北师大五年级上册数学教案-第5单元-8：找最小公倍数（含反思+同步习题）

8　找最小公倍数
本节课的内容是求两个数的公倍数和最小公倍数,是在学生掌握了“倍”的基础上进行教学的,主要是为学习通分做准备。根据《标准(2011年版)》的要求,求最小公倍数时要两个数仅限于100以内。
教材安排了让学生在数表中圈出4和6的倍数,让学生经历探索找最小公倍数的过程,理解公倍数、最小公倍数的概念,设计了4个问题。其中,第一个问题是在数表中圈出4和6的倍数;第二个问题是通过发现标有“○”和“△”的两种符号的数的特点,找出50以内4和6的相同的倍数;第三个问题是明晰什么是公倍数和最小公倍数;第四个问题是通过集合图的方法来解释4和6的公倍数。
1.会利用列举法等方法,找出两个数的公倍数和最小公倍数。
2.理解公倍数和最小公倍数的含义。
【重点】　理解和掌握公倍数和最小公倍数的含义。
【难点】　探索找两个数的公倍数的方法及应用。
【教师准备】　PPT课件;与内容有关的相关素材。
【学生准备】　1~50数字表。
1.说出2的倍数有哪些,能说完吗?最小的倍数是几?最大的倍数呢?
2.写出5个8的倍数。
【参考答案】　1.2,4,6,8,10……　2　一个数的倍数是无限的,没有最大的倍数。　2.8的倍数:8,16,24,32,40。(答案不唯一)
方法一
创设情景,导入新知。
师:同学们,你们喜欢阿凡提吗?
预设 生:喜欢阿凡提。
师:为什么喜欢他?
预设 生:因为他聪明、机智、幽默……
师:今天老师也给你们讲个阿凡提的故事:从前有个长工,在巴依老爷家干了一年也没有拿到一个铜板。长工们于是自发地组织起来并邀请阿凡提帮他们去向巴依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说:“工资我可以给你,不过我的钱都在我的账房先生那里。从八月一日起,我要连续出去收账3天才休息一天,我的账房先生要连续收账5天才可以休息一天,你们就在我们两人同时休息的时候来吧。我肯定给钱。”阿凡提动了动脑筋,便带长工们离开了。到了某天,他真的从巴依老爷家帮长工们拿到了工钱。
师:请大家想一想,阿凡提是哪天去巴依老爷家的?他用的是什么办法找到这个日期的?你准备如何解决这个问题?
师:今天我们就来学习有关这样的知识——《找最小公倍数》,学习之后你们就明白阿凡提是怎样帮助长工们拿到工钱的了。
(板书课题:找最小公倍数)
[设计意图]　通过阿凡提帮助长工们拿到工钱的故事,引发学生的思考,使学生体会到数学与生活的关系,同时也激发学生的学习欲望,为下面的学习做好铺垫。
方法二
复习旧知,导入新课。
师:同学们,还记得《因数与倍数》吗?完成下面的练习吧。
1.写出20以内2的倍数。
2.写出20的所有因数。
3.一个数最小的因数是什么?最大的因数是什么?
4.一个数最小的倍数是什么?最大的倍数呢?
师:我们已学过了因数、倍数,最大公因数等知识,今天,我们一起来学习“找最小公倍数”。
(板书课题:找最小公倍数)
[设计意图]　直接导入简洁高效,直奔公倍数主题,充分利用知识的联系性,创设一个知识链接,为后面的教学埋下伏笔,紧扣主题。
一、认识公倍数和最小公倍数。
师:同学们,你们还记得在以前学习中认识的一位新朋友“倍数”吗?
预设 生:记得。
师:下面老师想请大家帮帮忙,在1~50的数字表格中帮我找一找4和6的因数,完成你手中的集合图。
1.(PPT课件出示教材81页上面1~50的数字表格)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
　　师:我们先找出4的倍数,用“○”标志出来;6的倍数,用“△”标志出来。
学生小组内完成,然后汇报,教师根据学生的回答PPT课件演示。
师:同学们,现在谁能说一说4的倍数有哪些?6的倍数呢?
预设 生1:4的倍数有:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48。
生2:6的倍数有:6,12,18,24,30,36,42,48。
(教师板书:4的倍数有:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48;6的倍数有:6,12,18,24,30,36,42,48)
师:4和6的倍数我们找全了吗?
预设 生1:没有找全。
生2:我们是在50以内找出的4和6的倍数,因为一个数的倍数的个数是无限的,我们没有办法找全。
师:那我们应该用怎样的符号表示其他的倍数呢?
预设 生:我们可以用“……”来表示。
(教师完善板书:“……”)
2.用集合表示倍数。
师:你们能完成下面的集合吗?
学生自己完成集合。
[设计意图]　通过学生已有的知识经验,培养学生在生活中遇到问题动脑思考、解决问题的能力,通过集合的填写,为下面完成公共集合的学习做好铺垫。
二、明确公倍数和最小公倍数的意义。
师:同学们,真棒,现在请大家仔细观察大屏幕。(PPT课件出示4和6的倍数)
4的倍数:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,…。
6的倍数:6,12,18,24,30,36,42,48,…。
师:通过观察你发现了什么?
预设 生:通过观察列举的数字发现,4的倍数中有个别倍数同时也是6的倍数。
师:能具体说一说吗?
预设 生1:12是4的倍数,也是6的倍数。
生2:还有24,36,48,它们都和12一样,既是4的倍数又是6的倍数。
师:还有没有其他同学想说一说?
预设 生:老师,我通过观察1~50数字表格发现,有些数字既标记了“○”,也标记了“△”,这些数字分别是12,24,36,48。
师:一个数字上同时标记了两种符号,这说明了什么?(或者“这些数有什么特点?”)
预设 生:说明12,24,36,48,它们既是4的倍数,又是6的倍数。
(教师板书:4和6相同的倍数:12,24,36,48)
师:通过同学们的分析和观察,老师明白了,4和6它们有相同的倍数。你们能不能试着给4和6的这几个相同的倍数大胆地起个名字?
预设 生:公倍数。
师:同学们真聪明,老师告诉大家,像这样,既是4的倍数,又是6的倍数,我们就说这些数是4和6的公倍数。
(教师板书:去掉上一个板书中的“相同的倍数”,改为“公倍数”)
师:谁能概括一下,什么是公倍数?
预设 生:两个数公有的倍数就是它们的公倍数。(教师给予补充)
(教师板书:两个数公有的倍数就是它们的公倍数)
师:那么,公倍数有多少个?
预设 生:有无数个。
(教师完善板书:“……”)
师:说得真好,那你们能找出最大的或最小的公倍数吗?
预设 生:没有最大的,只有最小的。
师:为什么?
预设 生:因为公倍数的个数是无限的,所以没有最大公倍数。
师:谁能用自己的话说一说什么叫公倍数?什么叫最小公倍数?
预设 生:几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数,其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。
(教师完善板书:其中最小的一个叫作这两个数的最小公倍数)
师:我们发现任意两个数都有公倍数,而且每组公倍数的个数都是无限的。那么三个数是否也有公倍数?四个数呢?五个数呢?
预设 生:举例:2,4和5的公倍数是20。
[设计意图]　通过学习找最大公因数的方法的迁移,学生已有了经验,对学生大胆放手,让学生参与到知识的形成过程中,使学生体会探究的过程,培养学生动脑思考的能力。
二、理解找最小公倍数的方法。
师:同学们,我们已经认识了公倍数和最小公倍数,那么现在请同学们回想一下,你们刚才是怎样找到4和6的最小公倍数的,愿意把你们的方法告诉同学们吗?
预设 生:愿意。
师:下面把你们整理的方法向全班同学进行汇报。
(学生汇报找最小公倍数的方法)
师:(可以指名提问,也可以自由发言)同学们把你们找最小公倍数的方法说给大家听一听,谁先开始?
方法一:列举法。
预设 生:老师,我运用的是列举法。第一步先找出4的倍数;第二步再找出6的倍数;第三步找出4和6的公倍数;第四步再从公倍数中找出最小公倍数。
4的倍数有:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,…。
6的倍数有:6,12,18,24,30,36,42,48,…。
4和6的公倍数:12,24,36,48,…。
4和6的最小公倍数是12。
师:同学们,还有什么不同的方法吗?
方法二:运用乘法。
预设 生:老师,我把4与自然数1,2,3,4,5,…分别相乘,找出4的倍数,用同样的方法再找出6的倍数,然后找出4和6的公倍数,再从公倍数中找出最小公倍数。
4×1=4;4×2=8;4×3=12;4×4=16;4×5=20;4×6=24;…。
6×1=6;6×2=12;6×3=18;6×4=24;6×5=30;6×6=36;…。
4和6的公倍数:12,24,…。
4和6的最小公倍数是12。
方法三:运用除法。
预设 生:我是利用除法来找两个数的最小公倍数的,根据除法算式,从最小的自然数开始,分别除以4和6,商是整数,而没有余数,那么这个数就是4和6的最小公倍数。
12÷4=3
12÷6=2
4和6的最小公倍数是12。
师:除了以上的几种方法,还有没有别的方法来求两个数的最小公倍数,比如在课外读物上学习到的,或者在爸爸妈妈的指导下听懂的方法。
预设 生:老师我还有一种方法,是妈妈教我的。
方法四:集合法。
预设 生:我还可以用集合的方法来表示两个数的倍数。
师:我们应该怎样表示4和6的公倍数呢?
预设 生:我们把4和6的倍数的集合重叠起来,形成公有的集合,把公有的倍数写在公有的集合中,就可以了。
师:(PPT课件出示集合图)这样表示对吗?
预设 生:不对。
师:错在哪里了呢?
预设 生:集合里面的数字重复了,公共集合中有的数字,在4的倍数和6的倍数的集合中就应该去掉。
师:那么应该怎样表示呢?
预设 生:应该这样表示。(让一名学生到展台上演示)
师:请同学们选择自己喜欢的方法找出2和5的最小公倍数。
师:同学们,通过找最小公倍数,你最喜欢哪一种方法?
预设 生1:我喜欢列举法,既简单又容易掌握。
生2:我喜欢集合法,虽然写起来比较麻烦,但是它很直观。
……
师:在解决找最小公倍数的方法中,没有最好的方法,只有最适合的方法,选择自己适合的方法,就是最好的方法。
[设计意图]　这一环节不仅与前面创设问题情景环节相呼应,找两个数最大公因数的方法进行迁移,学生很容易接受,也是对前面学习的知识进行巩固,从而掌握了列举法,利用乘法、除法等方法来找两个数的最大公因数和最小公倍数。
三、特殊关系的数的公倍数。
师:请你找出下面各组数的最小公倍数,同学们快快行动吧!
1.(PPT课件出示)
3和4　　16和8
2.找出两组数的最小公倍数。
3的倍数有3,6,9,12,15,…4的倍数有4,8,12,16,…?3和4的倍数中第一个出现的共同的倍数,就是12,所以12是3和4的最小公倍数。
16的倍数有16,32…8的倍数有8,16,24,…?16和8是倍数关系,16就是8和16的最小公倍数。
3.小组交流,总结发现。
师:同学们,通过观察和分析,你有什么发现?
预设 生1:如果较小的数是较大的数的因数,那么较大数是两数的最小公倍数。
生2:如果两个数只有公因数1,再没有其他的公因数,那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
[设计意图]　让学生经历小组合作交流完成的过程,可以培养学生观察分析能力和概括总结规律的能力。
1.完成教材第82页“练一练”的第4题。
建议学生先找这几组数的最小公倍数,在练习时可以让学生独立练习并交流,说说有什么发现。教师鼓励学生语言表达,但不要固定模式让学生记忆。
2.求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
8和9　　　　　4和8
3.幸福公园是1路和3路汽车的起点站。1路汽车每3分钟发车一次,3路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车后至少多少分钟又同时发车?
【参考答案】　1.6　40　14　30　2.8和9的最大公因数是1,最小公倍数是72;4和8的最大公因数是4,最小公倍数是8。　3.15分钟。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:这节课我们学习了找最小公倍数的方法,以及公倍数和最小公倍数的意义。两个数公有的倍数,叫作它们的公倍数。其中最小的一个,是它们的最小公倍数。
生2:我们还学习了如果较小的数是较大的数的因数,那么较大数是两数的最小公倍数。如果两个数只有公因数1,再没有其他的公因数,那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
作业1
教材第82页“练一练”的第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)按要求填上适当的数。
10和15的最小公倍数是(　　)。
2.(重点题)用红笔圈出4的倍数,用蓝笔圈出6的倍数。
通过观察可以发现,4和6的公倍数是(　　　　),最小公倍数是(　　)。
【提升培优】
3.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。 (　　)
(2)两个数的最大公因数一定比这两个数都小。 (　　)
(3)相邻两个非0自然数的积就是这两个数的最小公倍数。 (　　)
4.(重点题)求出下列各组数的最小公倍数。
15和30　　18和27　　12和15
5.(变式题)五年级参加植树活动的同学人数在40到50之间,按照6人一组或8人一组都能正好分完。五年级参加植树的同学有多少人?
【思维创新】
6.(探究题)甲、乙、丙三个同学从同一点出发,沿同一方向在环形跑道上跑步。甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用60秒,丙跑一圈用100秒。再过多长时间三个人在起点第一次相遇?
【参考答案】
作业1:1.画“○”的数:3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48　画“△”的数:5,10,15,20,25,30,35,40,45,50　15,30,45是3和5的公倍数,都是15的倍数。　2.如下表所示。
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
50以内6和8的公倍数有24,48,最小公倍数是24。
3.如下图所示。6和9的最小公倍数是18。
作业2:1.10,20,30,40,50　15,30,45　30　30
2.12,24　12(图略)　3.(1)?　(2)?　(3)√　4.30　54　60　5.48人　6.600秒(10分)
找最小公倍数
4的倍数有:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,…6的倍数有:6,12,18,24,30,36,42,48,…公倍数:12,24,36,48,…
两个数公有的倍数,叫作它们的公倍数。其中最小的一个,是它们的最小公倍数。
本节课的重点是让学生探索到求最小公倍数的方法,能够正确找出两个数的公倍数和最小公倍数。
首先在新课导入前,先对倍数的知识进行简单的复习,唤醒学生已有的倍数知识,使学生知道一个数的倍数的个数是无限的。在新课的创设中,利用方法的迁移,找出4和6的共同倍数,也就是4和6的公倍数,通过观察从而得到最小公倍数。
通过在50以内数字表格中找出4和6的倍数的过程中,给予学生表扬和鼓励,使学生心灵上得以满足,更加用心去探索,通过“这样的数字取什么名字呢?”问题的呈现,激发了学生的学习兴趣。
在设计练习题时,先按书中的内容针对重点、难点设计一些综合性练习题,以适当重复来控制学生对知识的掌握。设计练习内容的难易程度都有,必做题起点稍低,让学生能通过独立思考和教师的正确辅导,一次次地去获得作业练习的成功;选做题有一定难度,对差生不做要求,可让优生产生兴趣尽力去完成,做到“优生吃得饱、差生吃得了、中游赶得上、下游丢不了”,真正让全班学生练中有乐、练有所获。
教授如何找两个数的“公倍数”时,我只是让学生“先分别找出两个数的倍数,然后再找共有的倍数”,没有对不同的学生提出不同的要求,这样的话就没有让所有学生都得到充分思考。
每节课的设计一定要把学生放在首要位置:学生知识基础、接受程度等是内容安排、过程设计及方法运用的根本依据。重点内容的学习时间要充分。要认真钻研教材,明确教学目标要求,尤其是对知识点的教、学度要认识清楚。
【练一练·82页】
1.画“○”的数:3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48　画“△”的数:5,10,15,20,25,30,35,40,45,50　15,30,45是3和5的公倍数,都是15的倍数。　2.如下表所示。
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
50以内6和8的公倍数有24,48,最小公倍数是24。　3.如下图所示。
6和9的最小公倍数是18。　4.6　40　14　30
　甲、乙、丙三人围绕体育场的环形跑道进行跑步训练。甲跑一圈用3分钟,乙跑一圈用5分钟,丙跑一圈用7分钟。
(1)乙和丙同时从起点出发,几分钟后在起点第一次相遇?
(2)请你再提出一个数学问题,并尝试解答。
[名师点拨]　乙和丙同时从起点出发,乙跑1圈用5分钟,丙跑1圈用7分钟。如下表:
圈数
1
2
3
4
5
6
7
8
…
乙用时
5分
10分
15分
20分
25分
30分
35分
40分
…
丙用时
7分
14分
21分
28分
35分
42分
49分
56分
…
从表中可以看出35分钟时,乙和丙在起点第一次相遇。
[解答]　(1)35分钟时在起点第一次相遇。
(2)甲和乙同时从起点出发,几分钟后在起点第一次相遇?(答案不唯一)
15分钟时在起点第一次相遇。
【知识拓展】　(1)理解好“第一次相遇”的数学含义,它的实质就是求5和7的最小公倍数。
(2)最小公倍数=两个数的乘积最大公因数,例如:4和8的最小公倍数=4×84=8。
质因数分解法
质因数分解法:把每个数分别分解质因数,再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最大公因数。
例如:求24和60的最大公因数,先分解质因数,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24与60的全部公有的质因数是2,2,3,它们的积是2×2×3=12,所以(24,60)=12。
把几个数先分别分解质因数,再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如:求6和15的最小公倍数。先分解质因数,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有的质因数是5,2×3×5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个,所以[6,15]=30。
三女归家
今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归。问三女何日相会?这道题是我国古代名著《孙子算经》中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是:一家有三个女儿都已出嫁。大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后,至少要多少天三人再次相会?
求从刚相会到最近的再一次相会的天数,其实就是求三个女儿回家天数的最小公倍数。3,4,5三个数的最小公倍数是3×4×5=60,所以三个女儿至少要60天才能再次相会。