2019-2020学年选修2-2第二章训练卷
推理与证明（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
2．设，已知，，则猜想（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值（ ）
A．大于 B．小于 C．不小于 D．不大于
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设且为偶数真，则还需利用归纳假设再证（ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
6．有以下结论：
（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设；
（2）已知，，，求证方程的两根的绝对值都小于，用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于．下列说法中正确的是（ ）
A．（1）与（2）的假设都错误
B．（1）与（2）的假设都正确
C．（1）的假设正确；（2）的假设错误
D．（1）的假设错误；（2）的假设正确
7．已知，，，，，
，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，是的内角，，对应的三边，若满足，即，则为直角三角形，类比此结论可知，若满足
，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
9．观察下列事实：的不同整数解的个数为，的不同整数解的个数为，的不同整数解的个数为，，则的不同整数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是（ ）
A．若，总有成立，则数列是等差数列
B．若，总有成立，则数列是等比数列
C．若，总有成立，则数列是等差数列
D．若，总有成立，则数列是等比数列
11．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列的前项，如下表所示：
按如此规律下去，则（ ）
A． B． C． D．
12．设，，定义运算“”和“”如下：，；
若正数，，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为 ．
14．设函数，观察：
，
，
，
，
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， ．
15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“”类比得到“”；
②“”类比得到“”；
③“，”类比得到“，”；
④“”类比得到“”；
⑤“”类比得到“”；
⑥“”类比得到“”．
以上类比得到的结论正确的是 ．
16．将正整数分成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解．当且，是正整数的最佳分解时，我们规定函数，例如：．
关于函数有下列叙述：①；②；③；④，其中所有的正确的序号为 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）观察下面所示的“三角数阵”
记第行的第个数为，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，
完成下列各题：
（1）依次写出、、、；
（2）归纳出与的关系式并求出数列的通项公式．
18．（12分）若、、均为实数，且，，，求证：、、中至少有一个大于．
19．（12分）（1）求证：；
（2）已知，，均为正实数，且，求证：．
20．（12分）已知的三个内角，，为等差数列，且，，分别为角，，的对边，求证：．
21．（12分）试求常数的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分．
22．（12分）已知函数满足条件：①，
②，③，④当时，有．
（1）求，的值；
（2）由，，的值，猜想的解析式；
（3）证明你猜想的的解析式的正确性．
2019-2020学年选修2-2第二章训练卷
推理与证明（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
【解析】该推理的推理形式不符合三段论推理的要求，故推出的结论错误．
2．【答案】B
【解析】∵，
，
，
∴猜想．
3．【答案】D
【解析】由，
知．
4．【答案】C
【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为．
5．【答案】B
【解析】由于是偶数，故是后面的第个偶数．
6．【答案】D
【解析】用反证法证题时一定要将对立面找全，在（1）中应假设．
故（1）的假设是错误的，而（2）的假设是正确的．
7．【答案】D
【解析】由已知，有，，，，，
可以归纳出：
，，，．
故．
8．【答案】A
【解析】由题意知角最大，由，
得，
又，，所以，即，
所以，所以，故为锐角三角形．
9．【答案】B
【解析】通过观察可以发现的值为，，时，
对应的的不同整数解的个数为，，，
可推出时，对应的不同整数解个数为，
∴的不同整数解的个数为．
10．【答案】A
【解析】∵对总有，则存在实数，使，
∴，∴是等差数列．
11．【答案】C
【解析】由，，，，组成的数列恰好对应数列，，，，
故，所以．
12．【答案】C
【解析】从定义知，，即求，中的最小值；
，即求，中的最大值；
假设，，则，与已知相矛盾，
则假设不成立，故，即；
假设，，则，与已知相矛盾，则假设不成立，
故，即．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】A
【解析】由甲、丙的回答易知甲去过城市和城市，乙去过城市或城市，结合乙的回答可得乙去过城市．
14．【答案】
【解析】由已知可归纳如下：，
，，
，，．
15．【答案】①②
【解析】①②都正确，由向量不能相除，故③⑥错误，
④可由数量积定义判断，故错误；⑤向量中结合律不成立，故错误．
16．【答案】①③
【解析】利用题干中提供的新定义信息可得，
对于①：∵，∴，①正确；
对于②，∵，∴，②不正确；
对于③，∵，∴，③正确；
对于④，
∵，
∴，④不正确．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1），，，；（2），．
【解析】（1），，，．
（2）∵，，，
由此归纳．
由，累加得，
且当时，，
故．
18．【答案】证明见解析．
【解析】假设、、都不大于，且，，，∴．
而
．
∴，这与矛盾．
故、、中至少有一个大于．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，，（当且仅当时取等号）
将此三式相加得，
∴．
（2）∵，，均为正实数，且，
∴
（当且仅当时取等号）
故．
20．【答案】证明见解析．
【解析】要证明，
即证，
只需证，化简得，
即，
∴只需证．
∵的三个内角，，成等差数列，∴，
∴，即成立．
∴成立．
21．【答案】．
【解析】假设抛物线上存在两点，关于直线对称，
由题意易知，故满足，
消去，得．
由，得．
故，即当时，抛物线上存在两点关于直线对称．
而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为．
22．【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）∵，
又，∴．
又∵，
，且，∴．
（2）由，，，猜想．
（3）用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，，函数解析式成立．
（ⅱ）假设时，，函数解析式成立．
①若，．
②若，
，
，
∴．
即当时，函数解析式成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，成立．
2019-2020学年选修2-2第二章训练卷
推理与证明（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
【答案】C
【解析】该推理的推理形式不符合三段论推理的要求，故推出的结论错误．
2．设，已知，，则猜想（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
，
，
∴猜想．
3．已知，则的值（ ）
A．大于 B．小于 C．不小于 D．不大于
【答案】D
【解析】由，
知．
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为．
5．已知为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设且为偶数真，则还需利用归纳假设再证（ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
【答案】B
【解析】由于是偶数，故是后面的第个偶数．
6．有以下结论：
（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设；
（2）已知，，，求证方程的两根的绝对值都小于，用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于．下列说法中正确的是（ ）
A．（1）与（2）的假设都错误
B．（1）与（2）的假设都正确
C．（1）的假设正确；（2）的假设错误
D．（1）的假设错误；（2）的假设正确
【答案】D
【解析】用反证法证题时一定要将对立面找全，在（1）中应假设．
故（1）的假设是错误的，而（2）的假设是正确的．
7．已知，，，，，
，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，有，，，，，
可以归纳出：
，，，．
故．
8．已知，，是的内角，，对应的三边，若满足，即，则为直角三角形，类比此结论可知，若满足
，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】A
【解析】由题意知角最大，由，
得，
又，，所以，即，
所以，所以，故为锐角三角形．
9．观察下列事实：的不同整数解的个数为，的不同整数解的个数为，的不同整数解的个数为，，则的不同整数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】通过观察可以发现的值为，，时，
对应的的不同整数解的个数为，，，
可推出时，对应的不同整数解个数为，
∴的不同整数解的个数为．
10．已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是（ ）
A．若，总有成立，则数列是等差数列
B．若，总有成立，则数列是等比数列
C．若，总有成立，则数列是等差数列
D．若，总有成立，则数列是等比数列
【答案】A
【解析】∵对总有，则存在实数，使，
∴，∴是等差数列．
11．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列的前项，如下表所示：
按如此规律下去，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，，，组成的数列恰好对应数列，，，，
故，所以．
12．设，，定义运算“”和“”如下：，；
若正数，，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】从定义知，，即求，中的最小值；
，即求，中的最大值；
假设，，则，与已知相矛盾，
则假设不成立，故，即；
假设，，则，与已知相矛盾，则假设不成立，
故，即．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为 ．
【答案】A
【解析】由甲、丙的回答易知甲去过城市和城市，乙去过城市或城市，结合乙的回答可得乙去过城市．
14．设函数，观察：
，
，
，
，
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， ．
【答案】
【解析】由已知可归纳如下：，
，，
，，．
15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“”类比得到“”；
②“”类比得到“”；
③“，”类比得到“，”；
④“”类比得到“”；
⑤“”类比得到“”；
⑥“”类比得到“”．
以上类比得到的结论正确的是 ．
【答案】①②
【解析】①②都正确，由向量不能相除，故③⑥错误，
④可由数量积定义判断，故错误；⑤向量中结合律不成立，故错误．
16．将正整数分成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解．当且，是正整数的最佳分解时，我们规定函数，例如：．
关于函数有下列叙述：①；②；③；
④，其中所有的正确的序号为 ．
【答案】①③
【解析】利用题干中提供的新定义信息可得，
对于①：∵，∴，①正确；
对于②，∵，∴，②不正确；
对于③，∵，∴，③正确；
对于④，
∵，
∴，④不正确．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）观察下面所示的“三角数阵”
记第行的第个数为，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，
完成下列各题：
（1）依次写出、、、；
（2）归纳出与的关系式并求出数列的通项公式．
【答案】（1），，，；（2），．
【解析】（1），，，．
（2）∵，，，
由此归纳．
由，累加得，
且当时，，
故．
18．（12分）若、、均为实数，且，，，求证：、、中至少有一个大于．
【答案】证明见解析．
【解析】假设、、都不大于，且，，，∴．
而
．
∴，这与矛盾．
故、、中至少有一个大于．
19．（12分）（1）求证：；
（2）已知，，均为正实数，且，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，，（当且仅当时取等号）
将此三式相加得，
∴．
（2）∵，，均为正实数，且，
∴
（当且仅当时取等号）
故．
20．（12分）已知的三个内角，，为等差数列，且，，分别为角，，的对边，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】要证明，
即证，
只需证，化简得，
即，
∴只需证．
∵的三个内角，，成等差数列，∴，
∴，即成立．
∴成立．
21．（12分）试求常数的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分．
【答案】．
【解析】假设抛物线上存在两点，关于直线对称，
由题意易知，故满足，
消去，得．
由，得．
故，即当时，抛物线上存在两点关于直线对称．
而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为．
22．（12分）已知函数满足条件：①，
②，③，④当时，有．
（1）求，的值；
（2）由，，的值，猜想的解析式；
（3）证明你猜想的的解析式的正确性．
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）∵，
又，∴．
又∵，
，且，∴．
（2）由，，，猜想．
（3）用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，，函数解析式成立．
（ⅱ）假设时，，函数解析式成立．
①若，．
②若，
，
，
∴．
即当时，函数解析式成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，成立．
