只有48是6和8公有的倍数,所以共有48人。
倍数与因数
7的倍数
1×7=7;2×7=14;3×7=21;4×7=28……
这节课我在教学中充分体现以学生为主体,为学生的探究发现提供足够的时间和适当的指导,同时,也提高了课堂教学的有效性。我在本课的教学中体现了自主化、活动化和合作化,具体做到了以下几点:
1.操作实践,举例内化,认识倍数和因数。
我有效地利用了数学学习情景,数形结合,变抽象为直观。首先让学生通过两个班级的队形,让学生写出不同的乘法算式,借助乘法算式引出因数和倍数的意义。这样在学生已有的知识基础上,从动手操作,直观感知,使概念的揭示突破了从抽象到具体,从图形到数学,让学生自主体验数与形的结合,进而形成因数与倍数的意义,使学生初步建立了“因数与倍数”的概念。这样,充分学习、利用、挖掘教材,用学生已有的数学知识引出了新知识,减缓难度,效果较好。
2.自主探究,意义建构,找倍数和因数。
整个教学过程中力求体现学生是课堂的主体,教师只是教学活动的组织者、指导者、参与者。整节课中,我始终为学生创造宽松的学习氛围,让学生自主探索,学习理解倍数和因数的意义,探索并掌握找
一个数的倍数和因数的方法,引导学生在充分的动口、动手、动脑中自主获取知识。
新课标提出了合作学习的学习方式,教学中的多次合作不仅能让学生在合作中发表意见,参与讨论,获得知识,发现特征,而且还很好地培养了学生的合作学习能力,初步形成合作与竞争的意识。找一个数的倍数的方法是本节课的难点,如何做到既不重复又不遗漏,这里我充分发挥小组学习的优势讨论交流,学生对自己刚才的方法进行反思,吸收同伴中好的方法,这时老师再给予有效的指导和总结就可以了。
在教学设计中有一些问题的提出难易程度较深,有一小部分学生未积极参与到学习中来。我也出现了很多教学的困惑。如在教学中明知一小部分学生在某些知识点的理解上存在缺陷,但很难在教案设计中抽时间弥补及跟进,使用教师酌情。
再教学时,注意问题的提出要有侧重,有针对性,要起到减缓难点的作用。
【练一练·32页】
1.(1)6×2=12(个)　(2)12是2和6的倍数　2和6是12的因数　2.84是14和6的倍数,14和6是84的因数。140是20和7的倍数,20和7是140的因数。　45是9和5的倍数,9和5是45的因数。
3.6　9　15　18　24　5.4的倍数有4　12　20　48　6的倍数有6　12　18　30　48　既是4的倍数,又是6的倍数有12　48　6.8　16　24　32　40　48　56　64　72　80　88　96
　一些方便面采用两种包装,每16袋装一箱或每24袋装一箱,无论采用哪种包装都能正好装完,那么这些方便面最少有多少袋?
[名师点拨]　这些方便面无论采用哪种包装都能正好装完,说明这些方便面的袋数既是16的倍数,又是24的倍数,要求最少有多少袋,实际就是求16和24公有的最小的倍数。
[解答]　16×1=16(袋)　　　24×1=24(袋)
16×2=32(袋)　　　24×2=48(袋)
16×3=48(袋)　　　24×3=72(袋)
16×4=64(袋)　　　……
……
所以这些方便面最少有48袋。
【知识拓展】　(1)1的因数只有1,最大的因数和最小的因数都是它本身;除1以外的自然数,至少有两个因数,这两个因数是1和这个数本身。(2)如果一个数不是某一个数的平方,那么它的因数的个数就是双数,例如,8的因数有1,2,4,8。如果一个数是某一个数的平方,那么它的因数的个数就是单数,例如,25的因数有1,5,25。
自然数的产生
数是用来表达和讨论数量问题的,有不同类型的量,也就随之产生了不同类型的数。远在文化发展的最初阶段,由于人们日常生活与生产实践的需要,因此产生了最简单的自然数的概念。
自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物,如果有两棵树,就是一棵又一棵;如果有三只羊,就是一只、一只又一只。但不能说有半棵树或者半只羊,半棵树或者半只羊只能算是木材或者是羊肉,而不能算成树和羊。
完全数
如果一个自然数等于除它自身以外的各个正因数之和,那么这个数叫完全数(也叫完美数)。完全数是被古人视为吉祥的数。
古希腊人在公元2世纪末已经发现了4个完全数。最小的一个完全数是6(6=1+2+3)。
意大利人把“6”看成是属于爱神维纳斯的数,以象征美满的婚姻。
在自然数里,到底有多少个完全数呢?有人做过统计,在1到4000万这么多数中,只有5个完全数,这5个数分别是:6,28,496,8128,33550336。
据说从发现第4个完全数到发现第5个完全数,经历了一千多年。