2019-2020学年选修1-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A． B．或
C． D．或
4．已知两定点，，且是与的等差中项，
则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，则被抛物线截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆的半径为，椭圆的左焦点为，若垂直于轴且经过点的直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，，，动圆与直线切于点，过，与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线与抛物线相交于、两点，为的焦点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________．
14．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是__________．
16．抛物线上存在两点关于直线对称，则的范围是__________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．求椭圆的方程．
18．（12分）如图，直线与抛物线相切于点．
（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程．
19．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，且弦中点横坐标为，
求值．
20．（12分）已知椭圆，椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，点，分别在椭圆和椭圆上，，求直线的方程．
21．（12分）设，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
（1）若直线的斜率为，求的离心率；
（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．
22．（12分）设定点，动圆过点且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．
2019-2020学年选修1-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】方程化成标准方程为，所以，．
所以，所以，所以．
2．【答案】D
【解析】方程化成标准方程为，知，故抛物线的焦点坐标为．
3．【答案】B
【解析】由题意知，当时，，，，
所以，解得；
当时，，，，所以，
解得．
4．【答案】D
【解析】依题意知，作图可知点的轨迹为线段．
5．【答案】B
【解析】依题意得，，所以双曲线的右焦点坐标是，一条渐近线方程是，即，
因此焦点到渐近线的距离为，故选B．
6．【答案】B
【解析】抛物线中，，则焦点坐标为，过焦点且倾斜角为的直线方程为，由，得，
则(，为直线与抛物线两个交点的横坐标)．
从而弦长为．
7．【答案】B
【解析】依题意有，即，所以．
又，所以．
两边同除以，得，即有，
解得或(舍去)．
8．【答案】C
【解析】圆的方程可化为，
则由题意得，即，
所以，则圆心的坐标为．
由题意知直线的方程为，
又因为直线与圆相切，所以，所以 ，所以．
9．【答案】A
【解析】设与直线平行的直线方程为，
与抛物线联立方程组得，消去得，，解得，
则抛物线与直线平行的切线是，
问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得．
10．【答案】A
【解析】设圆与直线，分别相切于，，
则，，．
所以．
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线右支(去掉点)，且，，，所以双曲线方程是．
11．【答案】C
【解析】由可知点在以线段为直径的圆上，要使点总在椭圆内部，只需，即，，，即．
因为，所以，即椭圆离心率的取值范围是．
12．【答案】D
【解析】设，，易知，，，．
由，得，所以，①
根据抛物线的定义得，，．
因为，所以，②
由①②得(舍去)，
所以，代入，得．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由双曲线渐近线方程为，
可设该双曲线的标准方程为，已知该双曲线过点，
所以，即，故所求双曲线的标准方程为．
14．【答案】
【解析】设点，点，抛物线，焦点为，准线为，，所以．则与轴垂直，．
15．【答案】
【解析】将代入椭圆的标准方程，得，
所以，故，．
又因为，所以，．
因为，所以，
所以，即，
将代入并化简，得，
所以，所以(负值舍去)．
16．【答案】
【解析】设抛物线上两点，关于直线对称，，中点，则当时，有直线，显然存在点关于它对称．
当时，，
所以，所以的坐标为，
因为在抛物线内，则有，得且，
综上所述，．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】．
【解析】因为椭圆焦点在轴上，
所以设椭圆的方程为，半焦距为．
由题意知为椭圆的短轴的上顶点，所以，
又由，，得，．
所以椭圆的方程为．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，(*)
因为直线与抛物线相切，
所以，解得．
（2）由（1）可知，故方程(*)即为，解得，
代入，得．
故点，因为圆与抛物线的准线相切，
所以圆的半径等于圆心与抛物线的准线的距离，即，
所以圆的方程为．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，短轴长为，离心率为，
可得，解得，，所以椭圆方程为．
（2）由，得，
，得，
设，，则，∴，得，符合题意．
20．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由已知可设椭圆的方程为，其离心率为，
故，则，
故椭圆的方程为．
（2）设，两点的坐标分别为，，
由及（1）知，，，三点共线且点，不在轴上，
因此可设直线的方程为．
将代入中，得，所以，
将代入中，得，所以，
由得，
即，解得，
故直线的方程为或．
21．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）由题设知，，
因为直线的斜率为，所以，得，
将代入，解得，（舍去）．
故的离心率为．
（2）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即．①
由得．
设点，由题意知，
则，即，
代入的方程，得．②
将①及代入②得．
解得，，故，．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意知，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，其方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为，设为，则的方程为．
由，得．
设，，则有，．
因为，所以的斜率为．
设，，则同理可得，．
故
．
当且仅当，即时，取得最小值．
2019-2020学年选修1-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程化成标准方程为，所以，．
所以，所以，所以．
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程化成标准方程为，知，故抛物线的焦点坐标为．
3．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】由题意知，当时，，，，
所以，解得；
当时，，，，所以，
解得．
4．已知两定点，，且是与的等差中项，
则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
【答案】D
【解析】依题意知，作图可知点的轨迹为线段．
5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得，，所以双曲线的右焦点坐标是，一条渐近线方程是，即，
因此焦点到渐近线的距离为，故选B．
6．过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，则被抛物线截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线中，，则焦点坐标为，过焦点且倾斜角为的直线方程为，由，得，
则(，为直线与抛物线两个交点的横坐标)．
从而弦长为．
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意有，即，所以．
又，所以．
两边同除以，得，即有，
解得或(舍去)．
8．已知圆的半径为，椭圆的左焦点为，若垂直于轴且经过点的直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的方程可化为，
则由题意得，即，
所以，则圆心的坐标为．
由题意知直线的方程为，
又因为直线与圆相切，所以，所以 ，所以．
9．抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设与直线平行的直线方程为，
与抛物线联立方程组得，消去得，，解得，
则抛物线与直线平行的切线是，
问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得．
10．已知点，，，动圆与直线切于点，过，与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆与直线，分别相切于，，
则，，．
所以．
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线右支(去掉点)，且，，，所以双曲线方程是．
11．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知点在以线段为直径的圆上，要使点总在椭圆内部，只需，即，，，即．
因为，所以，即椭圆离心率的取值范围是．
12．已知直线与抛物线相交于、两点，为的焦点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，易知，，，．
由，得，所以，①
根据抛物线的定义得，，．
因为，所以，②
由①②得(舍去)，
所以，代入，得．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】由双曲线渐近线方程为，
可设该双曲线的标准方程为，已知该双曲线过点，
所以，即，故所求双曲线的标准方程为．
14．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则__________．
【答案】
【解析】设点，点，抛物线，焦点为，准线为，，所以．则与轴垂直，．
15．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是__________．
【答案】
【解析】将代入椭圆的标准方程，得，
所以，故，．
又因为，所以，．
因为，所以，
所以，即，
将代入并化简，得，
所以，所以(负值舍去)．
16．抛物线上存在两点关于直线对称，则的范围是__________．
【答案】
【解析】设抛物线上两点，关于直线对称，，中点，则当时，有直线，显然存在点关于它对称．
当时，，
所以，所以的坐标为，
因为在抛物线内，则有，得且，
综上所述，．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．求椭圆的方程．
【答案】．
【解析】因为椭圆焦点在轴上，
所以设椭圆的方程为，半焦距为．
由题意知为椭圆的短轴的上顶点，所以，
又由，，得，．
所以椭圆的方程为．
18．（12分）如图，直线与抛物线相切于点．
（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，(*)
因为直线与抛物线相切，
所以，解得．
（2）由（1）可知，故方程(*)即为，解得，
代入，得．
故点，因为圆与抛物线的准线相切，
所以圆的半径等于圆心与抛物线的准线的距离，即，
所以圆的方程为．
19．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，且弦中点横坐标为，
求值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，短轴长为，离心率为，
可得，解得，，所以椭圆方程为．
（2）由，得，
，得，
设，，则，∴，得，符合题意．
20．（12分）已知椭圆，椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，点，分别在椭圆和椭圆上，，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由已知可设椭圆的方程为，其离心率为，
故，则，
故椭圆的方程为．
（2）设，两点的坐标分别为，，
由及（1）知，，，三点共线且点，不在轴上，
因此可设直线的方程为．
将代入中，得，
所以，
将代入中，得，
所以，
由得，
即，解得，
故直线的方程为或．
21．（12分）设，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
（1）若直线的斜率为，求的离心率；
（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）由题设知，，
因为直线的斜率为，所以，得，
将代入，解得，（舍去）．
故的离心率为．
（2）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即．①
由得．
设点，由题意知，
则，即，
代入的方程，得．②
将①及代入②得．
解得，，故，．
22．（12分）设定点，动圆过点且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意知，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，其方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为，设为，则的方程为．
由，得．
设，，则有，．
因为，所以的斜率为．
设，，
则同理可得，．
故
．
当且仅当，即时，取得最小值．
