2019-2020学年选修2-2第三章训练卷
数系的扩充与复数的引入（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．设，则（ ）
A． B． C． D．
5．若复数满足（其中为虚数单位），在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若复数满足，则在复数平面上对应的点（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
7．若，其中，则（ ）
A． B． C． D．
8．下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的类比得到向量运算中的；
②由实数运算中的类比得到向量运算中的；
③由向量的性质类比得到复数的性质；
④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
9．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
10．是虚数单位，若（，），则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．设复数，其中为实数，若的实部为，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
12．设复数，若，记事件：实数满足，则事件的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于__________．
14．已知复数，且，则的最小值是________．
15．若复数所对应的点在第三象限，则实数的取值范围是_______．
16．复数，，则的最大值是___________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在复平面内，已知复数对应的向量分别是，是虚数单位，若复数，求．
18．（12分）已知复数（是虚数单位）．
（1）求的值；
（2）复数满足是实数，且，求复数的值．
19．（12分）已知，复数．
（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）若与复数相等，求的值．
20．（12分）已知虚数满足（为虚数单位）．
（1）求的值；
（2）若，求实数的值．
21．（12分）已知复数 (，表示虚数单位)．
（1）若为纯虚数，求复数；
（2）在复平面内，若满足的复数对应的点在直线上，
求复数．
22．（12分）（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）．
（2）设是虚数，是实数，且，
（i）求的值及的实部的取值范围；
（ii）设，求证：为纯虚数；
（iii）在（ii）的条件下求的最小值．
2019-2020学年选修2-2第三章训练卷
数系的扩充与复数的引入（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】根据题意，得，故答案为B．
2．【答案】C
【解析】，，故选C．
3．【答案】B
【解析】由题意，，故复数的虚部为．
故答案为B．
4．【答案】A
【解析】，，
因此，，故选A．
5．【答案】D
【解析】由题意得，
对应的点的坐标为，位于第四象限．本题正确选项D．
6．【答案】A
【解析】复数满足，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，
故z1，z2在复数平面上对应的点关于轴对称，故选A．
7．【答案】B
【解析】依题意，得，
所以，，所以．
故选B．
8．【答案】D
【解析】①设与的夹角为，则，，
则成立；
②由于向量的数量积是一个实数，设，，
所以表示与共线的向量，表示与共线的向量，
但与不一定共线，不一定成立；
③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；
④由于复数在复平面内可表示为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．
故选D．
9．【答案】A
【解析】由，所以．故选A．
10．【答案】B
【解析】因为，所以由复数相等的定义可知，，所以．故选B．
11．【答案】C
【解析】，
因为的实部为，所以，所以的虚部为，故选C．
12．【答案】B
【解析】由得到，，
又直线过的圆心，
所以事件A的概率为．故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由题意可设，由于，
所以，
因此，解得，
因此复数的模为．
14．【答案】
【解析】复数满足，点表示以原点为圆心、为半径的圆．
则表示点对应的复数与点之间的距离，
圆心到点之间的距离，
∴的最小值为，故答案为．
15．【答案】
【解析】由题可知，该复数在第三象限，满足实部，虚部，
则，解不等式组得到，
即或，
所以，故答案为．
16．【答案】
【解析】设，且，故令，，，
所以，，
所以最大值为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】3
【解析】由题图可知，，，，
则，
∴．
18．【答案】（1）5；（2）或．
【解析】（1）共轭复数，故．
（2）设，
，得，
又，得，所以，或，，
因此或．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，，解得或．
的取值范围是．
（2），且与复数相等，
，解得．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）为虚数，可设（且），
则，即
，
整理可得，．
（2）由（1）知，
，，
又，．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
∵为纯虚数，∴，
∴，∴．
（2），
∵复数对应的点在直线上，
∴，∴，∴．
22．（iii）在（ii）的条件下求的最小值．
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析；（iii）．
【解析】（1），
设，则，
，解得，．
（2）（i）设且，
，
为实数，，
由，故，即，
，．
（ii），
由（i）知：，则，
且，，是纯虚数．
（iii），
令，则，，
，
（当且仅当时取等号），，
即的最小值为．
2019-2020学年选修2-2第三章训练卷
数系的扩充与复数的引入（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，得，故答案为B．
2．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，故选C．
3．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，故复数的虚部为．
故答案为B．
4．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
因此，，故选A．
5．若复数满足（其中为虚数单位），在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由题意得，
对应的点的坐标为，位于第四象限．本题正确选项D．
6．若复数满足，则在复数平面上对应的点（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】复数满足，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，
故z1，z2在复数平面上对应的点关于轴对称，故选A．
7．若，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，得，
所以，，所以．
故选B．
8．下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的类比得到向量运算中的；
②由实数运算中的类比得到向量运算中的；
③由向量的性质类比得到复数的性质；
④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】①设与的夹角为，则，，
则成立；
②由于向量的数量积是一个实数，设，，
所以表示与共线的向量，表示与共线的向量，
但与不一定共线，不一定成立；
③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；
④由于复数在复平面内可表示为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．
故选D．
9．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由，所以．故选A．
10．是虚数单位，若（，），则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以由复数相等的定义可知，，所以．故选B．
11．设复数，其中为实数，若的实部为，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为的实部为，所以，所以的虚部为，故选C．
12．设复数，若，记事件：实数满足，则事件的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得到，，
又直线过的圆心，
所以事件A的概率为．故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于__________．
【答案】
【解析】由题意可设，由于，
所以，
因此，解得，
因此复数的模为．
14．已知复数，且，则的最小值是________．
【答案】
【解析】复数满足，点表示以原点为圆心、为半径的圆．
则表示点对应的复数与点之间的距离，
圆心到点之间的距离，
∴的最小值为，故答案为．
15．若复数所对应的点在第三象限，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题可知，该复数在第三象限，满足实部，虚部，
则，解不等式组得到，
即或，
所以，故答案为．
16．复数，，则的最大值是___________．
【答案】
【解析】设，且，故令，，，
所以，，
所以最大值为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在复平面内，已知复数对应的向量分别是，是虚数单位，若复数，求．
【答案】3
【解析】由题图可知，，，，
则，
∴．
18．（12分）已知复数（是虚数单位）．
（1）求的值；
（2）复数满足是实数，且，求复数的值．
【答案】（1）5；（2）或．
【解析】（1）共轭复数，故．
（2）设，
，得，
又，得，所以，或，，
因此或．
19．（12分）已知，复数．
（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）若与复数相等，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，，解得或．
的取值范围是．
（2），且与复数相等，
，解得．
20．（12分）已知虚数满足（为虚数单位）．
（1）求的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）为虚数，可设（且），
则，即
，
整理可得，．
（2）由（1）知，
，，
又，．
21．（12分）已知复数 (，表示虚数单位)．
（1）若为纯虚数，求复数；
（2）在复平面内，若满足的复数对应的点在直线上，
求复数．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
∵为纯虚数，∴，
∴，∴．
（2），
∵复数对应的点在直线上，
∴，∴，∴．
22．（12分）（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）．
（2）设是虚数，是实数，且，
（i）求的值及的实部的取值范围；
（ii）设，求证：为纯虚数；
（iii）在（ii）的条件下求的最小值．
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析；（iii）．
【解析】（1），
设，则，
，解得，．
（2）（i）设且，
，
为实数，，
由，故，即，
，．
（ii），
由（i）知：，则，
且，，是纯虚数．
（iii），
令，则，，
，
（当且仅当时取等号），，
即的最小值为．
