北师大五年级上册数学教案-第5单元-6：　找最大公因数（含反思+同步习题）

6　找最大公因数
本节的内容是求两个数的公因数和最大公因数,是在学生掌握了因数概念的基础上进行教学的,主要是为学习约分做准备。根据《标准(2011年版)》的要求,求最大公因数时两个数仅限于100以内。
教材以找出12和18的因数为例,安排了4个层层递进的问题。其中,第一个问题是找出12和18的所有因数;第二个问题是找出12和18的相同因数(公因数);第三个问题是明晰什么是公因数和最大公因数;第四个问题是介绍通过集合图的方式来理解12和18的公因数。
1.探索两个数的公因数的方法,会用列举法找出两个数的公因数和最大公因数。
2.经历求两个数的公因数的过程,理解公因数和最大公因数的意义。
【重点】　理解公因数和最大公因数的意义。
【难点】　探索两个数的公因数的方法。
【教师准备】　PPT课件;与内容有关的相关素材。
1.根据12÷6=2,说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
2.写出8和16的所有因数。
【参考答案】　1.12是6和2的倍数,6和2是12的因数。　2.8的因数:1,2,4,8。　16的因数:1,2,4,8,16。
方法一
创设情景,导入新知。
师:张叔叔遇到了什么问题?
(PPT课件出示)
张叔叔是位切割工,他想把长12米与18米的两根钢管切割成同样长的小段,而且没有剩余,他至少可以切割成几段?
预设 生:他想把长12米与18米的两根钢管切割成同样长的小段,而且没有剩余,他不知道该怎样切割。
师:你用什么数学知识帮张叔叔解决问题?
预设 生:不知道,还没有具体的想法。
(揭示课题)下面我们来学习新的知识——《找最大公因数》,学习怎样找最大公因数后,你就知道怎样帮助张叔叔解决这样的问题了。
(板书课题:找最大公因数)
[设计意图]　通过情景导入新知,吸引学生的注意力,再通过情景问题的创设,使学生知道解决这样的问题有一定的难度,引发学生的思考。再加上老师揭示课题,使学生知道学习今天的知识就能解决这个问题,激发学生的学习欲望,为下面的学习做好铺垫。
方法二
复习导入。
师:请同学们说说你对因数有多少了解。
预设 生1:一个数的因数的个数是有限的。
生2:如果说5×6=30,我们就说5和6是30的因数。
生3:一个数的因数中,最大的因数是它的本身,最小的因数是1。例如:6的最大因数是6,最小因数是1。
……
师:今天我们继续来学习有关因数的知识——《找最大公因数》。
(板书课题:找最大公因数)
[设计意图]　直接导入简洁高效,直奔公因数主题,充分利用知识的联系性,创设一个知识链接,为后面的教学埋下伏笔,紧扣主题。
一、认识公因数和最大公因数。
师:看来“因数”已经成你们的亲密朋友了。下面老师想请大家帮帮忙,帮我找一找12和18的因数,完成你手中的集合图。
1.(PPT课件出示教材77页上面情景问题)
找出12和18的全部因数,并与同伴交流你是怎么找的。
2.学生小组交流,完成后汇报。
师:你们帮老师找到12和18的因数了吗?谁愿意给大家汇报一下。
学生结合自己的集合图回答老师的问题。
预设 生1:老师,我找到了12的因数,12的因数一共有6个,分别是:1,2,3,4,6,12 。
生2:老师,我找到了18的因数,18的因数一共也有6个,分别是:1,2,3,6,9,18。
[设计意图]　通过学生已有的知识经验,培养学生在生活中遇到问题动脑思考、解决问题的能力,这不仅可以使学生体会到数学知识前后的连贯性,也可以让学生在帮助老师解决问题的过程中,体会到成功的愉悦感。
3.明确公因数和最大公因数的意义。
师:同学们,真棒,现在请大家仔细观察大屏幕。(PPT课件出示12和18的因数或者教师板书)
12的因数:1,2,3,4,6,12。
18的因数:1,2,3,6,9,18。
师:通过观察你发现了什么?
预设 生:通过观察发现,12的因数中有个别因数同时也是18的因数。
师:能具体说一说吗?
预设 生1:1是12的因数,也是18的因数。
生2:2是12的因数,也是18的因数。
生3:3是12的因数,也是18的因数。
生4:6是12的因数,也是18的因数。
(师随学生的回答出示课件)
师:通过同学们的分析和观察,老师明白了,12和18它们有相同的因数,你们概括一下12和18相同的因数一共有几个?分别是几?
预设 生:12和18有4个相同的因数,分别是:1,2,3,6。
(教师板书:12和18相同的因数有1,2,3,6)
师:你能不能试着给12和18的这几个相同的因数大胆地起个名字呢?
预设 生1:相同因数。
生2:公共因数。
生3:这些因数既是12的因数,又是18的因数,是它们公有的因数,就叫公有因数吧!
……
师:大家真勇敢,老师告诉大家,像这样,既是12的因数,又是18的因数,我们就说这些数是12和18的公因数。
(教师板书:叫作它们的公因数)
师:12和18的公因数中,最大的是几?
预设 生:是6。
师:它们的公因数中6是这几个公因数中最大的一个,如果要单独给它起个名字可以叫……(教师声音放缓、放慢)
预设 生:最大公因数。
师:同学们,真是聪明!在不知不觉中我们已经学会了两个知识,是什么?
预设 生:公因数和最大公因数。
师:结合PPT课件,你能具体说一说吗?
(PPT课件出示)
两个数公有的因数,叫作它们的公因数。
其中最大的一个,是它们的最大公因数。
(指名读)
(教师板书:两个数公有的因数,叫作它们的公因数。其中最大的一个是它们的最大公因数)
小结:老师告诉大家,其实我们还可以同时找出3个或多个数的最大公因数,今天我们就以找两个数的最大公因数为例。
[设计意图]　结合PPT课件的呈现,对学生大胆放手,让学生参与到知识的形成过程中,使学生成为探究学习中的主人。
二、理解找最大公因数的方法。
师:同学们,我们已经认识了公因数和最大公因数,那么现在请同学们回想一下,你们刚才是怎样找到12和18的最大公因数的,愿意把你们的方法告诉同学们吗?
预设 生:愿意。
1.明晰思路,整理方法。
师:下面把你们整理的思路写在记事本上,一会儿与全班同学分享。
(学生进行整理方法)
2.学生分享找最大公因数的方法。
师:(可以指名提问,也可以自由发言)同学们把你们找最大公因数的方法说给大家听一听,谁先开始呢?
方法一:列举法。
预设 生:老师,我运用的是四步法。第一步先找出12的因数;第二步再找出18的因数;第三步找出12和18的公因数;第四步再从公因数中找出最大公因数。
12和18的公因数:1,2,3,⑥。
12和18的最大公因数:6。
师:思路非常清晰,说得真棒,其实你说的四步法,就是列举法。先列举出12的因数,再列举出18的因数,从12和18的公因数中找出最大的公因数6。
师:同学们,还有什么不同的方法吗?
方法二:运用乘法。
预设 生:老师,我利用的是用乘法找出12和18的因数,再从12和18的公因数中找出最大公因数。
12=①×12=②×⑥=③×4
18=①×18=②×9=③×⑥
12和18的最大公因数是6。
方法三:运用除法。
预设 生:我是利用除法来找两个数的最大公因数的,根据除法算式,找出12和18的公因数,再找出最大公因数。
12÷①=12　　12÷②=⑥　　12÷③=4
18÷①=18 18÷②=9 18÷③=⑥
12和18的最大公因数是6。
师:除了以上的几种方法,还有没有别的方法来求两个数的最大公因数,比如在课外读物上学习到的,或者在爸爸妈妈的指导下听懂的方法。
方法四:集合法。
预设 生:老师,我还有一种方法,是妈妈教我的,方法如下:
还可以用集合的方法来表示两个数的最大公因数。
师:我们应该怎样表示12和18的公因数呢?
预设 生:我们把12和18的因数的集合重叠起来,形成公有的集合,把公有的因数写在公有的集合中,就可以了。
师:(PPT课件出示集合图)这样表示对吗?
预设 生:不对。
师:错在哪里了呢?
预设 生:集合里面的数字重复了,公共集合中有的数字,在12的因数和18的因数的集合中就应该去掉。
师:那么应该怎样表示呢?
预设 生:应该这样表示。
师:同学们,以上找最大公因数的方法中,你最喜欢哪一种方法?请选择喜欢的方法找出12和14的最大公因数。(学生独立完成)
师:谁能说一说你喜欢用哪种方法?
预设 生1:我喜欢列举法,既简单又容易掌握。
生2:我喜欢集合法,虽然写起来比较麻烦,但是它很直观。
……
师:在解决找最大公因数的方法中,没有最好的方法,只有最适合的方法,选择自己适合的方法,就是最好的方法。
[设计意图]　这一环节不仅与前面创设问题情景环节相呼应,而且让学生在经历了发现问题、解决问题、找出规律之后,感受到公因数与最大公因数的现实意义,体会到解决问题方法的多样性。
三、特殊关系的数的公因数。
师:请你找出下面各组数的最大公因数,同学们快快行动吧!
1.(PPT课件出示)
4和6　　　3和13　　　16和8
4的因数有1,2,46的因数有1,2,3,6?1,2是4和6的公因数,其中最大的公因数是2,它是4和6的最大公因数。
3的因数有1,313的因数有1,13?3和13都是质数,1是3和13的公因数,也是3和13的最大公因数。
16的因数有1,2,4,8,168的因数有1,2,4,8?1,2,4,8是16和8的公因数,其中最大的公因数8是16和8的最大公因数。
2.小组交流,总结发现。
师:同学们,通过观察和分析,你有什么发现?
预设 生1:如果较小的数是较大的数的因数,那么较小数的所有因数都是这两个数的公因数,而且较小的数是这两个数的最大公因数。
生2:如果两个数都是质数或者是两个相邻的自然数(零除外),那么它们的公因数只有1,而且1是它们的最大公因数。
[设计意图]　让学生经历小组合作交流完成的过程,可以培养学生观察分析能力和概括总结规律的能力。
1.完成教材第78页“练一练”的第1题。
2.完成教材第78页“练一练”的第2题。
3.完成教材第78页“练一练”的第3题。
4.张叔叔是位切割工,他想把长12米与18米的两根钢管切割成同样长的小段,而且没有剩余,他至少可以切割成几段?
【参考答案】　1.9的因数:1,3,9。15的因数:1,3,5,15。9和15的最大公因数是3。　2.
3.2　3　5　1　3　7　9　2　5　4.此题就是求12和18的最大公因数,12和18的最大公因数是6,所以要截成6米长的小段,12米能截成两段,18米能截成三段,一共可以切割成五段。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生:这节课我们学习了两个数公有的因数,叫作它们的公因数。其中最大的一个是它们的最大公因数。
师:我们还学习了什么?
预设 生1:如果较小的数是较大的数的因数,那么较小数的所有因数都是这两个数的公因数,而且较小的数是这两个数的最大公因数。
生2:如果两个数都是质数或者是两个相邻的自然数(零除外),那么它们的公因数只有1,而且1是它们的最大公因数。
作业1
教材第78页“练一练”的第4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我会填。
(1)几个数公有的因数,叫(　　　),其中最大的一个叫(　　　　)。
(2)16=(　　)×(　　)=(　　)×(　　)=(　　)×(　　),16的因数:(　　　　　);
20=(　　)×(　　)=(　　)×(　　)=(　　)×(　　),20的因数:(　　　　　　)。
16和20的公因数是(　　　　),16和20的最大公因数是(　　　　)。
2.(重点题)我是小法官。
(1)两个数的公因数的个数是有限的,两个数的最大公因数只有一个。 (　　)
(2)1是所有非零自然数的公因数。 (　　)
(3)因为a÷b=4,所以4是a和b的最大公因数。 (　　)
(4)任何相邻的两个非零自然数的最大公因数都是1。 (　　)
3.(易错题)下面哪组数的最大公因数是1?请用笔圈出来。
【提升培优】
4.(难点题)找出下列分数的分子和分母的最大公因数。
721(　　)　　1836(　　)　　2665(　　)
1230(　　)　　1545(　　)　　1920(　　)
5.(变式题)把下面三根彩带剪成一样的短彩带且没有剩余,每根短彩带最长是多少厘米?
【思维创新】
6.(情景题)有两根木料,一根长12米,一根长18米,现在要把它们截成长度相等的小段,每根不准有剩余,则每小段最长是多少?一共可以截成多少段?
【参考答案】
作业1:4.4　3　3　6
作业2:1.(1)公因数　最大公因数　(2)1　16　2　8　4　4　1,2,4,8,16　1　20　2　10　4　5　1,2,4,5,10,20　1,2,4　4　2.(1)√　(2)√　(3)?　(4)√　3.5和7,14和9,25和24,21和22　4.7　18　13　6　15　1　5.10 cm　6.每小段最长是6米,一共可以截成(12+18)÷6=5(段)。
找最大公因数
12的因数:1,2,3,4,6,1218的因数:1,2,3,6,9,18相同因数:1,2,3,6?两个数公有的因数,叫作它们的公因数。
其中最大的一个是它们的最大公因数。
1.课前热身:在课前复习了谁是谁的倍数,谁是谁的因数,通过小活动唤醒学生的旧知,以便于更好地过渡和接受新的知识。
2.导入环节:从学生已有的知识和经验出发,张叔叔锯木头的情景,激发了学生的学习欲望,帮助张叔叔解决问题。让学生在获取新知的同时,切实体会到数学来源于生活,服务于生活,体会到数学与生活的密切联系。
3.在自主学习中,单刀直入,让学生完成课本里找12和18的因数,引导学生说出共有的数字(也就是公因数),然后引入公因数和最大公因数的意义。
4.在展示互动和反馈练习的环节中,进一步引导学生观察、分析、讨论,让学生学会找两个数公因
数和最大公因数的不同方法,并对找有特征的数字
的最大公因数的特殊方法有所体验。在教学过程中,注重引导学生注意三种情况:(1)两个数具有倍数关系;(2)两个数为相邻的自然数(0除外);(3)两个不同的质数。虽然没办法让学生直接归纳,但也要引导学生发现规律。
在处理某些课堂环节上浪费了时间,本来有些问题可以不必让学生讨论,而我却是什么问题都要学生讨论,非得让他们自己得出结论不可。对于有些概念,完全可以让学生探索归纳,然后老师总结得出,不必非得让学生自己得出概念。
以后注意,要把时间放于重点和难点的突破上,使学生更好地消化,掌握新知识的学习。
【练一练·78页】
1.9的因数:1,3,9。15的因数:1,3,5,15。9和15的最大公因数是3。
2.
3.2　3　5　1　3　7　9　2　5　4.4　3　3　6　5.(1)表中所填的数依次为:1　2　1　4　1　2　1　4　1　2　1　4　如下图所示。
规律:最大公因数按1,2,1,4循环。　(2)列表如下。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
和10
的最大
公因数
1
2
1
2
5
2
1
2
1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
和10
的最大
公因数
1
2
1
2
5
2
1
2
1
10
规律:最大公因数按1,2,1,2,5,2,1,2,1,10循环。
　有两根木料,一根长16米,另一根长18米。现在要把它们截成相等的小段且每根不许有剩余,则每小段最长是多少米?一共可以截成多少段?
[名师点拨]　要使两根木料截成相等的小段且每根不许有剩余,那么每段的长度必须既是16的因数,又是18的因数,也就是16和18的公因数。要求每小段最长是多少米,也就是求16和18的最大公因数。求出每小段的长度后,用总长度除以每小段的长度就可以求出截成的段数。
[解答]　16的因数有1,2,4,8,16。18的因数有1,2,3,6,9,18。16和18的最大公因数是2,所以每小段最长是2米。
16÷2+18÷2=8+9=17(段)
答:每小段最长是2米,一共可以截成17段。
短除法
短除法求最大公因数,先用这几个数的公因数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公因数。
最大公因数:2×3=6
寻找快乐的小猴
在森林里,有一条快乐泉,凡是喝了这儿的泉水都可以每天有快乐相伴。可是要进入快乐泉,必须速算一道题才能进去,而每天的题都不一样。有一只小猴读五年级,很想找到快乐。它曾经去过一次,由于自己的题目没答对,没能进去。为了喝到快乐泉的泉水,它做足了工夫。
今天,它想来试试自己多年来的智慧。来到门口,大门爷爷慈祥地对小猴说:“可爱的小猴,今天想进去,必须要答对这一题。”在大门上有几行字:有两根彩带,一根是3米,一根是6米,把两根彩带剪成长度一样的短彩带,且没有剩余。每根短彩带最长多少厘米?一共能剪多少根?
不一会儿,小猴算出来了:“第一小问是这样算的:6和3的最大公因数是3,所以每根彩带长3米。第二小问是这样算的:6÷3=2(根),3÷3=1(根),2+1=3(根),共能剪3根。”
大门爷爷说:“有智慧就有快乐,而智慧来自于勤思勤练,快乐泉的大门永远为有智慧的孩子打开。”
小猴找到了快乐泉,并喝了几口泉水,小猴学习比以前更勤奋,更肯于动脑筋了,学习也更快乐了!