2019-2020学年选修1-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线上一点到焦点的距离为，则到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的左右焦点分别是，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）
A．或 B． C． D．
5．已知一动圆与圆外切，而与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
6．设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中，)，如图所示，其中点，，是相应椭圆的焦点．若是边长为的等边三角形，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，分别在轴和轴上运动，为原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为，灯深，则抛物线的标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点(在轴的上方)，为的准线，点在上且，则到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________．
14．设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的面积为__________．
15．已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于，两点，连接，．若，，，则的离心率__________．
16．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点．若，则该双曲线的渐近线方程为__________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小，双曲线离心率与椭圆离心率之比为，求椭圆和双曲线的方程．
18．（12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
19．（12分）如图所示，，分别为椭圆的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．
20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，是焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别交抛物线于点，．
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）证明：若直线，的斜率都存在，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
21．（12分）已知双曲线的离心率为，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与该双曲线交于不同的两点，，且，两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围．
22．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆
的一个焦点．与的公共弦的长为．过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向．
（1）求的方程；
（2）若，求直线的斜率．
2019-2020学年选修1-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
【解析】由题意得双曲线的离心率，即．
∵，∴，∴，∴．
2．【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，
由到焦点的距离为知，到准线的距离为，
故的横坐标，，．
3．【答案】A
【解析】依题意得，且，
又，∴，
由勾股定理得，解得．
4．【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，故，．
又是双曲线上一点，故，而，
则或，
又，所以在双曲线右支上，
所以，故．
5．【答案】A
【解析】由题意，知圆的标准方程为，则圆与圆相离，
设动圆的半径为．
∵圆与圆外切而与圆内切，∴，且，．
又，∴，
即点在以，为焦点的双曲线的右支上．故选A．
6．【答案】A
【解析】设，，．
若曲线为椭圆，则，，∴；
若曲线为双曲线，则，，∴．
7．【答案】A
【解析】∵，，∴，
∴，得．
8．【答案】D
【解析】不妨设点在第一象限，由题意可知，点的坐标为，
所以，
又，所以，，
故所求双曲线的方程为．故选D．
9．【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，
所以，即．
双曲线的渐近线方程为，代入椭圆方程得，
即，所以，，，，
则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆的交点坐标为，
所以四边形的面积为，所以，
所以椭圆方程为．
10．【答案】A
【解析】设，，，由已知得，即，，所以，．
因为，所以，即，
化简整理得动点的轨迹方程是．
11．【答案】C
【解析】如果设抛物线的方程为，则抛物线过点，从而有，即，所以所求抛物线方程为．
虽然选项中没有，但C中的符合题意．
12．【答案】C
【解析】法一：由题意，得，则直线的方程是．
由，得或．
由在轴的上方，得，
由，得．
又等于直线的倾斜角，即，
因此是边长为的等边三角形，
所以点到直线的距离为．
法二：依题意，得直线的倾斜角为，
则．
又等于直线的倾斜角，即，
因此是边长为的等边三角形，
所以点到直线的距离为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】双曲线焦点，顶点，故椭圆的焦点为，顶点，
所以，故所求椭圆方程为．
14．【答案】
【解析】由题意知，设点坐标为．
由，得．
则．
15．【答案】
【解析】设椭圆的右焦点为，在中，由余弦定理可解得，
所以为直角三角形，
又因为斜边的中点为，所以，连接，
因为，关于原点对称，所以，所以，，
所以离心率．
16．【答案】
【解析】设，，由抛物线的定义可知，，，
由，得．
联立，消去，得，
所以，所以，即，故，
所以双曲线的渐近线方程为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】见解析．
【解析】①焦点在轴上，设椭圆方程为，且．
设双曲线为，．
因为，所以，解得，．
因为椭圆和双曲线的半焦距为，所以，．
所以椭圆方程为，双曲线方程为．
②焦点在轴上，椭圆方程为，双曲线方程为．
18．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）直线的方程是，与联立，消去得，所以．
由抛物线定义得：，所以，从而抛物线方程是．
（2）由，，可简化为．
从而，，，，
从而，．
设
，
又，即，
即，解得或．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题设知，，即，
将点代入椭圆方程得，解得，
故椭圆方程为．
（2）由（1）知，，
所以，所以所在直线方程为，
由，得，
设，，则，，
所以，
所以．
20．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，设抛物线方程为，
由准线，得，所以抛物线方程为．
由题意，设直线的方程为，代入．
消去，整理得，从而．
（2）设，，
则．
设直线的方程为，代入，消去，
整理得，所以，同理．
故，为定值．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意可得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2），消去得，
由已知，且．①
设，，的中点，
则，，
因为，所以，
整理得．②
联立①②得，所以或，
又，所以，
因此或．
故的取值范围为．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由知其焦点的坐标为，
因为也是椭圆的一个焦点，所以．①
又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，
由此可知与的公共点的坐标为，
所以．②
联立①②得，，故的方程为．
（2）如图，设，，，，
因与同向，且，
所以，从而，
即，
于是．③
设直线的斜率为，则的方程为，
由，得，而，是这个方程的两根，
所以，，④
由，得，
而，是这个方程的两根，
所以，，⑤
将④、⑤代入③，得．
即，
所以，解得，
即直线的斜率为．
2019-2020学年选修1-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得双曲线的离心率，即．
∵，∴，∴，∴．
2．抛物线上一点到焦点的距离为，则到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，
由到焦点的距离为知，到准线的距离为，
故的横坐标，，．
3．椭圆的左右焦点分别是，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意得，且，
又，∴，
由勾股定理得，解得．
4．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，故，．
又是双曲线上一点，故，而，
则或，
又，所以在双曲线右支上，
所以，故．
5．已知一动圆与圆外切，而与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
【答案】A
【解析】由题意，知圆的标准方程为，则圆与圆相离，
设动圆的半径为．
∵圆与圆外切而与圆内切，∴，且，．
又，∴，
即点在以，为焦点的双曲线的右支上．故选A．
6．设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】设，，．
若曲线为椭圆，则，，∴；
若曲线为双曲线，则，，∴．
7．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中，)，如图所示，其中点，，是相应椭圆的焦点．若是边长为的等边三角形，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∴，得．
8．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不妨设点在第一象限，由题意可知，点的坐标为，
所以，
又，所以，，
故所求双曲线的方程为．故选D．
9．已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，
所以，即．
双曲线的渐近线方程为，代入椭圆方程得，
即，所以，，，，
则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆的交点坐标为，
所以四边形的面积为，所以，
所以椭圆方程为．
10．已知，，分别在轴和轴上运动，为原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，，由已知得，即，，所以，．
因为，所以，即，
化简整理得动点的轨迹方程是．
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为，灯深，则抛物线的标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如果设抛物线的方程为，则抛物线过点，从而有，即，所以所求抛物线方程为．
虽然选项中没有，但C中的符合题意．
12．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点(在轴的上方)，为的准线，点在上且，则到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：由题意，得，则直线的方程是．
由，得或．
由在轴的上方，得，
由，得．
又等于直线的倾斜角，即，
因此是边长为的等边三角形，
所以点到直线的距离为．
法二：依题意，得直线的倾斜角为，
则．
又等于直线的倾斜角，即，
因此是边长为的等边三角形，
所以点到直线的距离为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________．
【答案】
【解析】双曲线焦点，顶点，故椭圆的焦点为，顶点，
所以，故所求椭圆方程为．
14．设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的面积为__________．
【答案】
【解析】由题意知，设点坐标为．
由，得．
则．
15．已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于，两点，连接，．若，，，则的离心率__________．
【答案】
【解析】设椭圆的右焦点为，在中，由余弦定理可解得，
所以为直角三角形，
又因为斜边的中点为，所以，连接，
因为，关于原点对称，所以，所以，，
所以离心率．
16．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点．若，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】设，，由抛物线的定义可知，，，
由，得．
联立，消去，得，
所以，所以，即，故，
所以双曲线的渐近线方程为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小，双曲线离心率与椭圆离心率之比为，求椭圆和双曲线的方程．
【答案】见解析．
【解析】①焦点在轴上，设椭圆方程为，且．
设双曲线为，．
因为，所以，解得，．
因为椭圆和双曲线的半焦距为，所以，．
所以椭圆方程为，双曲线方程为．
②焦点在轴上，椭圆方程为，双曲线方程为．
18．（12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）直线的方程是，与联立，消去得，所以．
由抛物线定义得：，所以，从而抛物线方程是．
（2）由，，可简化为．
从而，，，，
从而，．
设
，
又，即，
即，解得或．
19．（12分）如图所示，，分别为椭圆的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题设知，，即，
将点代入椭圆方程得，解得，
故椭圆方程为．
（2）由（1）知，，
所以，所以所在直线方程为，
由，得，
设，，则，，
所以，
所以．
20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，是焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别交抛物线于点，．
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）证明：若直线，的斜率都存在，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，设抛物线方程为，
由准线，得，所以抛物线方程为．
由题意，设直线的方程为，代入．
消去，整理得，从而．
（2）设，，
则．
设直线的方程为，代入，消去，
整理得，所以，同理．
故，为定值．
21．（12分）已知双曲线的离心率为，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与该双曲线交于不同的两点，，且，两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意可得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2），消去得，
由已知，且．①
设，，的中点，
则，，
因为，所以，
整理得．②
联立①②得，所以或，
又，所以，
因此或．
故的取值范围为．
22．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆
的一个焦点．与的公共弦的长为．过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向．
（1）求的方程；
（2）若，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由知其焦点的坐标为，
因为也是椭圆的一个焦点，所以．①
又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，
由此可知与的公共点的坐标为，
所以．②
联立①②得，，故的方程为．
（2）如图，设，，，，
因与同向，且，
所以，从而，
即，
于是．③
设直线的斜率为，则的方程为，
由，得，而，是这个方程的两根，
所以，，④
由，得，
而，是这个方程的两根，
所以，，⑤
将④、⑤代入③，得．
即，
所以，解得，
即直线的斜率为．
