2019-2020学年选修2-1第三章训练卷
空间向量与立体几何（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点在轴上的射影和在平面上的射影的坐标分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知点和点，且，则实数的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线和所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点．
若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．在四面体中，，，且平面平面，为中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，点，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面
互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，，且（如图①）．将四边形沿折起，连接（如图②）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）
①平面；
②四点不可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_____．
14．已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．
15．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的表面积__________．
16．如图，在正方体中，点P为AD的中点，点Q为上的动点，给出下列说法：
可能与平面平行；
与BC所成的最大角为；
与PQ一定垂直；
与所成的最大角的正切值为；
．
其中正确的有______写出所有正确命题的序号
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在棱长为3的正方体中，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
18．（12分）四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，，是等边三角形．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）在正方体中，棱长是1，E，F分别是AB，BC的中点，H是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，是的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小．
21．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面为正三角形，
且平面平面，E为PD中点，AD=2．
（1）证明平面AEC丄平面PCD；
（2）若二面角的平面角满足，求四棱锥的体积．
22．（12分）如图，是边长为3的正方形，平面，，，BE与平面所成角为．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点M在线段BD上，且平面BEF，求的长．
2019-2020学年选修2-1第三章训练卷
空间向量与立体几何（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】在空间直角坐标系中，点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件：与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变，其他的坐标为0．故选B．
2．【答案】C
【解析】连接，
由题意得，
平面，且平面，，
，平面，
平面，．故选C．
3．【答案】D
【解析】，，
若，则，解得，
故选D．
4．【答案】A
【解析】已知点和点，
，，故答案选A．
5．【答案】D
【解析】如图所示，
∵，分别是棱，的中点，∴，
又∵，，∴，∴和所成的角为．
故选D．
6．【答案】A
【解析】．
7．【答案】C
【解析】①平面，，，，
，，都是直角三角形；
②，是直角三角形；
③，，是直角三角形；
④由，，得平面，可知，，也是直角三角形．
综上可知：直角三角形的个数是个，故选C．
8．【答案】A
【解析】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，
所以．
故选A．
9．【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，连接，
∵，∴．
又平面平面，∴平面．
建立空间直角坐标系．
又．
∴．
∴，
故选C．
10．【答案】D
【解析】设正方体棱长为，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
即平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，则．
故选D．
11．【答案】B
【解析】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，
所以，即线段的长为，
故选B．
12．【答案】B
【解析】①连接，取的中点，的中点，连接，易证明四边形是平行四边形，即，所以平面，所以①正确；
②若四点共面，
因为，所以平面，可推出，所以，
这与已知相矛盾，故四点不可能共面，所以②正确；
③连接，在梯形中，易得，
又，所以平面，即，所以平面，
则平面平面，所以③正确；
④延长至，使得，连接，易得平面平面，过作于，则平面，
若平面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，
前后矛盾，故④错误．
综上所述，一共有个说法错误．故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数，
点关于原点的对称点的坐标为，故答案为．
14．【答案】
【解析】依题意，点，，C为线段AB的中点，
所以C点坐标为，即，
所以向量的坐标为．
故填．
15．【答案】
【解析】三棱锥，平面，，，，
画出图像：
易知：每个面都是直角三角形．
．
16．【答案】
【解析】由在棱长为1的正方体中点P为AD的中点，
点Q为上的动点，知：
在中，当Q为的中点时，，由线面平行的判定定理可得PQ与平面平行，故正确；
在中，当Q为的中点时，，，，
可得，故错误；
在中，由，，可得平面，
即有，故正确；
在中，如图，点M为中点，PQ与所成的角即为PQ与所成的角，当Q与，或重合时，PQ与所成的角最大，其正切值为，故正确；
在中，当Q为的中点时，PQ的长取得最小值，且长为，故正确．
故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为两两垂直，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为棱长为3，，
则，，
所以，
所以，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是．
（2）平面的法向量是，
设平面的法向量是，
又因为，，，，
所以，即，
令，则，，所以．
所以，
所以二面角的余弦值是．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）作为垂足，平面底面，平面，
，∴，
，，
平面，面，．
（2），
，∴，
是等腰直角三角形，
是的中点，两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，
的中点，，
，
二面角的大小等于，
二面角的余弦值为．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】在正方体中，DA，DC，两两垂直，如图，
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
（1）又，，所以，
易得，．
故，，所以，，
又，所以平面．
（2）由（1）知是平面的一个法向量．
又，
设直线与平面所成的角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）135°．
【解析】（1）平面，平面，，
又，， 平面，，
，是的中点，，
又，平面．
（2）两两互相垂直，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
取为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
，
则，，
，
由图形得：求二面角的大小为135°．
21．【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）取中点为，中点为F，
由侧面为正三角形，且平面平面，知平面，
故，
又，则平面，所以，
又，则，
又是中点，则，
由线面垂直的判定定理知平面，
又平面，故平面平面．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
令，则，，，．
由（1）知为平面的法向量，
令为平面的法向量，
由于，均与垂直，
故，即，解得，故，
由，解得．
故四棱锥的体积．
22．【答案】（1）见证明；（2）；（3）．
【解析】（1）因为平面，所以，
因为是正方形，所以，
又BD，DE交于点E，从而平面．
（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示．
因为BE与平面所成角为，即，所以．
由，可知，，
则，，，，，
所以，，
设平面BEF的法向量为，则，
即，令，则，
因为平面，所以为平面的法向量，，
所以．
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
（3）点M是线段BD上一个动点，设，则，
因为平面BEF，所以，
即，解得．
此时，点M坐标为，，符合题意．
2019-2020学年选修2-1第三章训练卷
空间向量与立体几何（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点在轴上的射影和在平面上的射影的坐标分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系中，点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件：与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变，其他的坐标为0．故选B．
2．在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接，
由题意得，
平面，且平面，，
，平面，
平面，．故选C．
3．已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】，，
若，则，解得，
故选D．
4．已知点和点，且，则实数的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】已知点和点，
，，故答案选A．
5．在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线和所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，
∵，分别是棱，的中点，∴，
又∵，，∴，∴和所成的角为．
故选D．
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点．
若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】．
7．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①平面，，，，
，，都是直角三角形；
②，是直角三角形；
③，，是直角三角形；
④由，，得平面，可知，，也是直角三角形．
综上可知：直角三角形的个数是个，故选C．
8．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，
所以．
故选A．
9．在四面体中，，，且平面平面，为中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，连接，
∵，∴．
又平面平面，∴平面．
建立空间直角坐标系．
又．
∴．
∴，
故选C．
10．在正方体中，点，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正方体棱长为，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
即平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，则．
故选D．
11．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面
互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，
所以，即线段的长为，
故选B．
12．如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，，且（如图①）．将四边形沿折起，连接（如图②）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）
①平面；
②四点不可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①连接，取的中点，的中点，连接，易证明四边形是平行四边形，即，所以平面，所以①正确；
②若四点共面，
因为，所以平面，可推出，所以，
这与已知相矛盾，故四点不可能共面，所以②正确；
③连接，在梯形中，易得，
又，所以平面，即，所以平面，
则平面平面，所以③正确；
④延长至，使得，连接，易得平面平面，过作于，则平面，
若平面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，
前后矛盾，故④错误．
综上所述，一共有个说法错误．故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_____．
【答案】
【解析】空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数，
点关于原点的对称点的坐标为，故答案为．
14．已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．
【答案】
【解析】依题意，点，，C为线段AB的中点，
所以C点坐标为，即，
所以向量的坐标为．
故填．
15．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的表面积__________．
【答案】
【解析】三棱锥，平面，，，，
画出图像：
易知：每个面都是直角三角形．
．
16．如图，在正方体中，点P为AD的中点，点Q为上的动点，给出下列说法：
可能与平面平行；
与BC所成的最大角为；
与PQ一定垂直；
与所成的最大角的正切值为；
．
其中正确的有______写出所有正确命题的序号
【答案】
【解析】由在棱长为1的正方体中点P为AD的中点，
点Q为上的动点，知：
在中，当Q为的中点时，，由线面平行的判定定理可得PQ与平面平行，故正确；
在中，当Q为的中点时，，，，
可得，故错误；
在中，由，，可得平面，
即有，故正确；
在中，如图，点M为中点，PQ与所成的角即为PQ与所成的角，当Q与，或重合时，PQ与所成的角最大，其正切值为，故正确；
在中，当Q为的中点时，PQ的长取得最小值，且长为，故正确．
故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在棱长为3的正方体中，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为两两垂直，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为棱长为3，，
则，，
所以，
所以，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是．
（2）平面的法向量是，
设平面的法向量是，
又因为，，，，
所以，即，
令，则，，所以．
所以，
所以二面角的余弦值是．
18．（12分）四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，，是等边三角形．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）作为垂足，平面底面，平面，
，∴，
，，
平面，面，．
（2），
，∴，
是等腰直角三角形，
是的中点，两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，
的中点，，
，
二面角的大小等于，
二面角的余弦值为．
19．（12分）在正方体中，棱长是1，E，F分别是AB，BC的中点，H是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】在正方体中，DA，DC，两两垂直，如图，
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
（1）又，，所以，
易得，．
故，，所以，，
又，所以平面．
（2）由（1）知是平面的一个法向量．
又，
设直线与平面所成的角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，是的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）135°．
【解析】（1）平面，平面，，
又，， 平面，，
，是的中点，，
又，平面．
（2）两两互相垂直，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
取为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
，
则，，
，
由图形得：求二面角的大小为135°．
21．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面为正三角形，
且平面平面，E为PD中点，AD=2．
（1）证明平面AEC丄平面PCD；
（2）若二面角的平面角满足，求四棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）取中点为，中点为F，
由侧面为正三角形，且平面平面，知平面，
故，
又，则平面，所以，
又，则，
又是中点，则，
由线面垂直的判定定理知平面，
又平面，故平面平面．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
令，则，，，．
由（1）知为平面的法向量，
令为平面的法向量，
由于，均与垂直，
故，即，解得，故，
由，解得．
故四棱锥的体积．
22．（12分）如图，是边长为3的正方形，平面，，，BE与平面所成角为．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点M在线段BD上，且平面BEF，求的长．
【答案】（1）见证明；（2）；（3）．
【解析】（1）因为平面，所以，
因为是正方形，所以，
又BD，DE交于点E，从而平面．
（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示．
因为BE与平面所成角为，即，所以．
由，可知，，
则，，，，，
所以，，
设平面BEF的法向量为，则，
即，令，则，
因为平面，所以为平面的法向量，，
所以．
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
（3）点M是线段BD上一个动点，设，则，
因为平面BEF，所以，
即，解得．
此时，点M坐标为，，符合题意．
