2019-2020学年选修1-1第一章训练卷
常用逻辑用语（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知命题：，：，给出下列种说法：
①或为真；②或为假；③且为真；④且为假；⑤非为真；
⑥非为假．
其中正确说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知四边形的对角线为，，则“四边形为菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．，使函数是偶函数
B．，使函数是奇函数
C．，函数都是偶函数
D．，函数都是奇函数
6．已知命题：“若，则”的逆否命题为“若，则”，命题：“”的充要条件为“”，则下列复合命题中假命题是（ ）
A． B． C． D．
7．命题：对于向量，若，则与的夹角为锐角；命题：若函数在和上都是减函数，则在上是减函数．
则（ ）
A．“或”是真命题B．“且”是假命题
C．是假命题D．是假命题
8．已知命题：若，则或；命题：若方程有两个正根，则，那么（ ）
A．为假命题 B．为假命题
C．为真命题 D．为真命题
9．若不等式成立的一个充分条件是，则实数的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若实数，满足，，且，则称与互补．
记，那么“”是“与互补”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知命题：的图象关于点对称；命题：若，则．则下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知：，；：，
．若不正确，正确，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知，，，命题“若，则”的否命题是 ．
14．存在实数，，使得，用符号“”或“”表示其否定为 ．
15．在平面直角坐标系中，点在第四象限的充要条件是 ．
16．函数的定义域为，若，且时，总有，
则称为单函数．例如：函数是单函数．给出下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中真命题的序号是 ．(将所有真命题的序号填在横线上)
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）指出下列各题中，是的什么条件．
（1）：，：；
（2）：四边形的对角线相等，：四边形是平行四边形；
（3）数列是等比数列，：，：数列是递增数列．
18．（12分）命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论．
19．（12分）已知：函数的值域为；
：不等式对一切均成立．
（1）若正确，求实数的取值范围；
（2）若，有且只有一个正确，求实数的取值范围．
20．（12分）（1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线(不垂直于)，是直线在上的投影，若，则”为真；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．
21．（12分）已知：实数满足，其中；：实数满足．
（1）若，且，均正确，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22．（12分）已知数列的前项和且，证明：数列为等比数列的充要条件是．
2019-2020学年选修1-1第一章训练卷
常用逻辑用语（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】A
【解析】易知A是真命题；
由可知，故B是假命题；
令，易知C是假命题；
令，，易知D是假命题．
2．【答案】C
【解析】把全称量词“”改为存在量词“”，并把结论加以否定，故选C．
3．【答案】C
【解析】易知命题是假命题，命题是真命题，故或为真，且为假，非为真，非为假，故正确说法的个数是．
4．【答案】A
【解析】因为“四边形为菱形”?“”，而“”“四边形为菱形”，所以“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件．
5．【答案】A
【解析】当时，函数为偶函数，
故“，使函数是偶函数”是真命题，故选A．
6．【答案】B
【解析】本题主要考查四种命题、充分条件与必要条件以及命题真假的判断．命题是真命题；
当，时，成立，但无意义，
所以命题是假命题，则是假命题，是真命题，因此B正确．
7．【答案】B
【解析】当向量共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但数量积为正，所以命题是假命题；
在两个区间上分别单调递减的函数，在其并集上不一定是减函数，如，所以命题也是假命题．
当和都是假命题时，“且”是假命题．故选B．
8．【答案】C
【解析】命题：若，则或的逆否命题为若且，
则，故是真命题；
命题：若方程有两个正根，需满足，所以，
是真命题，所以为真命题．
故选C．
9．【答案】A
【解析】由，，
由题意可得到，，解得，故选A．
10．【答案】C
【解析】若，则，两边平方整理，得，且，，所以与互补；
若与互补，则，，且，所以，此时有
，
所以“”是“与互补”的充要条件．
11．【答案】D
【解析】当时，，所以点是函数的图象的对称中心，故命题为真命题，
当时，成立，而，均无意义，所以命题为假命题，
所以命题为真命题，
故选D．
12．【答案】B
【解析】若正确，则，即，由不正确，知．
由正确知，即．
故，解得．故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】若，则
【解析】命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题．
14．【答案】，，
【解析】由题意，命题的否定为：，，．
15．【答案】或
【解析】点在第四象限或．
16．【答案】②③④
【解析】对于①，若，则，不符合题意；易知②是真命题；
由单函数的定义可知命题③④均是真命题．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）必要不充分条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充要条件．
【解析】（1）是的必要不充分条件．
这是因为：若，则或，
即，而由可以推出．
（2）是的既不充分又不必要条件．
这是因为：四边形的对角线相等四边形为平行四边形；
反之，四边形是平行四边形四边形的对角线相等．
（3）是的充要条件．
这是因为：设等比数列的公比为，
若，则，
当时，可得，此时数列是递增数列；
当时，可得，此时数列是递增数列．
反之，若数列是递增数列，则．
18．【答案】见解析．
【解析】方法一∵，∴，∴方程有实根，
故原命题“若，则有实根”是真命题．
又原命题与它的逆否命题同真同假，
故命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题．
19．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）当时，符合题意；
当时，若正确，则，得，即．
所以实数的取值范围是．
（2）若正确，令，，，
当时，，所以．
由，有且只有一个正确，
可知，中一个正确，另一个不正确．
若正确不正确，则，得；
若不正确正确，则，得．
综上可知，实数的取值范围为或．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．
【解析】如图，
记，为直线上异于点的任意一点，
过作平面，垂足为，则．
∵平面，平面，∴直线，
又，平面，，∴平面，
又平面，∴．
（2）逆命题为：是平面内的一条直线，
是外的一条直线(不垂直于)，
是直线在上的投影，若，则．
逆命题为真命题．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，，得．
当时，，即正确时，实数的取值范围是．
由，得，即正确时，实数的取值范围是．
所以实数的取值范围是．
（2）是的充分不必要条件，即，且不能推出．
所以或或，
则，且，即．
所以实数的取值范围是．
22．【答案】证明见解析．
【解析】①充分性：当时，；
，
当时，．
故对于任意，都有．
∵且，∴(常数)，
∴当时，数列是等比数列．
②必要性：当时，．
∵且，∴．
∵数列是等比数列，
∴，，，
则，解得．
∴当数列是等比数列时，．
由①②知，数列为等比数列的充要条件是．
2019-2020学年选修1-1第一章训练卷
常用逻辑用语（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】易知A是真命题；
由可知，故B是假命题；
令，易知C是假命题；
令，，易知D是假命题．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】把全称量词“”改为存在量词“”，并把结论加以否定，故选C．
3．已知命题：，：，给出下列种说法：
①或为真；②或为假；③且为真；④且为假；⑤非为真；
⑥非为假．
其中正确说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知命题是假命题，命题是真命题，故或为真，且为假，非为真，非为假，故正确说法的个数是．
已知四边形的对角线为，，则“四边形为菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为“四边形为菱形”?“”，而“”“四边形为菱形”，所以“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．，使函数是偶函数
B．，使函数是奇函数
C．，函数都是偶函数
D．，函数都是奇函数
【答案】A
【解析】当时，函数为偶函数，
故“，使函数是偶函数”是真命题，故选A．
6．已知命题：“若，则”的逆否命题为“若，则”，命题：“”的充要条件为“”，则下列复合命题中假命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题主要考查四种命题、充分条件与必要条件以及命题真假的判断．命题是真命题；
当，时，成立，但无意义，
所以命题是假命题，则是假命题，是真命题，因此B正确．
7．命题：对于向量，若，则与的夹角为锐角；命题：若函数在和上都是减函数，则在上是减函数．
则（ ）
A．“或”是真命题B．“且”是假命题
C．是假命题D．是假命题
【答案】B
【解析】当向量共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但数量积为正，所以命题是假命题；
在两个区间上分别单调递减的函数，在其并集上不一定是减函数，如，所以命题也是假命题．
当和都是假命题时，“且”是假命题．故选B．
8．已知命题：若，则或；命题：若方程有两个正根，则，那么（ ）
A．为假命题 B．为假命题
C．为真命题 D．为真命题
【答案】C
【解析】命题：若，则或的逆否命题为若且，
则，故是真命题；
命题：若方程有两个正根，需满足，所以，
是真命题，所以为真命题．
故选C．
9．若不等式成立的一个充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，
由题意可得到，，解得，故选A．
10．若实数，满足，，且，则称与互补．
记，那么“”是“与互补”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，两边平方整理，得，且，，所以与互补；
若与互补，则，，且，所以，此时有
，
所以“”是“与互补”的充要条件．
11．已知命题：的图象关于点对称；命题：若，则．则下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，所以点是函数的图象的对称中心，故命题为真命题，
当时，成立，而，均无意义，所以命题为假命题，
所以命题为真命题，
故选D．
12．已知：，；：，
．若不正确，正确，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若正确，则，即，由不正确，知．
由正确知，即．
故，解得．故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知，，，命题“若，则”的否命题是 ．
【答案】若，则
【解析】命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题．
14．存在实数，，使得，用符号“”或“”表示其否定为 ．
【答案】，，
【解析】由题意，命题的否定为：，，．
15．在平面直角坐标系中，点在第四象限的充要条件是 ．
【答案】或
【解析】点在第四象限或．
16．函数的定义域为，若，且时，总有，则称为单函数．例如：函数是单函数．给出下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中真命题的序号是 ．(将所有真命题的序号填在横线上)
【答案】②③④
【解析】对于①，若，则，不符合题意；易知②是真命题；
由单函数的定义可知命题③④均是真命题．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）指出下列各题中，是的什么条件．
（1）：，：；
（2）：四边形的对角线相等，：四边形是平行四边形；
（3）数列是等比数列，：，：数列是递增数列．
【答案】（1）必要不充分条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充要条件．
【解析】（1）是的必要不充分条件．
这是因为：若，则或，
即，而由可以推出．
（2）是的既不充分又不必要条件．
这是因为：四边形的对角线相等四边形为平行四边形；
反之，四边形是平行四边形四边形的对角线相等．
（3）是的充要条件．
这是因为：设等比数列的公比为，
若，则，
当时，可得，此时数列是递增数列；
当时，可得，此时数列是递增数列．
反之，若数列是递增数列，则．
18．（12分）命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论．
【答案】见解析．
【解析】方法一∵，∴，∴方程有实根，
故原命题“若，则有实根”是真命题．
又原命题与它的逆否命题同真同假，
故命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题．
19．（12分）已知：函数的值域为；
：不等式对一切均成立．
（1）若正确，求实数的取值范围；
（2）若，有且只有一个正确，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）当时，符合题意；
当时，若正确，则，得，即．
所以实数的取值范围是．
（2）若正确，令，，，
当时，，所以．
由，有且只有一个正确，
可知，中一个正确，另一个不正确．
若正确不正确，则，得；
若不正确正确，则，得．
综上可知，实数的取值范围为或．
20．（12分）（1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线(不垂直于)，是直线在上的投影，若，则”为真；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．
【解析】如图，
记，为直线上异于点的任意一点，
过作平面，垂足为，则．
∵平面，平面，∴直线，
又，平面，，∴平面，
又平面，∴．
（2）逆命题为：是平面内的一条直线，
是外的一条直线(不垂直于)，
是直线在上的投影，若，则．
逆命题为真命题．
21．（12分）已知：实数满足，其中；：实数满足．
（1）若，且，均正确，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，，得．
当时，，即正确时，实数的取值范围是．
由，得，即正确时，实数的取值范围是．
所以实数的取值范围是．
（2）是的充分不必要条件，即，且不能推出．
所以或或，
则，且，即．
所以实数的取值范围是．
22．（12分）已知数列的前项和且，证明：数列为等比数列的充要条件是．
【答案】证明见解析．
【解析】①充分性：当时，；
，
当时，．
故对于任意，都有．
∵且，∴(常数)，
∴当时，数列是等比数列．
②必要性：当时，．
∵且，∴．
∵数列是等比数列，
∴，，，
则，解得．
∴当数列是等比数列时，．
由①②知，数列为等比数列的充要条件是．
