北师大五年级上册数学教案-第4单元-1：比较图形的面积（含反思+同步习题）

1　比较图形的面积
本单元主要是探索平行四边形、三角形和梯形面积的计算,在学习这部分内容之前,教材安排“比较图形的面积”的学习,一是让学生进一步体会面积的含义,要了解一个图形面积的大小,可以根据图形所占方格数的多少来确定;二是掌握一些比较图形面积大小的基本方法,如数方格、重叠、拼凑、割补等,为探索图形的面积积累数学活动经验。教材把方格纸作为背景载体,呈现10个不同的平面图形,提出“观察并比较下面各图形的面积大小有什么关系?”教材设计了三个问题:
1.找出两个面积相等的图形,与同伴说一说。
教材以对话的形式,呈现了比较图形面积大小的两种可能的思路:数方格和重叠。目的是通过这个问题的讨论与交流,初步了解数方格、重叠等方法在比较图形面积中的作用。
2.笑笑的发现你同意吗?想一想,拼一拼。
这个问题是上一个问题的拓展和延伸,意在说明通过拼接也可以判断图形面积是否相等。为此,教材以“图⑤和图⑥合起来与图⑧面积相等”为例,启发学生开展更多的探索图形之间的面积关系的活动。同时,这是一个鼓励同伴分享的学习过程,为学生创建交流、质疑、解释的机会,有利于促进学生数学交流能力的发展和思考的深入。
3.淘气还有一个新的发现,想一想,做一做。
教材以淘气的发现为由,通过图例的方式,呈现了比较图形面积大小的另一种思路——割补,目的是体会割补法在比较图形面积中的作用,并鼓励学生借助多样化的方法,开展丰富的探索图形之间的面积关系的活动。
1.借助方格纸,能直接判断图形面积的大小,初步体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用,积累探索图形面积的活动经验。
2.通过观察、比较、交流、归纳等活动,知道比较图形面积大小方法的多样性。
3.体会图形形状变化与面积大小变化的关系,发展空间观念。
【重点】　借助方格纸,能直接判断图形面积的大小,初步体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用,积累探索图形面积的活动经验。通过观察、比较、交流、归纳等活动,知道比较图形面积大小方法的多样性。
【难点】　通过观察、比较、交流、归纳等活动,知道比较图形面积大小方法的多样性。
【教师准备】　PPT课件;方格纸。
【学生准备】　剪下附页2拼一拼,硬纸板。(教师安排)
方法一
复习旧知,揭示新课。
师:(PPT课件逐一出示已学过的平面图形,并说出每个图形的特征)
师:谁能说一说这些图形的名称?
预设 生:三角形、长方形、圆形、平行四边形、梯形和正方形。
师:同学们能说出这些图形的特征吗?
预设 生1:三角形是由三条线段首尾顺次连接而成的。
生2:长方形是由四条线段首尾顺次连接而成的,相对的边平行且相等,四个角都是直角。
生3:圆形是由一条曲线首尾顺次连接而成,相当于三百六十度的周角。
生4:梯形是由四条线段首尾顺次连接而成的,有且只有一组对边平行。
生5:正方形是由四条相等的线段首尾顺次连接而成,组成正方形的四个角都是直角。
师:请同学们拿出准备好的长方形硬纸板,跟同桌说说哪是它的周长,哪是它的面积。并用手比划一下这个长方形的周长有多长,用手摸一摸它的面积有多大。
师:在摸的时候注意:周长是指图形一周的长度;图形的面积是指所占平面的大小。
(学生动手摸一摸)
师:(拿出一个大长方形和一个小正方形纸板)说一说哪个面积大,哪个面积小。
预设 生:长方形的面积大,正方形的面积小。
师:好,今天我们就来探讨图形面积的比较。
(板书课题:比较图形的面积)
[设计意图]　引导学生通过复习平面图形的名称和特征,使学生对面积形成印象,在此基础上,引导学生动手摸一摸,使学生能更好地理解什么是图形的面积,为后续的教学起到穿针引线的作用。
方法二
谈话式引入课题。
师:请同学们回忆一下,我们学过或知道哪些平面图形?
预设 生:长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形。
师:(出示一个长方形)谁来用手比划一下这个长方形的周长有多长?用手摸一摸它的面积有多大?
(生演示)
师:我们怎样才能知道这个长方形的面积是多少呢?
预设 生:长方形的面积=长×宽。
师:同学们对学过的知识掌握得真好,现在老师这里有一幅图(出示PPT课件教材主题图),今天就来比较这些图形的面积。
(板书课题:比较图形的面积)
　　[设计意图]　利用学生已学过的图形形成表象,并通过让学生动手摸一摸周长和面积,借此引入新知。
方法三
课件导入。
(板书课题后出示PPT课件)
　　师:要想知道这些图形的面积有什么关系,我们该怎么办呢?今天这节课我们就来研究“比较图形的面积”,请看课题。
[设计意图]　利用课件情景引发质疑导入新课,激发了学生的学习兴趣。
一、观察并比较下面各图形面积大小有什么关系,剪下附页2拼一拼。
　　(出示PPT课件)
师:请同学们仔细观察大屏幕上的图形,你能找出两个面积相等的图形吗?
预设 生:能。
师:谁能说一说哪两个图形的面积相等?
预设 生1:图①和图③的面积相等。
生2:图②和图⑤的面积相等。
生3:图⑥和图⑤的面积相等。
生4:图②和图⑥的面积相等。
师:同学们说得非常好,你是用什么方法看出它们的面积相等呢?
预设 生1:我是通过观看图片,直观感觉到的。
生2:我是通过数方格得到的。
二、动手摆一摆、剪一剪。
师:光凭直观感觉是不行的,数学知识需要科学的理论依据,那么他们说的答案对不对呢?我们来验证一下。
方法一:数方格方法。
师:我们可以通过数方格的方法来比较图形的面积。看每个图形里边有多少个小正方形的格子,一个正方形的方格为1个计数单位,两个半格算一个整格,最后看所有图形中,哪两个图形的方格数一样,哪两个图形的面积就相等。
师:下面请同学们按照老师说的要求数出大屏幕中的每个图形的方格数。(看PPT课件)
学生在组内数方格。
师:数完了吗?
预设 生:数完了。
师:我们逐一说一下每个图形。
预设 生1:图①有3个整格和3个半格,合起来相当于4个整格零半个方格。
生2:图②有3个整格和6个半格,合起来相当于6个整格。
生3:图③有3个整格和3个半格,合起来相当于4个整格零半个方格。
生4:图④有4个整格和7个半格,合起来相当于7个整格零半个方格。
生5:图⑤有3个整格和6个半格,合起来相当于6个整格。
生6:图⑥有3个整格和6个半格,合起来相当于6个整格。
生7:图⑦有6个整格和6个半格,合起来相当于9个整格。
生8:图⑧有9个整格和6个半格,合起来相当于12个整格。
生9:图⑨有7个整格和10个半格,合起来相当于12个整格。
生10:图⑩有12个整格。
师:现在通过数方格我们已经知道了每个图形的格子数,也就能找到哪几个图形的面积相等了,哪些图形的面积相等呢?
预设 生1:图①和图③两个三角形的面积相等。
生2:图②、图⑤和图⑥三个图形的面积相等。
生3:图⑧和图⑨两个图形的面积相等。
生4:图②和图⑤合起来与图⑧的面积相等。
生5:图⑤和图⑥合起来与图⑧的面积也相等。
……
师:那么除了用数方格的方法来比较图形的面积,还有没有其他方法呢?(出示PPT课件)
笑笑为我们提出了一个建议:把图①平移到图③,使两个图形重合,所以证明两个图形的面积相等。
师:那么笑笑的想法对吗?我们来验证一下。
方法二:经过平移使之重合的方法。
师:我们要想比较两个图形的面积大小,可以采用平移的方法,把其中一个三角形慢慢经过平移到另一个图形处,如果两个图形完全重合,说明这两个图形的面积相等,如果不重合,大的图形面积比较大。
师:(师边讲解边点击PPT课件)图③慢慢经过平移与图①完全重合。比如:我们以图①和图③为例:将图③慢慢向左平移到图①处,我们看到图③与图①正好完全重合,就说明图③和图①的面积相等。
师:通过数方格的方法,我们知道还有一些图形的面积是相等的,请同学们仔细观察一下,还有哪些图形可以通过平移完全重合呢?
预设 生:图②和图⑥。
师:你能说一说是怎样移动的吗?
预设 生:将图②向下平移到与图⑥在同一直线上时,再向右慢慢平移,使图②和图⑥完全重合为止。(师随学生的回答演示PPT课件)
三、用拼凑法比较图形的面积。
师:刚才比较图形的面积时,无论是数方格法,还是经过平移方法,这两个图形的形状都一样,那么,当遇到不一样的图形,比如:图⑤和图⑥的面积合起来是与图⑧的面积相等的,可是用前面学习的旋转和平移的方法也解决不了,该怎么办呢?笑笑同学为我们提供了一个好办法,叫拼凑法。
师:我们来看一看她是怎么做的。请同学们看大屏幕。(出示PPT课件教材主题图)
师:我们可以把图⑤和图⑥拼凑在一起,使它转化成和图⑧一样的平行四边形,然后看这两个图形是否完全重合。(师边点击课件边说明拼凑方法)
　　[设计意图]　引导学生把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形,为后面研究平行四边形的面积奠定了基础。
四、用割补法比较图形的面积。
师:我们还知道图⑨和图⑩的面积也是相等的,可是用上面的几种方法都不可能比较出两个图形的面积相等。现在老师就教你们一种新的比较图形面积的方法:割补法。
(出示PPT课件教材对应的主题图)
师:我们可以把图⑨中右边的这个三角形部分切割下来,把它平移到左边,这样就拼成一个和图⑩完全一样的长方形。(师边讲解边演示切割和平移的过程)
　　【巩固练习】
如图:,是一个长方形少了一块,你认为下面哪个图形补上去就能使这个长方形完整了?
【参考答案】　③
师小结:
1.我们借助方格纸可直接判断图形面积的大小;图形形状的变化与面积大小的变化有着密切关系,两个形状和大小完全相同的图形,面积一定相等,两个面积相等的图形,形状不一定相同。
2.比较图形面积大小的基本方法,数方格法、平移法、割补法、拼凑法。
1.下列图形中,与的面积同样大的图形是(　　　)。
A.　　B. 　　C.
2.下列图形中,面积与其他两个不同的是(　　)。
A.
B.
C.
3.下面方格图中,如果每个小方格面积都是1平方厘米,请画出3个形状不同,面积都是9平方厘米的图形。
【参考答案】　1.A　2.C　3.画图略。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生:通过这节课的学习,我们学会了比较图形的面积,还掌握了比较图形面积的几种方法:分别是:(1)数方格;(2)平移;(3)拼凑;(4)割补。(学生回答,师板书)
作业1
教材第50页“练一练”的第1,2,3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)根据图形面积的大小,在○里填上“>”“<”或“=”。
(1)
　　　①○②
(2)
　　　①○②
(3)
　　　①○②
2.(易错题)有两个图形和,它们可以拼成下面哪个图形?请在图形下面的括号里打上“√”。
【提升培优】
3.(变式题)下面哪个图形的面积与图①一样大?
4.(难点题)请在方格图中画出面积都是10 cm2的3个不同的图形。(每个小方格的面积表示1 cm2)
【思维创新】
5.(难点题)每个小方格的面积是1平方厘米,这幅图中阴影部分的面积是(　　)平方厘米。(用数方格的方法计算)
【参考答案】
作业1:1.图③和图④的面积与图①的面积一样大。
2.如下图所示,补上阴影部分就是一个长方形,阴影部分是图②。
3.可拼成图②,如下图所示。
4.如下图所示。(答案不唯一)
5.把其中一个三角形部分剪下来,与另一部分拼凑在一起。
作业2:1.(1)<　(2)=　(3)>　2.①　3.图④
4.答案不唯一,如:
5.18.5
比较图形的面积
比较图形面积的方法数方格平移拼凑割补
这节课整体感觉流畅,一气呵成。从判断简单图形面积的大小到判断复杂图形面积的大小,再到图形面积的比较,环环相扣,节奏鲜明,层次清晰。
本节课的教学任务就是要使学生借助方格纸,能直接判断图形面积的大小,同时,教会学生运用合理、简单的方法,帮助学生体会到平移、拼凑、割补转化的方法是比较图形面积大小的基本方法,并体会图形形状的变化与面积大小的关系。教学主要有以下几个特点:
1.利用多媒体信息技术,提高课堂教学效率。在数学教学中,如果把数学知识放在一个生动、活泼的情景中去学习,更容易激发学生的学习兴趣,而多媒体计算机系统可展示优美的图像、动听的音乐、有趣的动画,是创设情景的最佳工具。兴趣被充分调动起来,尤其是比较图形的面积时,小组内学生有很多的假想,在产生疑问后,进行猜测、试验、验证、讨论等一系列的活动后,学生纷纷说出并用实物演示出自己比较的方法,从而对比较图形的方法有充分的感悟和认识。
2.给学生充分的时间和空间探索学习。本节课预先创设情景,让学生体验到数学无处不在,激发学生比较简单图形面积的兴趣。通过比较简单图形的面积,让学生自主探索学习并总结出简单图形面积的比较的方法,使学生体验图形的等积变换。在探索学习过程中收获新知,积累方法。
3.开放的问题探究促进了不同层次学生的发展。在导入新课后,我出示了书中的“观察与比较”栏目,提出:下面几个图形的面积有什么关系?你是怎么知道的?与小组成员进行交流探究。由于问题具有开放性,学生们的积极性很高,他们有的用数方格的方法(基础比较差的学生);有的用平移的方法进行组合(学习不错的学生);还有的用分割再组合的方法(能力较高的学生)……不一会儿,大家便发现了各个图形之间的关系。通过这样开放的问题,学生的思维得到了拓展,在交流中学生比较清晰地理解了面积大小比较的几种方法,程度不同的学生得到了不同程度的提高。这无疑是本课的亮点所在。
对学生不敢放手,总怕学生做不到,完成不好等。降低了学生在课堂上的兴趣。
在以后的教学设计中,注重学生的个性发展,尽量设计开放的问题,以提高学生的思维,进而提高学生的数学能力。
【练一练·50页】
1.图③和图④的面积与图①的面积一样大。　2.如下图所示,补上阴影部分就是一个长方形,阴影部分是图②。
3.可拼成图②,如下图所示。
4.如下图所示。(答案不唯一)
5.把其中一个三角形部分剪下来,与另一部分拼凑在一起。
　小红从商店买了一块长9米,宽4米的长方形地板革,回来后把它剪成了两块,拼成一个正方形地板革铺在餐厅内,你知道小红是怎么剪的吗?
[名师点拨]　可以把小红买的地板革分成边长是1米的正方形小格子,如右图。因为要拼成的正方形的面积与原长方形的面积相等,即4×9=36=6×6,所以拼成的正方形的边长应该是6米。
[解答]　将长9米,宽4米的地板革剪成2块,如图(1),然后拼成如图(2)所示的正方形地板革即可。
面　积
一位农夫想用最少的篱笆围出最大的面积,于是他请来了工程师、物理学家和数学家。
工程师用篱笆围出一个圆,宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉成一条直线,假设篱笆有无限长,认为围起半个地球总算够大了。
数学家嘲笑了他们一番,然后他用很少的篱笆把自己围起来,说:“我现在是在外面。”
感言:故事幽默有趣,工程师循规蹈矩,物理学家想象丰富,数学家别出心裁。一个人如果想要创新,就要不断地调整自己的思维方式和思维角度。
辨析面积单位和长度单位
“又把单位名称搞错了!”小马虎生气地自言自语,“为什么总是分不清米和平方米呢?”他伏在桌子上迷迷糊糊地睡着了。
　　忽然米和平方米一起出现在他的面前,齐声说:“我们都是一个家族的,都姓‘米’,可是各自的特点不同呀!”
　　米说:“你看我,身子瘦成一条线,行动离不开两个点。”说着便指指头上、脚下,“我的身长就在这两点间。我的工作是测量长度,你们学过的千米是我的大伯,分米、厘米、毫米都是我的小弟弟,他们常随我一起工作,遇到不足整米时,就让他们去测量。”
　　米的话音刚落,平方米迫不及待地一招手:“嗨,大家好!我是平方米,专门负责计算面积的。平方分米和平方厘米也是我的小弟弟。计算房屋、操场等面积时,我当仁不让,计算课桌椅等小面积和图上面积时,我的小弟弟就能一展身手了。”
　　小马虎听得津津有味,好奇地问:“我怎么才能认清你们呢?”米和平方米听了哈哈大笑说:“这好办,有个顺口溜‘长度一条线,面积成一片!’”
　　小马虎开心极了,一睁眼,原来是做了一场梦!