2019-2020学年选修2-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线上有一点到右焦点的距离为，则点到左焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．或
3．已知双曲线：，的右焦点为，点是虚轴上的一个顶点，线段与双曲线的右支交于点，若，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知椭圆的两个焦点是，，是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，的离心率为，它的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点．若的面积为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与圆交于不同的两点，，为坐标原点，且有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则 ．
14．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点
的坐标为，则的最大值为_______．
15．如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
16．已知抛物线的准线方程为，焦点为，，，为该抛物线上不同的三点，，，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点．
（1）求线段的长；
（2）求的周长．
18．（12分）在平面直角坐标系中，动点到两点、的距离之和等于4．设点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与交于两点，若，求的值．
19．（12分）如图，已知圆：经过椭圆：的左右焦点，，与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于，两点，当△的面积取最大值时，求直线的方程．
20．（12分）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
21．（12分）已知过的动圆恒与轴相切，设切点为，是该圆的直径．
（1）求点轨迹的方程；
（2）当不在轴上时，设直线与曲线交于另一点，该曲线在处的切线与直线交于点．求证：恒为直角三角形．
22．（12分）已知点，直线：，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于，两点，直线，分别交于点，，求证：以为直径的圆必过定点．
2019-2020学年选修2-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
【解析】由条件可知，，所以椭圆方程为，故选C．
2．【答案】D
【解析】根据双曲线的定义可知点到两焦点的距离的差的绝对值为，
即，
又，则或．故选D．
3．【答案】D
【解析】设，∵右焦点为，点，线段与双曲线的右支交于点，且，∴，，
代入双曲线方程，得，且，∴．
∵，∴，∴，，
∴双曲线的方程为．
4．【答案】D
【解析】联立直线与椭圆的方程整理可得，
满足题意时：或，
∵，∴，当时，取得最小值，
此时椭圆的离心率为．
5．【答案】D
【解析】因为，所以，，
双曲线的渐近线方程为，
又抛物线的准线方程为，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得，，
在△中，点到的距离为，所以，
所以，所以抛物线的准线方程为，故选D．
6．【答案】A
【解析】设，，，，，
直线方程为，联立方程，
得，
∴，
同理直线与抛物线的交点满足，
由抛物线定义可知
，
当且仅当（或）时，取得等号．
7．【答案】A
【解析】由题设知②-①2得．
∴的面积．
8．【答案】B
【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即，由，
得，①如图，
又由，得，
因，所以，故．②
由①②得．
9．【答案】C
【解析】由，焦点，
设中点为，，则，∴，
又在抛物线上，∴，即．
10．【答案】A
【解析】由题意，知，直线的方程为．
设，，则，．
由，得，即①．
设直线的方程为，代入抛物线方程消去，
得，所以②．
联立①②，得或（舍去），所以．
因为，
将，的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．
11．【答案】C
【解析】由题意作出示意图，
易得直线BC的斜率为，，
又由双曲线的定义及，可得，
，
，
故双曲线的渐近线方程为．
12．【答案】A
【解析】因为在轴上，在平行四边形中，，
所以，两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即，两点关于轴对称，，
可设，，由，可得，
把点的坐标代入椭圆方程得，得．
因为为直线的倾斜角，所以，
因为，所以，
即，，，
又离心率，所以．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由椭圆方程，得，
由椭圆定义可得，
因为，所以为的中点，，
所以为中点，
因为为中点，所以，，
所以．
14．【答案】
【解析】由椭圆方程可知，，，，，
两焦点坐标，
由椭圆定义可得，
结合三角形三边关系可知，
所以，最大值为．
15．【答案】
【解析】因为为等边三角形，由点是双曲线上的一点知，
，
由点是双曲线上一点知，，
从而，由，得，
在中应用余弦定理得，
整理得，则，从而．
16．【答案】
【解析】抛物线的准线方程是，∴，∴抛物线方程为，．
设，，，
又，，成等差数列，∴，
即，
即．∵，
∴，
∴，，
则，．
由，则或(舍)，则，
则的中点坐标为，即，
的斜率，
则直线的方程为，即．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由双曲线的方程得，，直线AB的方程为①，将其代入双曲线方程消去y，得，
解之得，，
将，代入①，得，，
故，，故．
（2）周长．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦距，
长半轴为的椭圆．
它的短半轴故曲线的方程为．
（2）设，其坐标满足，
消去y并整理得，(*)
故，
若即
则，
化简得所以满足(*)中，故为所求．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，三点共线，∴为圆的直径，且，
∴．由，得，∴，
∵，∴，
∴，．
∵，∴，∴椭圆的方程为．
（2）由（1）知，点的坐标为，∴直线的斜率为，
故设直线的方程为，
将方程代入消去得，
设，，∴，，
，，∴，
又，
∵点到直线的距离，
∴
，
当且仅当，即时等号成立，
此时直线的方程为．
20．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由于，两点关于轴对称，故由题设知经过，两点．
又由知，不经过点，所以点在上．
因此，解得．
故的方程为．
（2）设直线与直线的斜率分别为，，
如果与轴垂直，设：，由题设知，且，
可得，的坐标分别为，，
则，得，不符合题设，
从而可设：将代入，
得，由题设可知，
设，，则，．
而，
由题设，故．
即，解得，
当且仅当时，，所以：，即，
所以过定点．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设点坐标为，则点坐标为．
因为是直径，所以，或、均在坐标原点．
因此，而，，
故有，即，
另一方面，设是曲线上一点，
则有，中点纵坐标为，
故以为直径的圆与轴相切．
综上可知点轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，由，得，
设，，则有．
由对求导知，从而曲线在处的切线斜率，
直线的斜率，于是．
因此，所以恒为直角三角形．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意得，即到直线：的距离与到点的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
设抛物线方程为，则，即点的轨迹的方程是．
（2）由题意可设直线：，
代入，得，
设，，则，，
又，设直线，的斜率分别为，，
则，，
设，，令，得，
同理，得，
从而
；
．
又以为直径的圆的方程为，
即，即，
令，解得或，
从而以为直径的圆恒过定点和．
2019-2020学年选修2-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由条件可知，，所以椭圆方程为，故选C．
2．已知双曲线上有一点到右焦点的距离为，则点到左焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】根据双曲线的定义可知点到两焦点的距离的差的绝对值为，
即，
又，则或．故选D．
3．已知双曲线：，的右焦点为，点是虚轴上的一个顶点，线段与双曲线的右支交于点，若，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，∵右焦点为，点，线段与双曲线的右支交于点，且，∴，，
代入双曲线方程，得，且，∴．
∵，∴，∴，，
∴双曲线的方程为．
4．已知椭圆的两个焦点是，，是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立直线与椭圆的方程整理可得，
满足题意时：或，
∵，∴，当时，取得最小值，
此时椭圆的离心率为．
5．已知双曲线，的离心率为，它的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点．若的面积为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
双曲线的渐近线方程为，
又抛物线的准线方程为，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得，，
在△中，点到的距离为，所以，
所以，所以抛物线的准线方程为，故选D．
6．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，，，，
直线方程为，联立方程，
得，
∴，
同理直线与抛物线的交点满足，
由抛物线定义可知
，
当且仅当（或）时，取得等号．
7．设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设知②-①2得．
∴的面积．
8．已知直线与圆交于不同的两点，，为坐标原点，且有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即，由，
得，①如图，
又由，得，
因，所以，故．②
由①②得．
9．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，焦点，
设中点为，，则，∴，
又在抛物线上，∴，即．
10．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，知，直线的方程为．
设，，则，．
由，得，即①．
设直线的方程为，代入抛物线方程消去，
得，所以②．
联立①②，得或（舍去），所以．
因为，
将，的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意作出示意图，
易得直线BC的斜率为，，
又由双曲线的定义及，可得，
，
，
故双曲线的渐近线方程为．
12．在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为在轴上，在平行四边形中，，
所以，两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即，两点关于轴对称，，
可设，，由，可得，
把点的坐标代入椭圆方程得，得．
因为为直线的倾斜角，所以，
因为，所以，
即，，，
又离心率，所以．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则 ．
【答案】
【解析】由椭圆方程，得，
由椭圆定义可得，
因为，所以为的中点，，
所以为中点，
因为为中点，所以，，
所以．
14．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】由椭圆方程可知，，，，，
两焦点坐标，
由椭圆定义可得，
结合三角形三边关系可知，
所以，最大值为．
15．如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】因为为等边三角形，由点是双曲线上的一点知，
，
由点是双曲线上一点知，，
从而，由，得，
在中应用余弦定理得，
整理得，则，从而．
16．已知抛物线的准线方程为，焦点为，，，为该抛物线上不同的三点，，，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为________．
【答案】
【解析】抛物线的准线方程是，∴，∴抛物线方程为，．
设，，，
又，，成等差数列，∴，
即，
即．∵，
∴，
∴，，
则，．
由，则或(舍)，则，
则的中点坐标为，即，
的斜率，
则直线的方程为，即．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点．
（1）求线段的长；
（2）求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由双曲线的方程得，，直线AB的方程为①，将其代入双曲线方程消去y，得，
解之得，，
将，代入①，得，，
故，，故．
（2）周长．
18．（12分）在平面直角坐标系中，动点到两点、的距离之和等于4．设点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与交于两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦距，
长半轴为的椭圆．
它的短半轴故曲线的方程为．
（2）设，其坐标满足，
消去y并整理得，(*)
故，
若即
则，
化简得所以满足(*)中，故为所求．
19．（12分）如图，已知圆：经过椭圆：的左右焦点，，与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于，两点，当△的面积取最大值时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，三点共线，∴为圆的直径，且，
∴．由，得，∴，
∵，∴，
∴，．
∵，∴，∴椭圆的方程为．
（2）由（1）知，点的坐标为，∴直线的斜率为，
故设直线的方程为，
将方程代入消去得，
设，，∴，，
，，∴，
又，
∵点到直线的距离，
∴
，
当且仅当，即时等号成立，
此时直线的方程为．
20．（12分）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由于，两点关于轴对称，故由题设知经过，两点．
又由知，不经过点，所以点在上．
因此，解得．
故的方程为．
（2）设直线与直线的斜率分别为，，
如果与轴垂直，设：，由题设知，且，
可得，的坐标分别为，，
则，得，不符合题设，
从而可设：将代入，
得，由题设可知，
设，，则，．
而，
由题设，故．
即，解得，
当且仅当时，，所以：，即，
所以过定点．
21．（12分）已知过的动圆恒与轴相切，设切点为，是该圆的直径．
（1）求点轨迹的方程；
（2）当不在轴上时，设直线与曲线交于另一点，该曲线在处的切线与直线交于点．求证：恒为直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设点坐标为，则点坐标为．
因为是直径，所以，或、均在坐标原点．
因此，而，，
故有，即，
另一方面，设是曲线上一点，
则有，中点纵坐标为，
故以为直径的圆与轴相切．
综上可知点轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，由，得，
设，，则有．
由对求导知，从而曲线在处的切线斜率，
直线的斜率，于是．
因此，所以恒为直角三角形．
22．（12分）已知点，直线：，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于，两点，直线，分别交于点，，求证：以为直径的圆必过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意得，即到直线：的距离与到点的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
设抛物线方程为，则，即点的轨迹的方程是．
（2）由题意可设直线：，
代入，得，
设，，则，，
又，设直线，的斜率分别为，，
则，，
设，，令，得，
同理，得，
从而
；
．
又以为直径的圆的方程为，
即，即，
令，解得或，
从而以为直径的圆恒过定点和．
