2019-2020学年选修1-1第三章训练卷
导数及其应用（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度(m)与时间(s)间的函数关系式为，则的瞬时速度(m/s)为（ ）
A． B． C． D．
2．设：在上单调递增，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．设函数的导函数为，若的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
8．曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数 B．在时取得极大值
C．在内是增函数 D．在时取得极小值
10．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．曲线在点处的切线的方程为_________．
14．函数在处的切线方程是_________．
15．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为_________．
16．若函数在处取极值，则_________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）求在的值域．
19．（12分）学校举行某项活动，需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为dm2，上、下两边各空dm，左、右两边各空dm．，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
20．（12分）已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
21．（12分）已知函数在与时都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．
22．（12分）已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围．
2019-2020学年选修1-1第三章训练卷
导数及其应用（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】依题意得，，故选B．
2．【答案】A
【解析】依题意，在上恒成立，即在上恒成立，当时，，即，
故，即是的充分不必要条件，故选A．
3．【答案】B
【解析】依题意得．当时，，
因此该函数的单调递减区间是，故选B．
4．【答案】B
【解析】依题意得是奇函数，因此，
故选B．
5．【答案】A
【解析】依题意得，，，，故选A．
6．【答案】A
【解析】依题意，令，得．记，
则，
当或时，；当时，，
所以函数在，上是增函数，在上是减函数，
结合图象与题意得知，直线与函数的图象恰有两个公共点，
因此或，即，故选A．
7．【答案】A
【解析】依题意有，，即，∴，故选A．
8．【答案】D
【解析】依题意得，，因此该切线方程是，
即，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是，，
所以所求三角形的面积等于，故选D．
9．【答案】C
【解析】由图象得，当时，，
因此函数在内是增函数，故选C．
10．【答案】A
【解析】依题意，当时，，是不减的函数，；
当时，，是不增的函数，，
于是有，故选A．
11．【答案】D
【解析】设切点，
对函数求导可得，
∴，
∵，∴，，
又，∴，故选D．
12．【答案】A
【解析】设为曲线上的一点，则过该点的切线方程为，且有，．
代入可得切线方程为．
又由于切线过点，所以或．
令切点为，，切线的斜率分别为，．
所以切线方程分别为，．
这两条切线分别与曲线相切，
故联立方程．
由，
或，
由，故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】依题意得，，因此所求的切线方程是，即．故答案为．
14．【答案】
【解析】∵，故切线斜率，
因此切线方程为．故答案为．
15．【答案】
【解析】由函数在点处的切线为，得，，，即所求切线的斜率为，且，故切线方程为．
故答案为．
16．【答案】
【解析】∵，
又∵为函数的极值点，∴，，即，故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），．
（2），
．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），∵处有极值，∴．
又由图象过点，代入可得．∴．
（2）由（1）知，令，∴，
又，∴．
列表如下：
↘
极小值
↗
∴，．
∴的值域为．
19．【答案】版心高为dm，宽为dm．
【解析】设版心的高为dm，则版心的宽为dm，
此时四周空白面积为，其中，
求导得，
令，解得（舍去）．
当时，；当时，．
因此是函数的极小值点，也是最小值点．
所以当版心高为dm，宽为dm时，能使海报四周空白面积最小．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）．
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
↘
极小值
↗
极大值
↘
因此当时，有极小值，且；
当时，有极大值，且．
（2）∵，，∴，
∵在上，，∴在上单调递增；
又∵在上，∴在上单调递减，
∴在上的最大值是，最小值是．
∴，可得．
∴，∴在该区间上的最小值为．
21．【答案】（1），；（2）或．
【解析】（1），，
由，，
得，．
（2），，
当时，为极大值，
而，则为在上的最大值，
要使在上恒成立，只需要，可得或．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
由图可知函数的图象过点，且，所以，即，
∴．
（2）∵，
∴．
∵函数的定义域为，
且函数在其定义域内为单调递增函数，
则函数在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
则（当且仅当时取等号），∴．
2019-2020学年选修1-1第三章训练卷
导数及其应用（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度(m)与时间(s)间的函数关系式为，则的瞬时速度(m/s)为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得，，故选B．
2．设：在上单调递增，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】依题意，在上恒成立，即在上恒成立，当时，，即，
故，即是的充分不必要条件，故选A．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得．当时，，
因此该函数的单调递减区间是，故选B．
4．若函数满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得是奇函数，因此，
故选B．
5．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意得，，，，故选A．
6．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】依题意，令，得．记，
则，
当或时，；当时，，
所以函数在，上是增函数，在上是减函数，
结合图象与题意得知，直线与函数的图象恰有两个公共点，
因此或，即，故选A．
7．设函数的导函数为，若的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意有，，即，∴，故选A．
8．曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，，因此该切线方程是，
即，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是，，
所以所求三角形的面积等于，故选D．
9．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数 B．在时取得极大值
C．在内是增函数 D．在时取得极小值
【答案】C
【解析】由图象得，当时，，
因此函数在内是增函数，故选C．
10．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，当时，，是不减的函数，；
当时，，是不增的函数，，
于是有，故选A．
11．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点，
对函数求导可得，
∴，
∵，∴，，
又，∴，故选D．
12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】设为曲线上的一点，则过该点的切线方程为，且有，．
代入可得切线方程为．
又由于切线过点，所以或．
令切点为，，切线的斜率分别为，．
所以切线方程分别为，．
这两条切线分别与曲线相切，
故联立方程．
由，
或，
由，故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．曲线在点处的切线的方程为_________．
【答案】
【解析】依题意得，，因此所求的切线方程是，即．故答案为．
14．函数在处的切线方程是_________．
【答案】
【解析】∵，故切线斜率，
因此切线方程为．故答案为．
15．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为_________．
【答案】
【解析】由函数在点处的切线为，得，，，即所求切线的斜率为，且，故切线方程为．
故答案为．
16．若函数在处取极值，则_________．
【答案】
【解析】∵，
又∵为函数的极值点，∴，，即，故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），．
（2），
．
18．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）求在的值域．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），∵处有极值，∴．
又由图象过点，代入可得．∴．
（2）由（1）知，令，∴，
又，∴．
列表如下：
↘
极小值
↗
∴，．
∴的值域为．
19．（12分）学校举行某项活动，需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为dm2，上、下两边各空dm，左、右两边各空dm．，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
【答案】版心高为dm，宽为dm．
【解析】设版心的高为dm，则版心的宽为dm，
此时四周空白面积为，其中，
求导得，
令，解得（舍去）．
当时，；当时，．
因此是函数的极小值点，也是最小值点．
所以当版心高为dm，宽为dm时，能使海报四周空白面积最小．
20．（12分）已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）．
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
↘
极小值
↗
极大值
↘
因此当时，有极小值，且；
当时，有极大值，且．
（2）∵，，∴，
∵在上，，∴在上单调递增；
又∵在上，∴在上单调递减，
∴在上的最大值是，最小值是．
∴，可得．
∴，∴在该区间上的最小值为．
21．（12分）已知函数在与时都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】（1），，
由，，
得，．
（2），，
当时，为极大值，
而，则为在上的最大值，
要使在上恒成立，只需要，可得或．
22．（12分）已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
由图可知函数的图象过点，且，所以，即，
∴．
（2）∵，
∴．
∵函数的定义域为，
且函数在其定义域内为单调递增函数，
则函数在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
则（当且仅当时取等号），∴．
