北师大五年级上册数学教案-数学好玩（含反思+同步习题）

　数学好玩
本节数学好玩中分为“设计秋游方案”“图形中的规律”“尝试与猜测”三个部分。
“设计秋游方案”这节课属于综合实践活动,主要内容是根据整数乘除法、时间、收集数据等知识,设计秋游方案,积累活动经验,逐步提高学生综合实践能力。
“图形中的规律”是根据生活和教学中存在着的大量的有规律的事物,以及事物变化趋势设计的问题。这些问题的解决没有现成的固定的方法,更多的是要通过探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。为发展小学生的数学思维能力,教材中设计了“摆三角形”和“点阵中的规律”两个探索活动。
在“尝试与猜测”中借助“鸡兔同笼”这个题材,意在让学生经历列表、尝试和不断调整的过程,从中体会解决问题的一般策略——列表。教材呈现了古代趣题“鸡兔同笼”的情景,设计了三个问题。
1.通过“设计秋游方案”的活动,积累数学活动经验,感受数学在日常生活中的应用,经历设计活动方案的过程,提高收集数据与处理数据的能力。
2.在收集数据、设计方案、交流等活动中,学会合理地评价活动过程和设计方案等,发展自我反思能力。
3.经历直观操作、探索的过程,体验发现摆三角形的规律的方法,能在观察活动中,发现点阵中隐含的规律,体会图形与数的联系,结合探索、尝试、交流等活动,发展归纳与概括的能力。
4.结合解决“鸡兔同笼”的问题,体验借助列表进行尝试与猜测的解题策略,了解尝试与猜测,列表策略适用于哪些问题,知道与鸡兔同笼有关的数学史,进行数学文化的熏陶和感染。
【重点】
1.掌握设计秋游方案的方法。
2.探索、体验发现摆三角形的规律的方法。
3.能根据实际情况解决“鸡兔同笼”问题。
【难点】　怎样设计既合理又经济的秋游方案;能根据图形发现图形中的规律;能解决“鸡兔同笼”问题。
第课时　设计秋游方案
1.通过“设计秋游方案”的活动,积累数学活动经验,感受数学在日常生活中的应用。
2.经历设计活动方案的过程,提高收集数据与处理数据的能力。
3.在收集数据、设计方案、交流等活动中,学会合理地评价活动过程和设计方案等,发展自我反思能力。
【重点】　设计一个合理的方案。
【难点】　怎样设计既合理又经济。
【教师准备】　PPT课件、有关本节的素材。
【学生准备】　了解相关信息。
方法一
创设情景,导入新知。
师:同学们,你们一定很喜欢旅游吧!你们跟随家长都去过哪些有意义的地方呢?
预设 生1:我去过长城、故宫……
生2:我去过香山……
……
师:同学们,你们知道吗?无论我们参加什么样的活动,为了保证我们的活动顺利开展及人身安全,都有相对某项活动的活动方案,应急预案,安全措施等。旅游活动也不例外,也要有设计方案,注意事项等,今天我们就来学习旅游中的数学。
(板书课题:设计秋游方案)
[设计意图]　通过创设情景,导入新知,一方面让学生体会数学与生活的联系;另一方面对学生渗透安全教育,增强安保意识。
方法二
谈话引入。
师:同学们,在新学期开始之前,老师要制定学期工作计划,你们要制订学习计划,根据计划的要求,我们按部就班,有计划有目的地进行学习和工作。我们要进行某项活动,一个活动方案可以确保活动安全顺利地进行。今天我们就来学习制订活动方案。
(板书课题:设计秋游方案)
[设计意图]　开门见山直接点题,明确学习任务,为下面的学习做好铺垫。
一、活动任务。
师:同学们,请看大屏幕,他们在做什么?
(PPT课件出示教材94页情景图)
师:请同学们观察一下这个画面,说一说图中的同学在干什么。
预设 生:从画面上看,是学生到故宫和北海公园游玩。
师:我们要想进行游玩,我们就要有一个具体游玩方案,今天我们的任务就是帮助他们设计一个合理的秋游方案。
[设计意图]　本环节的设计是通过画面的观察,明确学习任务,进行合理的设计。
二、设计方案。
师:我们秋游前,首先要做好活动方案。制作方案要考虑到哪些问题呢?要做哪些方面的准备?
1.小组合作交流,讨论。
2.小组汇报。
预设 生:老师,我认为要想进行秋游活动,要考虑到天气、费用、就餐、交通工具、住宿、时间等问题。
(教师板书:考虑天气、费用、就餐、交通工具、住宿、时间……)
师:同学们,你们是怎样理解上面的准备事项的?
预设 生1:天气,就是要知道晴或阴,还是阴雨连绵?如果是这样,我们就改天进行秋游活动。也就是说,要选择好的天气进行秋游。
生2:我们要进行秋游活动就要有费用,要知道门票多少钱,这里面包含车费,如果是一日游,什么时候回来,中午需不需要就餐,如果是多日游,需不需要住宿,我们都要考虑在内。
师:有没有同学进行补充?
预设 生:我们应该考虑到更主要的问题,我们到哪去,目的地是哪儿呢?在游玩的时候一定要注意安全问题,做到安全而去尽兴而归。
……
师:看起来,进行一次秋游活动的活动设计还不是一个简单的事情,如果,请你设计一个61名学生到故宫和北海公园参观的活动方案(同时PPT课件出示情景图),你会采用哪种方式进行设计呢?是独立完成还是小组合作?
学校要组织61名学生到故宫和北海公园参观。
预设 生:我们选择小组合作。
师:同学们都知道团结的力量大,三个臭皮匠能赛过诸葛亮,既然你们选择了小组合作,那么就要有合理化的分工。
(教师板书:明确分工)
师:你们想怎样进行分工?(学生小组讨论,明确分工)
预设 生:我们进行分项负责,有人负责交通工具的租用,有人负责费用的预算,还有人负责游玩的安全保障措施的制定……
师:那你们的分工已经明确到个人了吗?
预设 生:每位学生在本次设计秋游方案中都已经明确了任务。
师:非常好,下面我们就进行设计秋游活动方案吧!
[设计意图]　本环节的设计锻炼学生思考问题的全面性,做事要前思后想,同时也培养学生安全意识,重视同学间团结的力量。
三、活动试验。
师:同学们,在课前我们收集了哪些相关材料和数据供设计秋游活动进行参考?(学生没有收集到相关数据,教师可提供)
预设 生1:我了解到了景点信息,故宫的门票成人每人60元,学生每人20元;北海公园门票成人每人10元,学生每人5元。(学生汇报,同时教师PPT课件出示)
景点
故宫
北海公园
票价/(元/人)
成人60
学生20
成人10
学生5
　　生2:我调查了旅游车的相关信息,请同学们观看大屏幕。(教师PPT课件出示)
旅游车种类
限乘人数
往返费用
空调大客车
45人
460元
普通客车
21人
220元
中巴车
16人
170元
　　师:通过调查的内容,你们从表格中获得了哪些数学信息?61名学生参加秋游活动,怎样设计既经济又合理呢?你们一定要做好预算哦。(小组讨论交流,选择经济合理的方法)
预设 生:同学们参观故宫和北海公园的门票,预计应该是1525元。在交通工具选择上,应该选择空调大客车和中巴车,比较经济,应该是630元。
师:那么其他的预算怎么办?
预设 生:因为是一日游,午餐的费用和其他的费用在200元左右。……
师:下面请同学们打开教材95页,根据你们收集的材料和数据,设计秋游方案。
(学生动手实践,设计秋游方案,教师巡视指导)
[设计意图]　本环节的设计帮助学生理清思路,明确秋游活动的理念是经济化,合理化,安全化。
四、交流反思。
师:谁先说一说你们的秋游设计方案?
(学生汇报)
师:同学们在设计方案过程中,都用到了哪些数学知识和方法?
预设 生:运用了调查、收集、整理、统计,还应用了整数乘法,加法等知识。……
师:在调查收集数据的过程中,用到了哪些收集数据的方法?
预设 生:询问,记录。……
[设计意图]　本环节的设计使学生明白,数学与生活的密切关系,体会数学的学习价值。
师:(PPT课件出示其中一个小组设计的秋游方案)下面是某个小组设计的秋游方案,你们有什么建议?
(学生提出合理化建议,对活动计划进行修改和补充)
师:同学们,下面可以把你们各个小组设计的不同方案,汇聚成手抄报,在我们班级中评选出“最受欢迎的秋游计划”。
(学生评选并说出自己的理由)
[设计意图]　通过设计使学生知道,设计方案的完整性,合理性,接受同学的建议,培养学生谦虚谨慎的态度。
五、自我评价。
结合五星评价内容,先组织学生进行简单的讨论与交流,明确评价标准,按照要求正确地评价。
在这次活动中,我的表现是(请把每项后面的☆涂上颜色,涂满5个为最好):
方案合理可行,便于实施
☆☆☆☆☆
用数学的方式表达记录单,表现形式简洁清晰
☆☆☆☆☆
积极参与活动,小组分工合理
☆☆☆☆☆
积极与同学进行交流
☆☆☆☆☆
认真反思,合理修改方案
☆☆☆☆☆
　　[设计意图]　通过小组内交流,小组成员之间的互评,让学生客观地了解自己在活动中的表现,培养向他人学习的好品质。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
学生反馈汇报预设:这节课我们一起学习了设计秋游方案,积累了我们的数学学习经验,提高了收集数据和处理数据的能力,我们也感受到了数学在日常生活中的应用。
[设计意图]　通过总结,培养学生的语言表达能力和分析概括能力。
准备:考虑天气、费用、就餐、交通工具、住宿、时间……
明确分工
设计方案
交流反思
在教学中,紧密结合生活实际,从学生的经验和已有的知识出发,合理组织教材,培养学生用数学思想来看待实际问题的意识,注重实践活动,提供实践时间,切实提高实践实效,培养学生发现数学问题的能力,创设生活情景,启发学生思维,提高学生解决问题的能力.
根据学生自身的生活经验与实际需要,设计秋游方案,上台展示,与同学交流,让每个学生发表自己的观点,通过倾听同伴的意见、相互提建议,相互学习,在合作与交流个性化的秋游方案设计的过程中发现自己的不足。学生通过寻求解决方案的途径使其情感体验和生活体验在数学学习中得到升华,从而培养解决生活中数学问题的能力。
学生学习数学是运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题,数学是必要的日常生活的工具。引导学生把所学知识运用于生活实际,可以促进学生的探索意识和创新意识的形成,培养学生初步的实践能力。学生通过这一节课的学习有所收获,懂得处理事情应合理安排,会运用所学的知识解决生活中的一些问题。教师把课内、课外紧紧结合起来,把所学的知识应用于生活实践中,从而培养了学生的应用意识和实践能力。
学生在设计方案的过程中,由于生活经验较少,不能理想地完成设计,在设计中没有从实际出发,考虑不够全面。
在今后的设计中,要注重数学与实际生活的联系,培养学生生活经验,让数学来源于生活,服务于生活。
北京故宫
北京故宫,全名北京故宫博物院,旧称为紫禁城,位于北京中轴线的中心,是中国明、清两代24位皇帝的皇家宫殿,是中国古代宫廷建筑之精华,无与伦比的建筑杰作,也是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一。它有大小宫殿七十多座,房屋九千余间,以太和、中和、保和三大殿为中心。
北京故宫由明成祖朱棣永乐四年(公元1406年)开始建设,以南京故宫为蓝本营建,到明代永乐十八年(公元1420年)建成,占地面积约为72万平方米,建筑面积约为15万平方米,它是一座长方形城池,东西宽七百五十三米,南北长九百六十一米。周围筑有十米多高的城墙,并有一条宽五十二米的护城河环绕,构成了“城中之城”。宫殿建筑均是木结构、黄琉璃瓦顶、青白石底座。
故宫被誉为世界五大宫之首(北京故宫、法国凡尔赛宫、英国白金汉宫、美国白宫和俄罗斯克里姆林宫),已被列为世界文化遗产、全国重点文物保护单位、国家AAAAA级旅游景区。
2014年11月23日,北京故宫吉祥物首度对外亮相,该吉祥物形象源自中国传统的吉祥龙凤,分别为龙“壮壮”和凤“美美”。2015年6月13日,故宫博物院实行限流8万人次和实名制售票。
北海公园
北海公园(BeihaiPark),位于北京市中心区,城内景山西侧,在故宫的西北面,与中海、南海合称三海。属于中国古代皇家园林。全园以北海为中心,面积约71公顷,水面占583市亩,陆地占480市亩。这里原是辽、金、元建离宫,明、清辟为帝王御苑,是中国现存最古老、最完整、最具综合性和代表性的皇家园林之一,1925年开放为公园,是中国保留下来的最悠久最完整的皇家园林,为全国重点文物保护单位,是国家AAAA级旅游景区。
第课时　图形中的规律
在生活和数学中,存在着大量的有规律的事物,以及事物变化趋势的问题。这些问题的解决,没有现成的固定的方法,更多的是要通过探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。为发展小学生的数学思维能力,教材编排了“图形中的规律”这一内容,设计了“摆三角形”和“点阵”两个探索活动。
1.经历直观操作、探索的过程,体验发现摆三角形的规律的方法。
2.能在观察活动中,发现点阵中隐含的规律,体会图形与数的联系。
3.结合探索、尝试、交流等活动,发展归纳与概括的能力。
【重点】　掌握“摆三角形”和“点阵”中的规律。
【难点】　探索“摆三角形”和“点阵”中规律的过程。
【教师准备】　PPT课件、有关本节的相关素材。
【学生准备】　小木棒、小圆片。
(PPT课件出示)抢答热身,看大屏幕上的三角形抢答。
摆一个独立的三角形需要几根小棒?两个呢?三个呢?
【参考答案】　三根小棒　六根小棒　九根小棒
方法一
创设情景,提出问题。
师:同学们,用小棒摆三角形会吗?那像这样摆三角形呢?(PPT课件出示)
……
师:赶紧用桌上的小棒摆一摆。
(学生操作)
师:通过刚才摆一摆,你们想到什么数学问题?
预设 生1:摆一个三角形用3根小棒,摆两个三角形用5根小棒。
生2:摆3个三角形用7根小棒。
……
师:你们很会从数学的角度思考,提出了一个很有研究价值的问题!
师:我们要是一直摆下去,100个三角形用多少根小棒,1000个呢?你们还可以提出什么样的问题?
生3:摆n个三角形需要多少根小棒?
师:他想研究像这样摆n个三角形需要多少根小棒,你们想研究多少个?拿出题单,把你们的问题记录下来并尝试解决。
(板书课题:图形中的规律)
[设计意图]　通过学生动手操作,提出问题,培养学生的动手能力。同时激发了学生想知道问题的答案的探索欲望。
方法二
复习导入新知。
师:同学们,关于三角形你们掌握了哪些?
预设 生:三角形是由三条线段首尾顺次相接,围成的平面图形。
……
师:今天,我们就利用三角形来探索图形中的规律。
(板书课题:图形中的规律)
[设计意图]　通过直接导入,使学生知道今天的学习任务。
一、引导学生观察画面理解题意。
师:同学们,请看大屏幕。说一说从图中知道了什么。
PPT课件出示教材97页情景图。
　　预设 生:从画面上看,淘气和笑笑在用小棒摆三角形。
师:同学们,思考用小棒摆三角形,可以怎么摆?
预设 生:可以单独摆,也可以连续摆。
(PPT课件出示)单独摆。
师:观察画面,你们发现摆一个独立的三角形需要几根小棒?
预设 生:需要三根小棒。
师:10个呢?
预设 生:需要10×3=30根小棒。
师:n个呢?
预设 生:3n根小棒。
师:你能解释“3n”表示的意思吗?
预设 生:摆一个三角形用3根小棒,3n就表示摆n个三角形的小棒数。
[设计意图]　通过本环节的设计,使学生明白三角形个数增加,所用小棒的根数也跟着相应地增加,但变化是有规律的:三角形个数和小棒根数之间总是存在着3倍的关系。
二、探索发现,总结规律。
师:像笑笑那样摆三角形,和前面的摆法有什么不同?
预设 生1:有共用的小棒。
生2:可以省小棒。
师:像这样连续摆的情况,三角形个数和小棒根数之间又有怎样的变化规律呢?下面我们就一起来探究这个问题。在生活中,只要我们仔细观察,认真分析就会发现很多规律,数学图形中同样也存在着许多的规律,这节课老师想带领大家一起去探索图形中的规律。
师:下面两个同学为一组,一起来探究像这样摆,三角形个数和小棒根数之间又有怎样的变化规律呢?
动手操作的要求:
(1)小组合作,一人填表,一人摆一摆,大家观察讨论。
(2)照着的样子,摆连续的三角形。
(3)从摆第一个三角形开始,就摆一个记录一次,寻找三角形个数和小棒根数之间的关系。
(4)当发现了规律后就来推算一下摆10个三角形需要多少根小棒。
三角形个数
摆成的图形
小棒根数
列出的算式
1
3
3=3+2×0
2
5
5=3+2×1
3
7
7=3+2×2
4
9
9=3+2×3
…
…
…
…
10
21
21=3+ 2×9
　　3.学生以小组为单位,共同摆一摆,填一填。老师参与各个小组进行指导。
4.各个小组反馈交流:
师:①你们发现了什么规律?②你们是如何发现这个规律的?
预设一:(学生到展台前展示自己的拼摆发现)当摆到第二个连续的三角形时,小棒变成5根,增加了2根。摆到第三个三角形时,小棒又增加了2根,发现在第一个三角形的基础上,每多摆一个三角形就增加2根小棒。
　　　　……
1个三角形3根
2个三角形5根
3个三角形7根
……
师:用同样的方法验证规律:如果摆10个三角形需要几根小棒?摆n个三角形呢?可以怎样列式?
预设 生1:10个三角形需要(3+2×9)根小棒。
生2:摆n个时就需要[3+2(n-1)]根小棒。
(教师板书:3+2×9,3+2(n-1))
预设二:第一个三角形得由1根小棒增加2根组成,每增加一个三角形就增加2根小棒。
学生摆图形,展示摆的过程和所得规律。
由(1+2)根小棒组成。
由(1+2+2)根小棒组成。
……
教师根据学生的描述板书算式1+2+2+2+…
师:如果有n个三角形,应该怎么表示?
预设 生:可以将算式简化成1+2×n。
预设三:
预设 生:将第二个独立三角形与第一个三角形连接,去掉共用的一根小棒,同样得到每增加一个三角形就增加2根小棒。(学生进行展示)
+=6(根)
=5(根)去掉共用的1根小棒。3×2-1
++=9(根)
=7(根)去掉共用的2根小棒。3×3-2
师:通过这样的思路,说一说10个三角形需要小棒的根数,理解算式并验证。3×10-(10-1)=21。
归纳出摆n个时,怎样列算式。
(教师板书:3n-(n-1))
师:优化算法,统一成下面的最简算法。
3+2(n-1)　　3n-(n-1)
=2n+1　　　　=2n+1
(教师板书:2n+1)
巩固加深理解字母公式的应用。
例题:摆4个三角形最少要用多少根小棒?
师:n代表的是什么?
预设 生:n表示的是三角形的个数。
师:你能根据2n+1这个式子计算出摆4个三角形最少要用多少根小棒吗?
预设 生:2×4+1=9(根)。
[设计意图]　通过学生探索、尝试、交流,发展学生归纳与概括的能力,体会图形中蕴含的规律。
三、根据规律,解决问题。
师:我们已经知道了连续摆三角形的规律,而笑笑并没有停止自己的探究,她继续往下摆,一共用了37根小棒,你们知道她摆了多少个三角形吗?
师:请同学们根据上一环节的计算,进行逆运算。
(学生讨论交流,进行汇报)
师:你们是用哪种方法解决这个问题的?
预设 生1:通过上面的学习我们知道,摆一个三角形要用3根小棒,以后每摆一个三角形只需要2根小棒,所以先减去第一个三角形所用的小棒数,再除以2,最后把所得的商再加上1,就是摆出的三角形个数。(37-3)÷2=17(个),17+1=18(个)。
所以,37根小棒可以摆出18个三角形。
生2:老师,我的想法和他的不同,通过摆三角形,我们都知道第一个三角形用3根小棒,连续摆下去,借助共用边,每多一个三角形就多2根小棒。我们可以把第一个三角形看成是由(2+1)根小棒组成的,所以在小棒的总根数中减去1,再除以2,所得的商就是应该摆出三角形的个数。列式:(37-1)÷2=18(个)。所以,37根小棒可以摆出18个三角形。
生3:老师,我还有第三种方法,虽然很麻烦,但是结果也是相同的,可以摆18个三角形。我们可以用小棒实际操作摆出图形,直到把37根小棒用完为止,数出摆出三角形的个数,也是18个。
师:你们还有其他的解决办法吗?
(学生思考讨论,方法合理即可)
师:你们的计算结果是正确的吗?要想知道是否正确你们应该怎么办?
预设 生:我们可以进行检验。
师:我们应该怎样进行检验呢?小组讨论一下。
(学生讨论方法,教师指导,然后汇报)
预设 生:根据摆三角形的探索规律,我们知道,n个三角形由(2n+1)根小棒组成,所以18个三角形小棒根数:2×18+1=37(根)。
所以37根小棒可以组成18个三角形是正确的。
[设计意图]　通过计算37根小棒可以围成多少个三角形,让学生体会三角形规律的应用,能够用所学知识解决实际一些问题,通过检验培养学生良好的学习态度。
四、点阵中的规律。
师:同学们,刚才我们从连续排列的三角形中知道了三角形的个数和小棒的根数之间的关系。你们是否会运用刚才发现的规律的思考方法去弄清这个点阵中的规律呢?
1.(PPT课件出示教材98页情景图)
师:同学们,通过大屏幕画面中的4个点阵图,你们知道我们要解决怎样的问题吗?
预设 生:我们要探索点阵的个数与点阵中点的个数之间的关系,发现规律。
(教师板书:点阵中的规律)
师:观察每个点阵图中的点的个数,看看你有什么发现。
(教师放手,让学生独立完成,在小组内交流的基础上组织全班交流)
师:谁先把你的想法与大家进行交流?
预设 生1:通过观察点阵图,发现后面的一个点阵图比前面一个点阵图多1行1列。
生2:我发现,第一个点阵图与第二个点阵图相差3,第二个点阵图与第三个点阵图相差5,第三个点阵图与第四个点阵图相差7……
生3:通过画面观察,我们可以把4个点阵图分别看成是边长为1,2,3,4的正方形。
……
师:你们发现点阵的个数与点阵中点的个数的关系了吗?
预设 生:老师,我发现,第一个点阵图中点数是1×1个;第二个点阵图中的点数是2×2个;第三个点阵图中的点数是3×3个;第四个点阵图中的点数是4×4个……
教师板书:
点子个数:1×1=1
点子个数:2×2=4
点子个数:3×3=9
点子个数:4×4=16
师:可以怎样表示呢?
预设 生:一边上有几个点子,我们就可以写成几乘几来表示点阵图中的点子数。
(教师板书:几乘几)
师:那你们能根据这个规律推算出第5个点阵图中的点子数吗?
预设 生:应该是5×5=25个点子。
师:那么,第6个点阵图呢?第7个,第8个呢?
(教师引导学生回答问题)
2.从不同的角度观察,发现新的规律。
师:同学们,你们画一画,然后进行观察,你们发现了怎样的规律?
(学生独立完成,教师指导)
学生汇报。(学生到展台前,展示自己的发现)
预设 生1:
　　生2:
师:你们可以尝试画第6个点阵图吗?
(学生操作,教师巡视指导)
预设 生:(到展台前,展示自己的想法)
[设计意图]　通过点阵图规律探索,引导学生经历探索过程和思路,使学生感受到探索的乐趣,明白探索是从简单到复杂的过程。
1.摆图形。
小明用小正方形摆“十”
摆一个“十”字形需要　　　　个小正方形,摆两个“十”字形需要　　　　个小正方形,摆x个“十”字形需要　　　　个小正方形。
2.按下图方式摆正方形。
摆20个正方形需要多少根小棒?
【参考答案】　1.5　10　5x　2.3×20+1=61(根)
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
学生反馈汇报预设:这节课我们一起学习了有关三角形和点阵图的探索,发现其中的规律,并能用规律解决一些生活实际问题。
[设计意图]　通过总结,培养学生的探索精神,锻炼学生的概括能力。
图形中的规律
三角形的规律
3+2+2+2+2=3+2×4。3+2×93+2(n-1)3n-(n-1)2n+1
点阵中的规律
点子个数:1×1=1点子个数:2×2=4点子个数:3×3=9点子个数:4×4=16几乘几
首先,教师所应做的是在摸清学生的知识底蕴的同时,给予学生学习的推动力,激发学生的内在需要。因此,我创设了一个情景,以“猜想—验证”的教学方式,放手让学生自主探索规律,培养自主思考探究的习惯,让学生确实能做到主动、独立地学习,十分重要的是让学生掌握学习的“工具”,即教学内容的结构和学习方法的结构。在教学中教师要用结构的观点去分析和研究教材,指导学习方法,给学生主动学习的“工具”,并使之形成后续学习的动力。课堂上,我先让学生以小组来想办法,说说你们想用什么办法来验证,再通过“友情提示”对学生的方法及时进行梳理和指导,及时提供充分的探究空间,让学
生选择自己喜欢的方法自主探寻规律,让学生用自
己的语言表达规律,适时进行数学化。学生探究后,我及时引导学生用不同的方式来表达自己的发现,表达所摆图形的个数与所需要的小棒根数之间的关系。让学生亲身经历“从具体形象表示——用数学语言描述——用数学模型表示”这一逐步符号化、形式化的过程,不断提升学生的“数学化”水平。
五年级孩子还没有学习用字母表示数,用字母n来表示规律有一定的困难。
再进行教学设计时,要充分考虑到学生的年龄特点,思维方式,认知程度。
隐藏海盗
我国有一句成语——“一枕黄粱”,讲的是一个穷书生卢生,在一家小店借了道士一个枕头。当店家煮黄粱米时,他枕着枕头睡着了。梦中,他做了大官。可是一觉醒来,自己还是一贫如洗,锅里的黄粱米还没煮熟呢。
传说,这个做黄粱梦的卢生后来真做了大官。一次番邦入侵,皇帝派他去镇守边关。卢生接连吃败仗,最后退守一座小城。敌人把小城围了个水泄不通。卢生清点一下自己的部下,仅剩55人。这可怎么办?
卢生左思右想,琢磨出一个退兵之计。他召来55名士兵,面授机宜。晚上,小城的城楼上突然灯火通明,士兵举着灯笼火把来来往往。番邦探子报告主帅,敌帅亲临城下观看,发现东、西、南、北四面都站有士兵,虽然各面上士兵人数各不相同,但是每个方向上士兵总数都是18人。(如图(1)所示)
敌军主帅正弄不清卢生摆的什么阵式,忽然守城的士兵又换了阵式,并没有看见增加新的士兵,可是每个面上的士兵却变成了19人。如图(2)所示。
“这究竟是怎么回事?”敌方主帅百思不得其解。正当敌帅惊诧之际,每个方向从19人变到20人,如图(3)所示,又从20人变到22人,如图(4)所示。城楼上的士兵不停地摆着阵式,每个方向上士兵总数忽多忽少,变化莫测,一夜之间竟摆出了10种阵式,把敌主帅看呆了。他弄不清这是怎么回事,认为卢生会施法术,没等天亮急令退兵。
类似的说法在日本也有。日本江户时代,有个叫柳亭仲彦的日本人,写了一本叫《柳亭记》的书,书中有这样一个故事:
在中国和日本之间有海峡相隔,在日本沿海有个检查船只的关卡。关卡修成四方形的,每边都站有7名士兵,如图(5)所示,通常称为7人哨所。有一天,8个海盗被官兵追赶,苦苦哀求关卡的士兵把他们隐藏,如能救他们,发誓不当海盗。可是关卡就那么大一点地方,怎么能藏下8个人呢?装扮成士兵共同守城吧,可是谁都知道关卡是7人哨所,每边固定为7个人。
正当大家一筹莫展时,一个士兵想出了个主意。让8名海盗假扮成守城士兵,把关卡上人员配置改换了一下。官兵乘船追到,没有发现海盗,一数关卡上的士兵,每边还是7人,如图(6)所示,于是官兵乘船离去。
后来,人们就把类似这样的问题称为“藏盗问题”。
上面讲述的是两个不同问题。第一个是守城的总人数不变,而使每个方向上的人数变化;第二个是每个方向上的人数不变,而守城的总人数发生变化。但是,这两个问题有一个共同特点,它们变化的关键是在四个角上。以东南角上的士兵数为例,计算东边人数时要数一次,计算西边人数时还要数一次。因此,在总人数不变的前提下,要增加每个方向上的人数,必须增加四个角上的人数,而减少中间的人数;反过来在每个方向人数不变的前提下,要增加总人数,必须减少四个角上的人数,而增加中间的人数。只要掌握这个规律,摆布方阵就不困难了。
第课时　尝试与猜测
本节课内容借助“鸡兔同笼”这个载体,让学生经历列表、尝试和不断调整的过程,从中体会解决问题的一般策略——列表,教材呈现了古代趣题“鸡兔同笼”的情景,设计了3个问题。
1.结合解决“鸡兔同笼”的问题,体验借助列表进行尝试与猜测的解题策略。
2.通过讨论,了解尝试与猜测,列表策略适用于哪些问题。
3.知道与鸡兔同笼有关的数学史,进行数学文化的熏陶和感染。
【重点】　从不同角度去分析,用不同的列表法解题。
【难点】　用不同的列表法解题的过程。
【教师准备】　PPT课件、有关本节的素材。
【学生准备】　《孙子算经》相关材料。
方法一
激趣导入。
师:同学们,老师知道你们在学校里都是爱思考的好孩子,在家里也是一样吗?老师观察了一些现象想来考考大家,怎么样?
预设 生:好。
师:淘气家养了好多动物,我看见有一个笼子里养的都是鸡,一共有10只,你们知道有多少条腿吗?为什么?
预设 生:10×2=20(条)。因为每只鸡有两条腿。
师:真棒,我又看到一个笼子里全部养的兔,一共有28条腿,你们知道有多少只兔吗?为什么?
预设 生:28÷4=7(只),因为每只兔有4条腿。
师:真聪明,可是老师还看到一个笼子里既有兔子又有鸡,一共有6个头,18条腿,你们知道有多少只兔子多少只鸡吗?
预设 生:……
师:(老师微笑着说)好像不那么简单了,对吧!那我们今天就一起来探讨探讨这种“鸡兔同笼”的问题。
(板书课题:尝试与猜测)
[设计意图]　从生活中的小发现让同学们清楚地认识到鸡有一个头两条腿,兔有一个头四条腿,这为后面鸡兔同笼问题的解决埋下伏笔,同时在这些简单的问题中能很好地激起学生的探究兴趣。
方法二
创设情景,提出问题。
师:同学们,我们国家有着几千年的悠久文化,在我国古代更是产生了许多位数学家和许多部数学著作。《孙子算经》就是其中一部,大约产生于一千五百年前,书中记载着这样一道有名的数学趣题,让我们一起去看看吧!
1.(PPT课件出示原题)
《孙子算经》中的原题是:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”读一读,你知道这道题的意思吗?你能解决这个问题吗?
2.理解题意。
师:同学们,你们知道这道题的意思吗?谁愿意试着说一说?
预设 生:这道题的意思就是:今天有鸡和兔在一个笼子里,上面有35个头,下面有94只脚,则鸡和兔各有多少只?
师:大家都是这么想的吗?
预设 生:是的。
师:同学们,这道题的意思正如同学们所想的那样,也就是“笼子里有若干只鸡和兔,从上面数有35个头,从下面数有94只脚,鸡和兔各有多少只?”
3.揭示课题。
师:这就是著名的“鸡兔同笼”问题,也是这节课我们要研究的问题。
(教师板书:尝试与猜测)
[设计意图]　通过介绍《孙子算经》,使学生知道“鸡兔同笼”是一道大约有1500年历史的数学名题,激发学生的爱国主义情感,为祖国历史文化感到自豪和骄傲。同时激发学生的学习兴趣,为新知的学习做好铺垫。
一、解决“鸡兔同笼”问题的方法。
师:在《孙子算经》中提出的鸡兔同笼问题有些复杂,通过前面的学习,为了便于研究规律,我们可以先从简单的问题入手,我们把题中的35个头和94只脚改成较小的数字。请同学们看大屏幕。
1.(PPT课件出示教材99页情景图)
鸡兔同笼,有9个头,26条腿。鸡、兔各有几只?
师:请同学们看看画面中的这道题,默默地读这道题,思考一下“有9个头是什么意思?”
预设 生1:有9个头就是说鸡和兔的头一共有9个。
生2:也就是说鸡和兔一共有9只。
师:有26条腿是什么意思?
预设 生:有26条腿就是说鸡腿和兔腿总数一共是26条。
师:问题是什么?
预设 生:鸡和兔各有多少只?
2.猜一猜。
师:鸡和兔各有几只呢?我们不妨猜想看看。
预设 生1:3只兔,6只鸡。
生2:6只鸡,3只兔。
生3:7只鸡,2只兔。
生4:5只兔,4只鸡。
……
师:伟大的科学家牛顿曾经说过:“有了大胆的猜想才会有伟大的发明和发现”。同学们猜得对不对呢?我们不妨验证一下。
[设计意图]　通过理解题意,使学生明白我们要解决的问题是什么。通过猜一猜的活动,一方面激发了学习兴趣;另一方面使学生体会到这个“鸡兔同笼”问题的猜想可能很多,怎么才能判断正确答案,是学生特别想解决的问题,为用列表法解决问题埋下伏笔。
3.引导探究、感悟新知。
师:你们想通过什么样的方法来验证我们的猜想?
(学生自己选择学具,独立解决问题,充分思考之后,再小组交流,全班汇报。)
预设 生1:列表法。
生2:画图法。
生3:假设法。
……
师:通过刚才我们的猜想,了解到猜想的可能很多,我们要把这些可能一一列举出来,我想列表法会更合适一些。老师这有一张表格,通过你们的猜想,完成这个表格。
(教师板书:列表法)
(1)(PPT课件出示表格)
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
　　(2)逐一列表法。
师:你们猜一猜有几只鸡几只兔?(根据学生的猜想,教师通过PPT课件演示,完成表格的填写)
预设 生1:1只鸡8只兔子。
生2:2只鸡7只兔子。
……
师:你们是根据什么猜的?
预设 生1:鸡+兔=9只
(教师板书:鸡+兔=9只)
生2:一共有9个头,说明鸡和兔子一共有9只,如果鸡要多一只,兔子就少一只,它们的总只数不变。
师:真棒,可是你们猜对了吗?
预设 生:算算就知道。
师:为了不重复,不遗漏,这种列表法叫作逐一列表法。
(教师板书:逐一列表法)
师:我们就从第一种猜想开始计算。
(学生根据表格数据,完成腿数的填写)
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
1
8
34?
2
7
32?
3
6
30?
4
5
28?
5
4
26√
…
…
…
　　教师引导学生进行分析:根据题意,鸡与兔子共有9只,假设鸡有1只,兔子有8只,通过计算共有1×2+8×4=34条腿,与题意鸡兔共有26条腿不符,所以是不对的;鸡与兔子共有9只,假设鸡有2只,兔子有7只,通过计算共有2×2+7×4=32条腿,也是不正确的;以此类推,直到鸡有5只,兔子有4只,腿共有26条时,才得到所求的答案。
师:观察发现,腿的总数有什么变化?
预设 生1:越来越少。
生2:鸡增加1只,兔子减少1只,腿就减少2条。
师:为什么腿的数量每次都会减少2条?
预设 生:因为每只兔子比每只鸡多2条腿。
师:我们也可以假设有1只兔子8只鸡,你们试一试填写表格。(学生独立完成,教师巡视指导)
兔有几只
鸡有几只
腿有多少条
1
8
20?
2
7
22?
3
6
24?
4
5
26√
…
…
…
　　师:原来我们只要检验腿的条数对不对就知道到底有几只兔几只鸡了。像这样逐一进行列表的方法叫作逐一列表法。
师:同学们,对于鸡兔同笼的问题,你们还有什么想法?或者有什么新思路?和大家讨论一下。(小组间讨论交流,探究解决问题的其他方法)
方法一:画图法。
预设 生:老师,除了列表法还可以利用画图法来解决“鸡兔同笼”的问题。
师:到展台来,把你的想法说给大家听。
预设 生:我先画了9个圆,表示9个头,假设都是鸡,每个头下面画上两条腿,共有18条腿,而鸡和兔有26条腿,相差8条腿。是我们把一只兔子少算了两条腿,把这多余的八条腿,分别画在4个头的下面。(如图所示)四条腿的是兔子,两条腿的是鸡,共有4只兔子,5只鸡。
　　方法二:砍腿法。
预设 生:我用的是妈妈教我的砍腿法,如果每只鸡和兔子都先砍去1条腿,那么一共砍去9条腿。再各砍去1条腿,这时鸡就没有腿了,两轮共砍去18条腿,剩下的腿的数量是兔子的,每只兔子剩2条腿,用8条腿除以2条腿就等于兔子只数。
师:还有没有同学想说一说?
方法三:假设法。
预设 生:老师我用的是假设法,假设笼子中全是鸡或者全都是兔子。
(1)假设笼子中全是鸡。很显然,腿有2×9=18条,与实际腿有26条相比少了26-18等于8条,怎么会比实际少八条呢?是我们把4条腿的兔子当成2条腿的鸡了,把1只兔子当成1只鸡来算,就会比实际少2条腿,那8中有多少个2,就有多少只兔子,这样就可以求出兔子的只数。
兔子:(26-9×2)÷(4-2)
　　=(26-18)÷2
　　=8÷2
　　=4(只)
鸡:9-4=5(只)
(2)假设笼子中全是兔子。腿共有4×9=36条,与实际腿有26条相比,多了36-26=10条。为什么多了呢?这是因为把2条腿的鸡当成了4条腿的兔子了。把1只鸡看成1只兔子来算,就会比实际多2条腿,那么10中有多少个2,就有多少只鸡。这样就可以求出鸡的只数。
鸡:(4×9-26)÷(4-2)
　　=10÷2
　　=5(只)
兔子:9-5=4(只)
……
师:这些方法中你们喜欢哪一种?
(学生表达自己的想法)
师:解决问题的方法是多样化的,选择最优的,适合自己的方法就是好方法。
[设计意图]　学生熟悉并运用逐一列表法解决“鸡兔同笼问题”,掌握熟练后可以为跳跃列表法和取中列表法的学习打下基础。
4.跳跃、取中列表法。
师:其实,鸡兔同笼问题早在1500年前就是非常出名的数学问题,在《孙子算经》的书中这样记载“今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔几何?”谁明白这句话的意思呢?
师:你们能用列表法解决这个问题吗?
预设 生:可以。
师:下面请同学们小组讨论交流,用列表法解决问题。
(学生实践活动,教师巡视指导)
师:同学们,在解决问题过程中,你们有什么问题吗?
预设 生:问题中的数值比较大,逐一举例的方法比较慢,繁琐。
师:同学们,再想一想,试一试,除了逐一列表法有没有更简单的表示方法呢?
预设 生:在解决数据较大的问题时,不一定要把所有的情况都列出来,只要找到答案就可以了。
　　鸡　兔　　　腿　　　　　　判断
　　1　　34　2+34×4=138　　　?
　　10　 25　20+25×4=120　　 ?
　　20　 15　20×2+15×4=100　 ?
　　23　 12　23×2+12×4=94　　√
师:当数据较大时,我们不必一一列出,而是选择跳跃记录的方法,这种列表的方法叫跳跃列表法。
(教师板书:跳跃列表法)
师:还有不一样的方法吗?
预设 生:取中列表法。
师:为什么你从17开始呢?
预设 生:因为17是35的中间的数。
　　鸡　　兔　　腿　　　　　　　　　判断
　　17　　18　17×2+18×4=106　　　?
　　20　　15　20×2+15×4=100　　　?
　　23　　12　23×2+12×4=94　　　 √
师:像这样从中间开始尝试列表的方法叫取中列表法。
(教师板书:取中列表法)
[设计意图]　这道题目数目比较大,不适合逐一列表法,需要学生尝试找到新的解决方法,老师加以引导,提炼出跳跃列表和取中列表两种思路。
二、解决钱币的问题。
师:乐乐的储钱罐里有1角和5角的硬币共27枚,总共是5.1元,一角和五角的硬币各有多少枚?请你用列表的方法解决问题。
(学生独立解决,教师巡视指导)
师:你们是怎样解决问题的?
预设 生:我采用的是取中列表法,推算出1角硬币有21枚,5角硬币有6枚。
师:你们知道生活中还有哪些问题可以用列表的方法解决吗?
(学生讨论后汇报,如果思路比较局限,教师可以提供一些事例)
例如,在一场篮球比赛中,一名运动员总共投中8个球,得了19分,那么他三分球和二分球各投中几个?
……
[设计意图]　提供和鸡兔同笼同类型的变式练习,考查学生应用能力的同时,鼓励学生的发散思维,用多种方法解题。通过解题,让同学们知道假设列表法不仅能解决古代趣题,还能帮助解决身边的数学问题。
1.停车场里有三轮车和自行车共22辆,有59个轮子,自行车、三轮车各几辆?
2.小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共13枚,总共是2.1元,1角和5角的硬币各有多少枚?
(紧密联系生活实际,解决生活中的“鸡兔同笼”问题,进一步体验数学的价值)
【参考答案】　1.15辆三轮车;7辆自行车。　2.2枚5角硬币;11枚1角硬币。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
学生反馈汇报预设:这节课我们一起学习了用列表法解决“鸡兔同笼”问题,我们可以从一只鸡或一只兔子开始逐一列表,也可以进行跳跃列表,还可以取中列表,无论采用哪种列表方法解决鸡兔同笼问题,都可以探究正确答案。
[设计意图]　通过小结回顾本节课的主要知识点,达到知识的巩固、反馈。
作业1
1.鸡兔同笼,共有30个头,88只脚。求笼中鸡兔各有多少只。
2.鸡兔同笼,共有头48个,脚132只,求鸡和兔各有多少只。
3.一个饲养组一共养鸡、兔78只,共有200只脚,求饲养组养鸡和兔各多少只。
作业2
1.鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露。数清脚共五十双,各有多少鸡和兔?
2.小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票各买了多少张。
3.小红用13元6角正好买了50分和80分的邮票共20张,求两种邮票各买了多少张。
【参考答案】
作业1:1.鸡:16只,兔:14只。　2.鸡:30只,兔:18只。　3.鸡:56只,兔:22只。
作业2:1.鸡:22只,兔:14只。　2.20分的邮票25张,50分的邮票10张。　3.50分的邮票8张,80分的邮票12张。
尝试与猜测
鸡+兔=9只　　　　鸡腿+兔腿=26条
列表法:逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法
本节课属于综合应用课,其目的是加强数学知识与现实生活中问题的结合,以提高学生综合应用的能力。借助“鸡兔同笼”这个载体,初步获得一些数学活动的经验,在活动中引导学生自主探索,积极思考,主动与他人交流,从中体会出解决问题的一般策略——列表。
课堂上,我充分调动学生的积极性,让学生独立思考,在小组内交流,最后全班共同讨论研究,使学生在和谐的氛围中开拓了思维,实现了运用多种方法解决问题的目的,体现了学生是学习的主人。通过学习,使学生知道了假设的数学思想不仅可以解答古代趣题——鸡兔同笼,还能解答我们身边的问题,体会数学就在我们身边。但是对于本课程我在反思,除了三种列表的解决方法外实际上还有许多解题的方法,如假设法(算术解题),画图法,列方程解决等等,我们是否应该引导学生更深层次地发现规律,为更简单的方法打下伏笔。
为了提高学生思维品质,课前进行充分预设,在学生汇报没有表2这种情况下,出示淘气的列表尝试方法,让学生对淘气的方法进行评价,通过学生间讨论、交流,进一步体会判断调整的过程,以此来促进学生思维品质的提高,也是本课的一大亮点。当然,本节课学生的学习资源也十分丰富。
在跳跃列表法、取中列表法的教学设计中,比较表面,不够深入。
在以后的设计中,要注意这两种方法的渗透,学生不理解或者不明白,需要教师明确。
　有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?
[名师点拨]　[(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)]÷2=鸡数;[(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)]÷2=兔数。
[解答]　鸡:[(52+44)÷(4+2)+(52-44)÷(4-2)]÷2=10(只)
兔:[(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)]÷2=6(只)
答:鸡有10只,兔有6只。
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:
(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”
解:(100-2×36)÷(4-2)
=14(只)……兔;
36-14=22(只)……鸡。
或
(4×36-100)÷(4-2)
=22(只)……鸡;
36-22=14(只)……兔。(答略)
(2)已知总头数和鸡兔脚数的差,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式:
(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。(例略)
(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式:
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。(例略)
(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:
(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)
=不合格品数。或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”
解:(4×1000-3525)÷(4+15)
=475÷19=25(个)
或1000-(15×1000+3525)÷(4+15)
=1000-18525÷19
=1000-975
=25(个)(答略)
(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元。它的解法显然可套用上述公式。)
(5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题)可用下面的公式:
[(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)]÷2=鸡数;
[(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)]÷2=兔数。(例略)