2019-2020学年选修2-2第二章训练卷
推理与证明（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果两个数之和为正数，则这两个数（ ）
A．一个是正数，一个是负数 B．都是正数
C．不可能有负数 D．至少有一个是正数
2．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中三棱锥的内切球的球心到四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．非上述答案
3．用分析法证明：欲使①，只需②，这里①是②的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．观察下列各式：，，，，，的特点，则为（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明“，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容是（ ）
A．不能被整除 B．不能被整除
C．，都不能被整除 D．以上都不正确
6．用数学归纳法证明：时，
由到左边需要添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．、大小不定
8．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符号要求的应当是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．已知“整数对”按如下规律排列，，，，，，，，，，，，则第个“整数对”为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，是函数（）的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段总是位于，两点之间函数图像的上方，因此有结论成立，运用类比的思想可知，若点，是函数（）的图像上任意不同两点，则类似地有下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．幻方是中国古代的填数游戏，（，）阶幻方指的是连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等．古籍《周易本义》中的“洛书”记载了一个阶幻方（如左图），即现在的右图．若某阶幻方正中间的数是，则该幻方中的最小数为（ ）
A． B． C． D．
12．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，，，，，，，，，，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图1所示），则三角形数的一般表达式（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．若，则当时，是 ．（不用计算结果）
14．在等差数列中，若，则有等式（，）成立．类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有 等式成立．
15．有一个游戏，将标有数字，，，的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁个人，每人一张，并请这个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有的卡片；
乙说：甲或丙拿到标有的卡片；
丙说：标有的卡片在甲手中；
丁说：甲拿到标有的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁个人拿到卡片上的数字依次为 ．
16．对，，定义运算：，，
则下列判断正确的是 ．（填序号即可）
①；②；③．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）先解答（1），再通过结构类比解答（2）．
（1）求证：；
（2）设，为非零常数，且，试问：是周期函数吗？请证明你的结论．
18．（12分）实数，，，满足，，求证：，，，中至少有一个是负数．
19．（12分）已知的三边，，的倒数成等差数列，证明：为锐角．
20．（12分）设，，均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
21．（12分）已知椭圆具有以下性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，若直线、的斜率都存在，并记为、，那么与之积是与点的位置无关的定值．试对双曲线写出类似的性质，并加以证明．
22．（12分）已知数列满足，，
试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
2019-2020学年选修2-2第二章训练卷
推理与证明（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一，还可以是两正，但不可能为两负．
2．【答案】B
【解析】从二维类比三维，对应元素发生改变：边对应面，内切圆对应内切球．
3．【答案】A
【解析】因为②①，所以①是②的必要条件．
4．【答案】B
【解析】由题观察可发现，后一个式子的值为它前两个式子的和，
所以，，．
5．【答案】C
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．故应假设“，都不能被整除”．
6．【答案】D
【解析】由到时，左边需要添加的项是．
7．【答案】B
【解析】如果，则，
∴，∴，
∴，显然上式不成立，故不成立，∴．
8．【答案】D
【解析】由已知图中座位的排序规律可知，被除余的和能被整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的组座位号知，只有D项符合条件．
9．【答案】C
【解析】因为，所以第个“整数对”是，第个“整数对”是，第个“整数对”是，第个“整数对”是．
10．【答案】A
【解析】点，是函数（）的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段总是位于，两点之间函数图像的下方，
∴．
11．【答案】A
【解析】若阶幻方正中间的数是，根据题意可知，是这个连续正整数的正中间的数，所以这个正整数为：，，，，，，，，．所以该幻方中的最小数为．
12．【答案】C
【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由题意得，当时，．
14．【答案】（，）
【解析】这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比，
在等差数列的前项中，其中间项，则，
即，
又∵，，，，
∴，
相似地，在等比数列的前项中，为其中间项，
则可得（，）．
15．【答案】，，，
【解析】由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有的卡片，故丙拿到标有的卡片，即甲、乙、丙、丁个人拿到卡片上的数字依次为，，，．
16．【答案】②
【解析】对于①，由定义的运算可知，，
故，故①错误；
对于②，因为，故，故②正确；
对于③，当时，，故，
而，故，
显然，若，则，所以，
若，则，所以，
故．故③错误．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）证明见解析；（2）是周期函数，证明见解析．
【解析】（1），即．
（2）猜想是以为周期的周期函数．
证明过程如下：
∵，
∴，
∴是以为周期的周期函数，
故是周期函数，其中一个周期为．
18．【答案】证明见解析．
【解析】假设实数，，，都是非负数，
则，这与矛盾，
所以假设不成立，故，，，中至少有一个是负数．
19．【答案】证明见解析．
【解析】要证明为锐角，只需证，
又∵，∴只需证明，即，
∵，（当且仅当时等号成立）∴只需证明，
由已知得，，即，
∴只需证明，即只需证明，
而已知，，为的三边，即成立，∴为锐角．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，，（当且仅当时等号成立）得，
由题设得，即，
所以，即．
（2）因为，，，（当且仅当时等号成立）
故，即，
所以．
21．【答案】见解析．
【解析】类似的性质为：若、是双曲线上关于原点对称的两个点，
点是双曲线上任意一点，若直线、的斜率都存在，并记为、，
那么与之积是与点的位置无关的定值．
证明如下：设点、的坐标为、，则．
∵点在已知双曲线上，∴，
同理，
则（定值）．
22．【答案】见解析．
【解析】由，得，
故，，，
猜想：．
以下用数学归纳法证明猜想正确．
（1）当时，，猜想正确；
（2）假设当时，猜想正确，即，则当时，
，
即时猜想正确，故数列的通项公式是．
2019-2020学年选修2-2第二章训练卷
推理与证明（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果两个数之和为正数，则这两个数（ ）
A．一个是正数，一个是负数 B．都是正数
C．不可能有负数 D．至少有一个是正数
【答案】D
【解析】两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一，还可以是两正，但不可能为两负．
2．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中三棱锥的内切球的球心到四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．非上述答案
【答案】B
【解析】从二维类比三维，对应元素发生改变：边对应面，内切圆对应内切球．
3．用分析法证明：欲使①，只需②，这里①是②的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为②①，所以①是②的必要条件．
4．观察下列各式：，，，，，的特点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题观察可发现，后一个式子的值为它前两个式子的和，
所以，，．
5．用反证法证明“，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容是（ ）
A．不能被整除 B．不能被整除
C．，都不能被整除 D．以上都不正确
【答案】C
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．故应假设“，都不能被整除”．
6．用数学归纳法证明：时，
由到左边需要添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由到时，左边需要添加的项是．
7．已知，，，则正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．、大小不定
【答案】B
【解析】如果，则，
∴，∴，
∴，显然上式不成立，故不成立，∴．
8．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符号要求的应当是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】由已知图中座位的排序规律可知，被除余的和能被整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的组座位号知，只有D项符合条件．
9．已知“整数对”按如下规律排列，，，，，，，，，，，，则第个“整数对”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以第个“整数对”是，第个“整数对”是，第个“整数对”是，第个“整数对”是．
10．已知点，是函数（）的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段总是位于，两点之间函数图像的上方，因此有结论成立，运用类比的思想可知，若点，是函数（）的图像上任意不同两点，则类似地有下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点，是函数（）的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段总是位于，两点之间函数图像的下方，
∴．
11．幻方是中国古代的填数游戏，（，）阶幻方指的是连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等．古籍《周易本义》中的“洛书”记载了一个阶幻方（如左图），即现在的右图．若某阶幻方正中间的数是，则该幻方中的最小数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若阶幻方正中间的数是，根据题意可知，是这个连续正整数的正中间的数，所以这个正整数为：，，，，，，，，．所以该幻方中的最小数为．
12．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，，，，，，，，，，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图1所示），则三角形数的一般表达式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．若，则当时，是 ．（不用计算结果）
【答案】
【解析】由题意得，当时，．
14．在等差数列中，若，则有等式（，）成立．类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有 等式成立．
【答案】（，）
【解析】这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比，
在等差数列的前项中，其中间项，则，
即，
又∵，，，，
∴，
相似地，在等比数列的前项中，为其中间项，
则可得（，）．
15．有一个游戏，将标有数字，，，的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁个人，每人一张，并请这个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有的卡片；
乙说：甲或丙拿到标有的卡片；
丙说：标有的卡片在甲手中；
丁说：甲拿到标有的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁个人拿到卡片上的数字依次为 ．
【答案】，，，
【解析】由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有的卡片，故丙拿到标有的卡片，即甲、乙、丙、丁个人拿到卡片上的数字依次为，，，．
16．对，，定义运算：，，
则下列判断正确的是 ．（填序号即可）
①；②；③．
【答案】②
【解析】对于①，由定义的运算可知，，
故，故①错误；
对于②，因为，故，故②正确；
对于③，当时，，故，
而，故，
显然，若，则，所以，
若，则，所以，
故．故③错误．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）先解答（1），再通过结构类比解答（2）．
（1）求证：；
（2）设，为非零常数，且，试问：是周期函数吗？请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）是周期函数，证明见解析．
【解析】（1），即．
（2）猜想是以为周期的周期函数．
证明过程如下：
∵，
∴，
∴是以为周期的周期函数，
故是周期函数，其中一个周期为．
18．（12分）实数，，，满足，，求证：，，，中至少有一个是负数．
【答案】证明见解析．
【解析】假设实数，，，都是非负数，
则，这与矛盾，
所以假设不成立，故，，，中至少有一个是负数．
19．（12分）已知的三边，，的倒数成等差数列，证明：为锐角．
【答案】证明见解析．
【解析】要证明为锐角，只需证，
又∵，∴只需证明，即，
∵，（当且仅当时等号成立）∴只需证明，
由已知得，，即，
∴只需证明，即只需证明，
而已知，，为的三边，即成立，∴为锐角．
20．（12分）设，，均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，，（当且仅当时等号成立）得，
由题设得，即，
所以，即．
（2）因为，，，（当且仅当时等号成立）
故，即，
所以．
21．（12分）已知椭圆具有以下性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，若直线、的斜率都存在，并记为、，那么与之积是与点的位置无关的定值．试对双曲线写出类似的性质，并加以证明．
【答案】见解析．
【解析】类似的性质为：若、是双曲线上关于原点对称的两个点，
点是双曲线上任意一点，若直线、的斜率都存在，并记为、，
那么与之积是与点的位置无关的定值．
证明如下：设点、的坐标为、，则．
∵点在已知双曲线上，∴，
同理，
则（定值）．
22．（12分）已知数列满足，，
试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】见解析．
【解析】由，得，
故，，，
猜想：．
以下用数学归纳法证明猜想正确．
（1）当时，，猜想正确；
（2）假设当时，猜想正确，即，则当时，
，
即时猜想正确，故数列的通项公式是．
