2019-2020学年选修2-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上，那么抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是，是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，当最小时，点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．与大小不确定
8．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知点是抛物线：与直线：的一个交点，
则抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是双曲线的左、右焦点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．双曲线，的左、右焦点分别为、，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点、，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是__________．
14．已知点是抛物线上的动点，点到准线的距离为，且点在轴上的射影是，点，则的最小值是______．
15．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．
若，则的离心率为________．
16．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为，则_____．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
（1）求双曲线的方程．
（2）经过点作直线交双曲线于，两点，且为的中点，
求直线的方程．
18．（12分）已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，若．试求：
（1）椭圆的方程；
（2）的面积．
19．（12分）已知一动圆，恒过点，且总与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的，两点，当时，直线恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．
20．（12分）如图线段过轴正半轴上一定点，端点，到轴距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．
（1）求抛物线方程；
（2）若，求的值．
21．（12分）设双曲线：与直线相交于两点、．
（1）求双曲线的离心率的取值范围；
（2）设直线与轴的交点为，且，求的值．
22．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，求(为原点)面积的最大值．
2019-2020学年选修2-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
【解析】由题设知直线与轴的交点，即为抛物线的焦点，
故其方程为．
2．【答案】A
【解析】以线段为直径的圆，圆心为坐标原点，半径为，
圆的方程为，直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，
即，，从而，
故椭圆的离心率．
3．【答案】D
【解析】由题意知，是△的中位线，
所以．
4．【答案】B
【解析】若表示椭圆，则有，所以且，故是表示椭圆的必要不充分条件．
5．【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为．
圆心到渐近线的距离为，
不妨考查点到直线的距离，
即，整理可得，双曲线的离心率，
故选A．
6．【答案】D
【解析】由题知点在抛物线内．设到准线的距离为，
则，当最小时，点坐标是．
7．【答案】B
【解析】在椭圆中，，∴，
在双曲线中，，∴，
∴，故选B．
8．【答案】C
【解析】由是双曲线上的一点和可知，，
解得，，
又，所以△为直角三角形，所以△的面积．
9．【答案】B
【解析】将点代入中，可得，即得抛物线，其焦点坐标为，将点代入中，可得，即得直线，所以抛物线的焦点到直线的距离．
10．【答案】A
【解析】由椭圆方程得，设，则，
因为为椭圆上一点，所以，
所以，
因为，所以的最大值在时取得，且最大值等于．
11．【答案】B
【解析】依题设，，
∵，∴，
∴等腰三角形底边上的高为，∴底边的长为，
由双曲线的定义可得，∴，
∴，即，∴，解得．
12．【答案】C
【解析】根据双曲线的定义有，而，
那么，
而又由双曲线的定义有，可得，
由于过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点、，
那么，那么，
根据余弦定理有，整理有，
即，解得舍去)，
故双曲线的渐近线方程为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】依题意知：，所以，，所以，
所以，所以椭圆方程为．
14．【答案】
【解析】设抛物线的焦点为，则，
又点在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为，则，
又|，所以．
15．【答案】
【解析】如图所示，作，
因为圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，
则为双曲线的渐近线上的点，且，，
而，所以，
点到直线的距离，
在中，，代入计算得，即，
由得，所以．
16．【答案】
【解析】由抛物线得其焦点，直线的方程为，设，(假定)，
由题意可知，，联立，
整理有，可得，，
则有，而梯形的面积为
，
整理有，而，故．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得椭圆的焦点为，，
设双曲线方程为，则，
∵∴，∴，解得，∴，
∴双曲线方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
即．
由消去整理得，
∵直线与双曲线交于，两点，
∴，解得．
设，，则，
又为的中点，∴，解得，满足条件．
∴直线的方程为，即．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，①
又，所以，得，②
又，③
由①②③得，，则椭圆方程为．
（2）．
19．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）因为动圆，过点且与直线相切，
所以圆心到的距离等于到直线的距离．
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，，
所以所求的轨迹方程为．
（2）假设存在，在上，
所以直线的方程:，即，
即的方程为，即，
即，令，得，
所以无论为何值，直线过定点．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设直线方程为，抛物线方程为．
由消去，得，∴．
又∵，∴，∴抛物线方程为．
（2）设，，则，．
则．
又，∴，解得．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）联立，消得，
即，得，
因为与双曲线交于、两点，所以，
可得且，
所以的取值范围为．
（2）由（1）得，
因为，所以，则，①
，②
由得，，结合，则．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，①
由椭圆经过点，得，②
联立①②，解得，，
所以椭圆的方程是．
（2）易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得，
令，得，
设，，则，，
所以，
因为，
设，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，△面积取得最大值．
2019-2020学年选修2-1第二章训练卷
圆锥曲线与方程（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上，那么抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设知直线与轴的交点，即为抛物线的焦点，
故其方程为．
2．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆，圆心为坐标原点，半径为，
圆的方程为，直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，
即，，从而，
故椭圆的离心率．
3．已知椭圆，，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是，是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，是△的中位线，
所以．
4．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若表示椭圆，则有，所以且，故是表示椭圆的必要不充分条件．
5．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为．
圆心到渐近线的距离为，
不妨考查点到直线的距离，
即，整理可得，双曲线的离心率，
故选A．
6．已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，当最小时，点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知点在抛物线内．设到准线的距离为，
则，当最小时，点坐标是．
7．设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．与大小不确定
【答案】B
【解析】在椭圆中，，∴，
在双曲线中，，∴，
∴，故选B．
8．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由是双曲线上的一点和可知，，
解得，，
又，所以△为直角三角形，所以△的面积．
9．已知点是抛物线：与直线：的一个交点，
则抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将点代入中，可得，即得抛物线，其焦点坐标为，将点代入中，可得，即得直线，所以抛物线的焦点到直线的距离．
10．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆方程得，设，则，
因为为椭圆上一点，所以，
所以，
因为，所以的最大值在时取得，且最大值等于．
11．已知是双曲线的左、右焦点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题设，，
∵，∴，
∴等腰三角形底边上的高为，∴底边的长为，
由双曲线的定义可得，∴，
∴，即，∴，解得．
12．双曲线，的左、右焦点分别为、，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点、，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据双曲线的定义有，而，
那么，
而又由双曲线的定义有，可得，
由于过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点、，
那么，那么，
根据余弦定理有，整理有，
即，解得舍去)，
故双曲线的渐近线方程为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是__________．
【答案】
【解析】依题意知：，所以，，所以，
所以，所以椭圆方程为．
14．已知点是抛物线上的动点，点到准线的距离为，且点在轴上的射影是，点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】设抛物线的焦点为，则，
又点在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为，则，
又|，所以．
15．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．
若，则的离心率为________．
【答案】
【解析】如图所示，作，
因为圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，
则为双曲线的渐近线上的点，且，，
而，所以，
点到直线的距离，
在中，，代入计算得，即，
由得，所以．
16．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为，则_____．
【答案】
【解析】由抛物线得其焦点，直线的方程为，设，(假定)，
由题意可知，，联立，
整理有，可得，，
则有，而梯形的面积为
，
整理有，而，故．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
（1）求双曲线的方程．
（2）经过点作直线交双曲线于，两点，且为的中点，
求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得椭圆的焦点为，，
设双曲线方程为，则，
∵∴，∴，解得，∴，
∴双曲线方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
即．
由消去整理得，
∵直线与双曲线交于，两点，
∴，解得．
设，，则，
又为的中点，∴，解得，满足条件．
∴直线的方程为，即．
18．（12分）已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，若．试求：
（1）椭圆的方程；
（2）的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，①
又，所以，得，②
又，③
由①②③得，，则椭圆方程为．
（2）．
19．（12分）已知一动圆，恒过点，且总与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的，两点，当时，直线恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）因为动圆，过点且与直线相切，
所以圆心到的距离等于到直线的距离．
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，，
所以所求的轨迹方程为．
（2）假设存在，在上，
所以直线的方程:，即，
即的方程为，即，
即，令，得，
所以无论为何值，直线过定点．
20．（12分）如图线段过轴正半轴上一定点，端点，到轴距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．
（1）求抛物线方程；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设直线方程为，抛物线方程为．
由消去，得，∴．
又∵，∴，∴抛物线方程为．
（2）设，，则，．
则．
又，∴，解得．
21．（12分）设双曲线：与直线相交于两点、．
（1）求双曲线的离心率的取值范围；
（2）设直线与轴的交点为，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）联立，消得，
即，得，
因为与双曲线交于、两点，所以，
可得且，
所以的取值范围为．
（2）由（1）得，
因为，所以，则，①
，②
由得，，结合，则．
22．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，求(为原点)面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，①
由椭圆经过点，得，②
联立①②，解得，，
所以椭圆的方程是．
（2）易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得，
令，得，
设，，则，，
所以，
因为，
设，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，△面积取得最大值．
