2019-2020学年选修1-1第三章训练卷
导数及其应用（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数，当自变量由变到时，函数的改变量为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知曲线在点处切线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知的图象如图，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
4．设为实数，函数，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的一个极小值点为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若在处有极值，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
10．函数（ ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．最大值为，最小值为 D．无最值
11．已知函数，则方程在上的根的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．设，分别是定义域上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．设直线是曲线的一条切线，则实数的值为______．
14．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________．
15．已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为_________．
16．已知是自然对数的底数，如果函数在上有极值，那么实数的取值范围为_________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知曲线，直线，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标．
18．（12分）已知，函数．
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若的极大值时，求的值．
19．（12分）设且，函数．
（1）当时，求曲线在处切线的斜率；
（2）求函数的极值点．
20．（12分）已知函数，其中．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求在上的最小值．
21．（12分）已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且，又直线是函数的图象的一条切线．
（1）求函数的解析式及的值；
（2）若对于任意恒成立，求的取值范围．
22．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）证明：当时，；
（3）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
2019-2020学年选修1-1第三章训练卷
导数及其应用（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】当自变量从变到时，
函数值的改变量，故选D．
2．【答案】D
【解析】因为，故由题意得，解得，故选D．
3．【答案】B
【解析】根据导数的定义，故选B．
4．【答案】A
【解析】∵为偶函数，则，故，
∴，
∵，∴在原点处的切线方程为，故选A．
5．【答案】D
【解析】，故选D．
6．【答案】D
【解析】由题可知，从而有，
故选D．
7．【答案】D
【解析】，当时，，即函数在此处无极值；
当时，，但函数在此处有极大值；
同理得在处有极大值，故选D．
8．【答案】C
【解析】，令，且，∴．
∵，，，∴，故选C．
9．【答案】C
【解析】由条件可知，
因为函数在处有极值，所以，即得，
又，即，
所以或，
当时代入函数验证可知函数单调递增，无极值，不合题意，故选C．
10．【答案】C
【解析】．
令，得，，且，，
又∵时，，当时，，然后画出草图可知答案选C．
11．【答案】A
【解析】．
当时，．∴在上是减函数．
又，∴．∴在上无零点，故选A．
12．【答案】A
【解析】令，则，依题意在上是减函数，
结合奇偶性条件和可知图象过原点，过且在上也是递减的，画图即可确定的解集为，故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】∵，∴切点的横坐标，切点坐标为，由点在切线上可得．故答案为．
14．【答案】
【解析】，
∴所求切线的方程为，
∴切线在轴上，轴上的截距分别是与．
∴．故答案为．
15．【答案】或
【解析】，
∵函数既有极大值又有极小值，∴，即，解得或．
故答案为或．
16．【答案】
【解析】由
且在上有极值，
∴在上有不等根，
∴，解得或，
故实数的取值范围为．∴答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】直线的方程为，切点为．
【解析】∵直线过原点，则．
又，∴．
∵，∴．
∴，整理得．
∵，∴，此时，．
由此得直线的方程为，切点为．
18．【答案】（1）和；（2）．
【解析】（1）当时，，则．
由，得，即或，
∴函数的增区间为和．
（2）．
由得或，
∵，∴．
当变化时，，的变化情况如下：
↗
极大
↘
极小
↗
∴时取极大值，
即，∴．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意可知，
当时，，，
∴曲线在处切线的斜率为．
（2）．
由得或．
①若，则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
此时是的极大值点，是的极小值点．
②若，则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
此时是的极大值点，是的极小值点．
综上，当时，是的极大值点，是的极小值点；
当时，是的极大值点，是的极小值点．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）的定义域为，且．
当时，，，
∴曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）由，可知判别式为．
令，得或．
和的情况如下：
↗
↘
↗
故的单调增区间为，；
单调减区间为．
①当时，，此时在上单调递增，
∴在上的最小值是．
②当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值是．
③当时，，此时在上单调递减，∴在上的最小值是．
综上所述，当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是．
21．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，可知．
由在点处的切线方程为可知，
，①
，②
又由可知，，③
由①②③，解得，，，
即的解析式为．
由题意与相切知函数在原点或处切线斜率为．
∵，∴或，得．
综上可得的值为．
（2）若对任意恒成立，
即恒成立，
则恒成立．
设，
令，，
再令，，解得，
∴当时，，∴在上单调递增，
∴，即，∴在上单调递增，
∴，
∴当时，恒成立，且，
因此，即可，则．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1），．
由，得，解得．
故的单调递增区间是．
（2）令，，则．
当时，，∴在上单调递减，
故当时，，
即当时，．
（3）由（2）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有，则，
从而不存在满足题意；
当时，令，，
则有．
由，得．
解得，．
当时，，故在内单调递增．
从而当时，，即，
综上，的取值范围是．
2019-2020学年选修1-1第三章训练卷
导数及其应用（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数，当自变量由变到时，函数的改变量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当自变量从变到时，
函数值的改变量，故选D．
2．已知曲线在点处切线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，故由题意得，解得，故选D．
3．已知的图象如图，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】B
【解析】根据导数的定义，故选B．
4．设为实数，函数，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵为偶函数，则，故，
∴，
∵，∴在原点处的切线方程为，故选A．
5．已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故选D．
6．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，从而有，
故选D．
7．函数的一个极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，当时，，即函数在此处无极值；
当时，，但函数在此处有极大值；
同理得在处有极大值，故选D．
8．函数在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，令，且，∴．
∵，，，∴，故选C．
9．已知函数，若在处有极值，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件可知，
因为函数在处有极值，所以，即得，
又，即，
所以或，
当时代入函数验证可知函数单调递增，无极值，不合题意，故选C．
10．函数（ ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．最大值为，最小值为 D．无最值
【答案】C
【解析】．
令，得，，且，，
又∵时，，当时，，然后画出草图可知答案选C．
11．已知函数，则方程在上的根的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】．
当时，．∴在上是减函数．
又，∴．∴在上无零点，故选A．
12．设，分别是定义域上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则，依题意在上是减函数，
结合奇偶性条件和可知图象过原点，过且在上也是递减的，画图即可确定的解集为，故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．设直线是曲线的一条切线，则实数的值为______．
【答案】
【解析】∵，∴切点的横坐标，切点坐标为，由点在切线上可得．故答案为．
14．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________．
【答案】
【解析】，
∴所求切线的方程为，
∴切线在轴上，轴上的截距分别是与．
∴．故答案为．
15．已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为_________．
【答案】或
【解析】，
∵函数既有极大值又有极小值，∴，即，解得或．
故答案为或．
16．已知是自然对数的底数，如果函数在上有极值，那么实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由
且在上有极值，
∴在上有不等根，
∴，解得或，
故实数的取值范围为．∴答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知曲线，直线，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】直线的方程为，切点为．
【解析】∵直线过原点，则．
又，∴．
∵，∴．
∴，整理得．
∵，∴，此时，．
由此得直线的方程为，切点为．
18．（12分）已知，函数．
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若的极大值时，求的值．
【答案】（1）和；（2）．
【解析】（1）当时，，则．
由，得，即或，
∴函数的增区间为和．
（2）．
由得或，
∵，∴．
当变化时，，的变化情况如下：
↗
极大
↘
极小
↗
∴时取极大值，
即，∴．
19．（12分）设且，函数．
（1）当时，求曲线在处切线的斜率；
（2）求函数的极值点．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意可知，
当时，，，
∴曲线在处切线的斜率为．
（2）．
由得或．
①若，则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
此时是的极大值点，是的极小值点．
②若，则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
此时是的极大值点，是的极小值点．
综上，当时，是的极大值点，是的极小值点；
当时，是的极大值点，是的极小值点．
20．（12分）已知函数，其中．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）的定义域为，且．
当时，，，
∴曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）由，可知判别式为．
令，得或．
和的情况如下：
↗
↘
↗
故的单调增区间为，；
单调减区间为．
①当时，，此时在上单调递增，
∴在上的最小值是．
②当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值是．
③当时，，此时在上单调递减，∴在上的最小值是．
综上所述，当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是．
21．（12分）已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且，又直线是函数的图象的一条切线．
（1）求函数的解析式及的值；
（2）若对于任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，可知．
由在点处的切线方程为可知，
，①
，②
又由可知，，③
由①②③，解得，，，
即的解析式为．
由题意与相切知函数在原点或处切线斜率为．
∵，∴或，得．
综上可得的值为．
（2）若对任意恒成立，
即恒成立，
则恒成立．
设，
令，，
再令，，解得，
∴当时，，∴在上单调递增，
∴，即，∴在上单调递增，
∴，
∴当时，恒成立，且，
因此，即可，则．
22．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）证明：当时，；
（3）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1），．
由，得，解得．
故的单调递增区间是．
（2）令，，则．
当时，，∴在上单调递减，
故当时，，
即当时，．
（3）由（2）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有，则，
从而不存在满足题意；
当时，令，，
则有．
由，得．
解得，．
当时，，故在内单调递增．
从而当时，，即，
综上，的取值范围是．
