2019-2020学年选修2-2第三章训练卷
数系的扩充与复数的引入（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设i为虚数单位，复数等于（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数(是虚数单位)，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
6．设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
7．若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之差为（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．2
9．，为虚数单位，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，是虚数单位，若，，则（ ）
A．1或 B．或 C． D．
12．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，满足，则；
：若复数，则．
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．当时，有，则__________．
14．己知复数和均是纯虚数，则的模为________．
15．若（其中i是虚数单位），则实数_____．
16．已知复数的共轭复数是，且，则的虚部是__________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知，复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围．
18．（12分）复数，，其中．
（1）若，求的模；
（2）若是实数，求实数的值．
19．（12分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
20．（12分）已知复数，，其中．
（1）若复数为实数，求的取值范围；
（2）求的最小值．
21．（12分）已知复数，i为虚数单位．
（1）设，求；
（2）若，求实数的值．
22．（12分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限．
（1）求复数；
（2）设，且，求实数的值．
2019-2020学年选修2-2第三章训练卷
数系的扩充与复数的引入（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】．
2．【答案】B
【解析】，对应点为，在第二象限．
3．【答案】B
【解析】，所以．
4．【答案】D
【解析】．
5．【答案】D
【解析】，
因此复数的虚部为．
6．【答案】D
【解析】，，．
7．【答案】C
【解析】为纯虚数，所以，解得．
8．【答案】A
【解析】，，则复数的实部为，虚部为，
因此的实部与虚部之差为．
9．【答案】A
【解析】由，得，
即，．
10．【答案】D
【解析】由，得．
11．【答案】A
【解析】由题意，复数，则，
所以，所以，即或．
12．【答案】A
【解析】对于命题，设复数，且、不同时为零，
则，
若，则，所以，该命题正确；
对于命题，当，则，但，该命题错误；
对于命题，取，，则，但，该命题错误；
对于命题，当时，可设，则，该命题正确．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】1
【解析】∵，∴，即．
14．【答案】1
【解析】根据题意设，则，
是纯虚数，，故，则，故答案为1．
15．【答案】
【解析】因为，所以，
所以．
16．【答案】
【解析】设复数，．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
因为为纯虚数，所以，且，则．
（2）由（1）知，，则点位于第二象限，
所以，得．
所以的取值范围是．
18．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1），则，则，
∴的模为．
（2）
因为是实数，所以，解得或，
故或．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】∵，∴，
∴．
又∵为纯虚数，∴，解得．∴．
（1），∴．
（2）∵，∴，
又∵复数所对应的点在第一象限，∴，解得．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】由复数为实数，则，解得．
（2）因为，
所以，
故的最小值为，此时．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由复数，得，
则，
故．
（2），
由复数相等的条件得，解得．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，
则，
，解得或（舍去）．
．
（2），，
，
，．
2019-2020学年选修2-2第三章训练卷
数系的扩充与复数的引入（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设i为虚数单位，复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．
2．复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，对应点为，在第二象限．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以．
4．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．
5．已知复数(是虚数单位)，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因此复数的虚部为．
6．设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，．
7．若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为纯虚数，所以，解得．
8．已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之差为（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】，，则复数的实部为，虚部为，
因此的实部与虚部之差为．
9．，为虚数单位，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
即，．
10．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得．
11．已知，是虚数单位，若，，则（ ）
A．1或 B．或 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，复数，则，
所以，所以，即或．
12．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，满足，则；
：若复数，则．
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于命题，设复数，且、不同时为零，
则，
若，则，所以，该命题正确；
对于命题，当，则，但，该命题错误；
对于命题，取，，则，但，该命题错误；
对于命题，当时，可设，则，该命题正确．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．当时，有，则__________．
【答案】1
【解析】∵，∴，即．
14．己知复数和均是纯虚数，则的模为________．
【答案】1
【解析】根据题意设，则，
是纯虚数，，故，则，故答案为1．
15．若（其中i是虚数单位），则实数_____．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以．
16．已知复数的共轭复数是，且，则的虚部是__________．
【答案】
【解析】设复数，．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知，复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
因为为纯虚数，所以，且，则．
（2）由（1）知，，则点位于第二象限，
所以，得．
所以的取值范围是．
18．（12分）复数，，其中．
（1）若，求的模；
（2）若是实数，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1），则，则，
∴的模为．
（2）
因为是实数，所以，解得或，
故或．
19．（12分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】∵，∴，∴．
又∵为纯虚数，∴，解得．∴．
（1），∴．
（2）∵，∴，
又∵复数所对应的点在第一象限，∴，解得．
20．（12分）已知复数，，其中．
（1）若复数为实数，求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】由复数为实数，则，解得．
（2）因为，
所以，
故的最小值为，此时．
21．（12分）已知复数，i为虚数单位．
（1）设，求；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由复数，得，
则，
故．
（2），
由复数相等的条件得，解得．
22．（12分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限．
（1）求复数；
（2）设，且，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，则，
，解得或（舍去）．
．
（2），，
，
，．
