2019-2020学年选修2-1第三章训练卷
空间向量与立体几何（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（ ）
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，点是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．1
5．己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的为（ ）
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝CD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若则；③若，则；④若，则，其中正确命题的序号是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
8．已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．与所成的角为45° D．平面
10．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
12．在三棱柱中，平面，，，，E，F分别是，上的点，则三棱锥的体积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．
14．如图所示，是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则的面积是________．
15．已知向量，，若，则______，若，则__________．
16．如图，在正方体中，有以下结论：
①平面；
②平面；
③；
④异面直线与所成的角为．
则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．
求证：（1）平面；
（2）．
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19．（12分）在三棱柱中，侧棱底面，分别是、、的中点，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22．（12分）如图，在正三棱柱中，点是的中点，是上一点，．
（1）求证：平面；
（2）若，当为何值时，平面．
2019-2020学年选修2-1第三章训练卷
空间向量与立体几何（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】当时与相交，当时与异面，故答案为D．
2．【答案】C
【解析】点关于平面对称的点的坐标为．故选C．
3．【答案】C
【解析】对于A选项，若，，则与平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；
对于B选项，若，且，，，根据直线与平面平行的判定定理知，，，但与不平行；
对于C选项，若，，在平面内可找到两条相交直线、使得，，于是可得出，，根据直线与平面垂直的判定定理可得；
对于D选项，若，在平面内可找到一条直线与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知，只有当时，才与平面垂直．
故选C．
4．【答案】C
【解析】如图，
过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，
故为直线与底面所成角，而，，
故，故选C．
5．【答案】B
【解析】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，
所以几何体的体积为，故选B．
6．【答案】C
【解析】对于选项A，由PQ∥AC，QM∥BD，PQ∥QM，MN⊥MQ，可得AC⊥BD，故A正确；
对于选项B，由PQ∥AC，可得AC∥截面PQMN，故B正确；
对于选项C，由题得AC=2MN，BD=2MQ，
因为MN=MQ，所以AC=BD，不能证明AC=CD，故C不正确；
对于选项D，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角为45°，
故D正确．
故选C．
7．【答案】B
【解析】①若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，不正确；
②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；正确；
③若，则；正确；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确．
综上可知：②和③正确．故选B．
8．【答案】B
【解析】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B．
9．【答案】B
【解析】对于C，，分别为，的中点，，
又，与所成的角为，故不正确；
对于A，，，不成立，故A不正确；
对于B，是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
垂直所在的平面，所在的平面，，
又，平面，
又平面，平面平面，故B正确；
对于D，是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故D不正确．
故选B．
10．【答案】C
【解析】连接、，如下图：
在正方体中，且；
四边形为平行四边形，则；
（或补角）就是异面直线与所成角；
又在正方体中，，为等边三角形，
，即异面直线与所成角的大小为，
故答案选C．
11．【答案】A
【解析】如图，取的中点，连接，，．
因为为棱的中点，为的中点，所以，所以，则是异面直线与所成角的平面角．
设，在中，，，
则，即．
12．【答案】B
【解析】由题意可得，的面积为，
因为，，平面ABC，
所以点C到平面的距离为，即点F到平面的距离为4，则三棱锥的体积为．
故三棱锥的体积为12．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由题得B(4，6，0)，，
因为M点是中点，所以点M坐标为．
故答案为．
14．【答案】2
【解析】由图可知：三角形的面积为，
所以的直观图的面积为，由直观图与原图形面积之比为，可知的面积是2．
15．【答案】2，3
【解析】因为， ，且，
所以，解得；
又因为，所以，解得．
16．【答案】①③
【解析】①：平面，平面，
平面，故本结论是正确的；
②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；
③：平面，平面，，
在正方形中，，平面，，
所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；
④：因为，所以异面直线与所成的角为，
在正方形中，，故本结论是错误的，
因此正确结论的序号是①③．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）因为在中，点，分别是，的中点，
所以，
又因平面，平面，
从而平面．
（2）因为点是的中点，且，所以，
又因，平面，平面，
，故平面，
因为平面，所以．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，取中点为，连结，
则，
所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，
所以平面，平面，
所以平面．
（2）连结，交于点，连结，
因为为的中点，所以为的中位线，
又因为平面，所以平面，
即为三棱锥的高．
在菱形中可求得，
在中，，所以，
所以，
所以．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，，所以，
又侧棱底面，所以，，
所以平面，而平面，
所以．
（2）由已知及（1）可知，，，
以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设面的法向量为，
则由，得，即，
令，得．
又由题可知面的法向量．
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在梯形中，∵，设，
又∵，∴，
∴，
∴，则，
∵平面，平面，
∴，而，∴平面，
∵，∴平面．
（2）分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，
∴，，
设为平面的一个法向量，
由，得，取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴，
∴二面角的余弦值为．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在正方体中，平面，平面，∴．
（2）如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，可得，
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，交于点，那么点是的中点，
连接，由点是的中点，
可得，平面，平面，
可得平面．
（2）∵，∴当时，此时，
可得，∴，
∴，∴，
∵是的中点，∴，
又∵，，∴平面，
∵平面，∴，
∵，∴平面，
即当时，平面．
2019-2020学年选修2-1第三章训练卷
空间向量与立体几何（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（ ）
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
【答案】D
【解析】当时与相交，当时与异面，故答案为D．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点关于平面对称的点的坐标为．故选C．
3．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】对于A选项，若，，则与平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；
对于B选项，若，且，，，根据直线与平面平行的判定定理知，，，但与不平行；
对于C选项，若，，在平面内可找到两条相交直线、使得，，于是可得出，，根据直线与平面垂直的判定定理可得；
对于D选项，若，在平面内可找到一条直线与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知，只有当时，才与平面垂直．
故选C．
4．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，点是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图，
过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，
故为直线与底面所成角，而，，
故，故选C．
5．己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，
所以几何体的体积为，故选B．
6．如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的为（ ）
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝CD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
【答案】C
【解析】对于选项A，由PQ∥AC，QM∥BD，PQ∥QM，MN⊥MQ，可得AC⊥BD，故A正确；
对于选项B，由PQ∥AC，可得AC∥截面PQMN，故B正确；
对于选项C，由题得AC=2MN，BD=2MQ，
因为MN=MQ，所以AC=BD，不能证明AC=CD，故C不正确；
对于选项D，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角为45°，
故D正确．
故选C．
7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若则；③若，则；④若，则，其中正确命题的序号是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
【答案】B
【解析】①若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，不正确；
②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；正确；
③若，则；正确；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确．
综上可知：②和③正确．故选B．
8．已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B．
9．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．与所成的角为45° D．平面
【答案】B
【解析】对于C，，分别为，的中点，，
又，与所成的角为，故不正确；
对于A，，，不成立，故A不正确；
对于B，是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
垂直所在的平面，所在的平面，，
又，平面，
又平面，平面平面，故B正确；
对于D，是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故D不正确．
故选B．
10．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接、，如下图：
在正方体中，且；
四边形为平行四边形，则；
（或补角）就是异面直线与所成角；
又在正方体中，，为等边三角形，
，即异面直线与所成角的大小为，
故答案选C．
11．在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取的中点，连接，，．
因为为棱的中点，为的中点，所以，所以，则是异面直线与所成角的平面角．
设，在中，，，
则，即．
12．在三棱柱中，平面，，，，E，F分别是，上的点，则三棱锥的体积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】由题意可得，的面积为，
因为，，平面ABC，
所以点C到平面的距离为，即点F到平面的距离为4，则三棱锥的体积为．
故三棱锥的体积为12．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．
【答案】
【解析】由题得B(4，6，0)，，
因为M点是中点，所以点M坐标为．
故答案为．
14．如图所示，是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则的面积是________．
【答案】2
【解析】由图可知：三角形的面积为，
所以的直观图的面积为，由直观图与原图形面积之比为，可知的面积是2．
15．已知向量，，若，则______，若，则__________．
【答案】2，3
【解析】因为， ，且，
所以，解得；
又因为，所以，解得．
16．如图，在正方体中，有以下结论：
①平面；
②平面；
③；
④异面直线与所成的角为．
则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【解析】①：平面，平面，
平面，故本结论是正确的；
②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；
③：平面，平面，，
在正方形中，，平面，，
所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；
④：因为，所以异面直线与所成的角为，
在正方形中，，故本结论是错误的，
因此正确结论的序号是①③．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．
求证：（1）平面；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）因为在中，点，分别是，的中点，
所以，
又因平面，平面，
从而平面．
（2）因为点是的中点，且，所以，
又因，平面，平面，
，故平面，
因为平面，所以．
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，取中点为，连结，
则，
所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，
所以平面，平面，
所以平面．
（2）连结，交于点，连结，
因为为的中点，所以为的中位线，
又因为平面，所以平面，
即为三棱锥的高．
在菱形中可求得，
在中，，所以，
所以，
所以．
19．（12分）在三棱柱中，侧棱底面，分别是、、的中点，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，，所以，
又侧棱底面，所以，，
所以平面，而平面，
所以．
（2）由已知及（1）可知，，，
以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设面的法向量为，
则由，得，即，
令，得．
又由题可知面的法向量．
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
20．（12分）如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在梯形中，∵，设，
又∵，∴，
∴，
∴，则，
∵平面，平面，
∴，而，∴平面，
∵，∴平面．
（2）分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，
∴，，
设为平面的一个法向量，
由，得，取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴，
∴二面角的余弦值为．
21．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在正方体中，平面，平面，∴．
（2）如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，可得，
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
22．（12分）如图，在正三棱柱中，点是的中点，是上一点，．
（1）求证：平面；
（2）若，当为何值时，平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，交于点，那么点是的中点，
连接，由点是的中点，
可得，平面，平面，
可得平面．
（2）∵，∴当时，此时，
可得，∴，
∴，∴，
∵是的中点，∴，
又∵，，∴平面，
∵平面，∴，
∵，∴平面，
即当时，平面．
