2019-2020学年选修2-2第一章训练卷
导数及其应用（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数，则当，时，的值为（ ）
A．0．40 B．0．41 C．0．43 D．0．44
2．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．不确定
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在处可导，则的值（ ）
A．与，都有关
B．仅与有关，而与无关
C．仅与有关，而与无关
D．与，均无关
5．已知函数的图象在点处的切线方程是，
则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间内有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
8．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．设，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．某产品的销售收入（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，生产成本（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，为使利润最大，应生产该产品（ ）
A．千台 B．千台 C．千台 D．千台
11．函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，恒不为，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．若，则__________．
14．正弦曲线（）上切线的斜率等于的切点坐标为__________．
15．若某物体以（的单位：，的单位：）的速度运动，则其在前内的平均速度为__________．
16．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为__________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知函数的单调递增区间为，求，的值．
18．（12分）已知函数，且，．
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在处的切线的倾斜角．
19．（12分）已知函数，当时，有极大值．
（1）求，的值；
（2）求函数的极小值．
20．（12分）求曲线及直线，所围成图形的面积．
21．（12分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为海里/时时，燃料费是元/时，而其他与速度无关的费用是元/时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？
22．（12分）设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
2019-2020学年选修2-2第一章训练卷
导数及其应用（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】∵，，
∴，故选B．
2．【答案】A
【解析】∵，∴．
3．【答案】D
【解析】
．故选D．
4．【答案】B
【解析】由导数的定义可知，，仅与有关，
而与无关．故选B．
5．【答案】D
【解析】∵在直线上，∴，∴．
又，∴．
6．【答案】D
【解析】，令，得，
即函数的单调递增区间是．
7．【答案】A
【解析】，要使在区间内有极小值，
又的图象关于轴对称，则在内由负变正，
即，即，解得．
8．【答案】D
【解析】由，解得或或，
所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形面积为
．
9．【答案】C
【解析】，
令，得或．
∵，∴，∴当时，取得极大值；
当时，取极小值，且极小值小于零．故选C．
10．【答案】A
【解析】设利润为，则，
所以．令，解得（舍去）或，
经检验知既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以应生产6千台．
11．【答案】B
【解析】，令，得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以的最大值为．
12．【答案】D
【解析】令（恒不为），则为奇函数，．
∵当时，，
∴当时，，∴在内为增函数，
又，∴，∴当时，；
当时，，当时，．
而不等式和为同解不等式，
∴不等式的解集为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】∵，∴．故．
14．【答案】或
【解析】设切点坐标为，则由题意可得，
所以，或，．
故切点坐标为或．
15．【答案】
【解析】由定积分的物理意义，
得（），
（）．
16．【答案】
【解析】用料最省，即水桶的表面积最小，设圆柱形水桶的表面积为，底面半径为，则水桶的高为，所以．
求导，得．
令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】，．
【解析】，因为函数的递增区间为，
所以的解集为，
也就是说，和是方程的两根，即，
解得．
所以，的值分别为，．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以．
由已知得，解得，
故．
（2）由（1）知，，则，
即曲线在处的切线的斜率等于，故其倾斜角等于．
19．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），当时，，
由题意得，故，解得．
经检验知，符合题意，故，．
（2）由（1），得，则，令，得或．
易知是函数的极小值点，所以．
20．【答案】．
【解析】如图，由，得点的坐标为；由，得点的坐标为；由，得点的坐标为，
所求面积为
．
21．【答案】轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．
【解析】设速度为海里/时的燃料费是元/时，由题设的比例关系得，其中为比例系数，由，，得，于是．
每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为时，所以航行海里的总费用为．
所以．令，解得．
因为当时，；当时，，所以当时，取得最小值，
故当轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．
22．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为，所以，
令，得，，
所以曲线在点处的切线方程为，
由点在切线上可得，故．
（2）由（1）知，，．
令，解得，，
当或时，，故的单调递增区间为，；
当时，，故的单调递减区间为．
由此可知在处取得极大值，
在处取得极小值．
2019-2020学年选修2-2第一章训练卷
导数及其应用（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数，则当，时，的值为（ ）
A．0．40 B．0．41 C．0．43 D．0．44
【答案】B
【解析】∵，，
∴，故选B．
2．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】∵，∴．
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
．故选D．
4．若函数在处可导，则的值（ ）
A．与，都有关
B．仅与有关，而与无关
C．仅与有关，而与无关
D．与，均无关
【答案】B
【解析】由导数的定义可知，，仅与有关，
而与无关．故选B．
5．已知函数的图象在点处的切线方程是，
则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵在直线上，∴，∴．
又，∴．
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，令，得，
即函数的单调递增区间是．
7．已知函数在区间内有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，要使在区间内有极小值，
又的图象关于轴对称，则在内由负变正，
即，即，解得．
8．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，解得或或，
所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形面积为
．
9．设，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
令，得或．
∵，∴，∴当时，取得极大值；
当时，取极小值，且极小值小于零．故选C．
10．某产品的销售收入（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，生产成本（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数，且关系式为，为使利润最大，应生产该产品（ ）
A．千台 B．千台 C．千台 D．千台
【答案】A
【解析】设利润为，则，
所以．令，解得（舍去）或，
经检验知既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以应生产6千台．
11．函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，令，得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以的最大值为．
12．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，恒不为，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令（恒不为），则为奇函数，．
∵当时，，
∴当时，，∴在内为增函数，
又，∴，∴当时，；
当时，，当时，．
而不等式和为同解不等式，
∴不等式的解集为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．若，则__________．
【答案】
【解析】∵，∴．故．
14．正弦曲线（）上切线的斜率等于的切点坐标为__________．
【答案】或
【解析】设切点坐标为，则由题意可得，
所以，或，．
故切点坐标为或．
15．若某物体以（的单位：，的单位：）的速度运动，则其在前内的平均速度为__________．
【答案】
【解析】由定积分的物理意义，
得（），
（）．
16．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为__________．
【答案】
【解析】用料最省，即水桶的表面积最小，设圆柱形水桶的表面积为，底面半径为，则水桶的高为，所以．
求导，得．
令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知函数的单调递增区间为，求，的值．
【答案】，．
【解析】，因为函数的递增区间为，
所以的解集为，
也就是说，和是方程的两根，即，
解得．
所以，的值分别为，．
18．（12分）已知函数，且，．
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在处的切线的倾斜角．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以．
由已知得，解得，
故．
（2）由（1）知，，则，
即曲线在处的切线的斜率等于，故其倾斜角等于．
19．（12分）已知函数，当时，有极大值．
（1）求，的值；
（2）求函数的极小值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），当时，，
由题意得，故，解得．
经检验知，符合题意，故，．
（2）由（1），得，则，令，得或．
易知是函数的极小值点，所以．
20．（12分）求曲线及直线，所围成图形的面积．
【答案】．
【解析】如图，由，得点的坐标为；由，得点的坐标为；由，得点的坐标为，
所求面积为
．
21．（12分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为海里/时时，燃料费是元/时，而其他与速度无关的费用是元/时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？
【答案】轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．
【解析】设速度为海里/时的燃料费是元/时，由题设的比例关系得，其中为比例系数，由，，得，于是．
每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为时，所以航行海里的总费用为．
所以．令，解得．
因为当时，；当时，，所以当时，取得最小值，
故当轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．
22．（12分）设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为，所以，
令，得，，
所以曲线在点处的切线方程为，
由点在切线上可得，故．
（2）由（1）知，，．
令，解得，，
当或时，，故的单调递增区间为，；
当时，，故的单调递减区间为．
由此可知在处取得极大值，
在处取得极小值．
