人教版选修1-4 1.4直角三角形的射影定理课件（67张）
文档属性
| 名称 | 人教版选修1-4 1.4直角三角形的射影定理课件（67张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-14 22:23:21 | ||
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文档简介
课件67张PPT。第一讲——相似三角形的判定及有关性质四 直角三角形的射影定理[学习目标]
1.理解直角三角形的射影定理.
2.理解直角三角形射影定理的逆定理.
3.能应用直角三角形的射影定理及其逆定理解决相关的几何问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功4分层训练 解疑纠偏，训练检测[知识链接]已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D. (1)图中有几条线段？ 答案 6条，分别记为AB，AC，BC，CD，AD，BD. (2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？
答案 由图中△ACD∽△CBD∽△ABC，可分别写出三组比例式：(3)有几个带有比例中项的比例式？由上可得到哪些等积式？
答案 只有三个比例中项的表达式：可得到等积式：CD2＝AD·BD，BC2＝BD·BA，AC2＝AD·AB .[预习导引]1.射影的有关概念
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的 .
(2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.正射影2.直角三角形的射影定理
(1)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 .
(2)符号表示：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB
上的高，则AC2＝ ；BC2＝ ；CD2
＝ .比例中项比例中项AD·ABBD·BAAD·BD要点一 用射影定理求线段的长例1 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，DB＝8，求CD，AC和BC的长.解 ∵∠ACB是半圆上的圆周角，∴∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形.
由射影定理可得
CD2＝AD·BD＝2×8＝16，解得CD＝4，规律方法 应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.在求直角三角形的边长时，根据已知的条件，可以应用射影定理，有时也可应用勾股定理.跟踪演练1 在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，若AD＝27，BD＝3，则AC＝__________，BC＝__________，
CD＝________.
解析 由射影定理，得CD2＝AD·BD，则CD＝9.
根据勾股定理，得9要点二 用射影定理证明等式例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.试证明：(1)AB·AC＝AD·BC；证明 在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AB·AC＝BC·AD.(2)AD3＝BC·BE·CF.
证明 在Rt△ADB中，DE⊥AB，
由射影定理得BD2＝BE·AB.
同理CD2＝CF·AC，
∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. ①
又在Rt△BAC中，AD⊥BC，
∴AD2＝BD·DC， ②∴由①②两式得AD4＝BE·CF·AB·AC，由(1)知AB·AC＝BC·AD代入上式得AD3＝BE·CF·BC.规律方法 利用直角三角形的射影定理证明恒等式
(1)结合图形，仔细分析题目的结论；
(2)由于射影定理中可供选择的等式较多，需要合理选择.跟踪演练2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.证明 因为AD⊥BC，所以△ADB与△ADC都是直角三角形.
在Rt△ADB中，由于DE⊥AB于E，
所以AD2＝AB·AE;
在Rt△ADC中，由于DF⊥AC于F，
所以AD2＝AF·AC，
所以AE·AB＝AF·AC.要点三 射影定理的综合应用例3 如图所示，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.解 在△ABC中，设AC为x，
∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，
根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.
再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，规律方法 (1)由射影定理可得三角形相似，可求相似比、三角形边长等.
(2)射影定理中有三个等式，根据题目需要恰当地进行选择.跟踪演练3 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为( )
A.2∶3 B.4∶9
C. ∶3 D.不确定解析 如题图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
又∵AD∶BD＝2∶3，
令AD＝2x，BD＝3x(x>0)，答案 C12341.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于
点D，下列说法中正确的个数是( )
①AC·BC＝AB·CD ②AC2＝AD·DB
③BC2＝BD·BA ④CD2＝AD·DB
A.1 B.2 C.3 D.3解析 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，1234由BC2＝BD·BA，知③正确；
∵△ACD∽△CBD，∴AC2＝AD·AB，CD2＝AD·DB，故②错误，④正确.
正确的个数是3个.故选C.
答案 C12342.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC与BC的比是( )1234解析 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，
∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝3∶2.答案 D12343.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥
AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝________.解析 由题意知AC2＝AD·AB，812344.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，求证：△ABC为直角三角形.1234证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.
又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，
∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD.
又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，
即△ABC为直角三角形.课堂小结1.(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影；
(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影.
2.应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题.3.直角三角形射影定理的逆定理
如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.1234一、基础达标56789101112131.在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
则相似三角形共有( )
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对解析 如题图所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，△ABD∽△CBA，共有3对.D123456789101112132.在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是( )解析 如图所示，由射影定理得CD2＝AD·BD，
又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0).
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，C1234567891011121312345678910111213解析 由题意得，CD2＝AD·BD，又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，答案 A123456789101112134.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD的长为( )
A.msin2α B.mcos2α
C.msin αcos α D.msin αtan α12345678910111213解析 由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，
即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.
又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，
∴AD＝mcos αsin α.故选C.
答案 C123456789101112135.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝ ，则CD＝___________.12345678910111213解析 ∵AB是半圆O的直径，
∴△ABC是直角三角形，CD是斜边上的一条高，123456789101112136.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝ ，则CD＝______，BC＝________.12345678910111213得AC＝5，12345678910111213123456789101112137.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F，且BD·CF2＝CD·EF2.求证：EF∶DF＝BC∶AC.12345678910111213证明 ∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD.即AD2＝BD·CD，∴∠BAC＝90°.∴AC2＝BC·CD.
∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF.12345678910111213即EF∶DF＝BC∶AC.二、能力提升123456789101112138.设P1，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点.则有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；12345678910111213②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号)12345678910111213解析 ①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，根据两点之间线段最短，则C是A，B，C的中位点，正确；
②举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5＋2.5＝7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，
所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；12345678910111213③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点
为O，P是任意一点，则根据三角形两边
之和大于第三边得PA＋PB＋PC＋PD≥
AC＋BD＝OA＋OB＋OC＋OD，12345678910111213所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.正确.
故答案为：①④.
答案 ①④123456789101112139.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则 的值为___________.12345678910111213解析 设圆的半径为R，在Rt△ODC中，∵DE⊥OC，
由射影定理得OD2＝OE·OC，答案 81234567891011121310.如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，则CD的长为___________.12345678910111213解析 在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，
满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.
∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°，
故在Rt△BAC中，AD⊥BC，12345678910111213由射影定理知AD2＝BD·CD，1234567891011121311.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线.
求证：CD·AC＝BC·AD.
证明 在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，
∴CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.
∴CD2·AC2＝BD·AB·AD2＝BC2·AD2.
∴CD·AC＝BC·AD.1234567891011121312.已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCE. 求证：GD2＝GF·GH.12345678910111213证明 ∵∠H＝∠BCE，∠CBE＝∠HBG，
∴△BCE∽△BHG.又 CE⊥BH，
∴∠BGH＝∠BEC＝90°，
∴HG⊥BC .
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG， ①
∵∠H＝∠BCF, ∠FGC＝∠BGH＝90°，12345678910111213∴BG·GC＝GH·FG. ②
由①②得，GD2＝GH·FG.三、探究与创新1234567891011121313.如图，已知Rt△ABC的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.12345678910111213(1)求直角三角形的三边长；
解 如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，
过D作DE⊥AB于点E，
由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48，12345678910111213又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.12345678910111213(2)求两直角边在斜边上的射影的长.
解 作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，
1.理解直角三角形的射影定理.
2.理解直角三角形射影定理的逆定理.
3.能应用直角三角形的射影定理及其逆定理解决相关的几何问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功4分层训练 解疑纠偏，训练检测[知识链接]已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D. (1)图中有几条线段？ 答案 6条，分别记为AB，AC，BC，CD，AD，BD. (2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？
答案 由图中△ACD∽△CBD∽△ABC，可分别写出三组比例式：(3)有几个带有比例中项的比例式？由上可得到哪些等积式？
答案 只有三个比例中项的表达式：可得到等积式：CD2＝AD·BD，BC2＝BD·BA，AC2＝AD·AB .[预习导引]1.射影的有关概念
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的 .
(2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.正射影2.直角三角形的射影定理
(1)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 .
(2)符号表示：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB
上的高，则AC2＝ ；BC2＝ ；CD2
＝ .比例中项比例中项AD·ABBD·BAAD·BD要点一 用射影定理求线段的长例1 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，DB＝8，求CD，AC和BC的长.解 ∵∠ACB是半圆上的圆周角，∴∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形.
由射影定理可得
CD2＝AD·BD＝2×8＝16，解得CD＝4，规律方法 应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.在求直角三角形的边长时，根据已知的条件，可以应用射影定理，有时也可应用勾股定理.跟踪演练1 在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，若AD＝27，BD＝3，则AC＝__________，BC＝__________，
CD＝________.
解析 由射影定理，得CD2＝AD·BD，则CD＝9.
根据勾股定理，得9要点二 用射影定理证明等式例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.试证明：(1)AB·AC＝AD·BC；证明 在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AB·AC＝BC·AD.(2)AD3＝BC·BE·CF.
证明 在Rt△ADB中，DE⊥AB，
由射影定理得BD2＝BE·AB.
同理CD2＝CF·AC，
∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. ①
又在Rt△BAC中，AD⊥BC，
∴AD2＝BD·DC， ②∴由①②两式得AD4＝BE·CF·AB·AC，由(1)知AB·AC＝BC·AD代入上式得AD3＝BE·CF·BC.规律方法 利用直角三角形的射影定理证明恒等式
(1)结合图形，仔细分析题目的结论；
(2)由于射影定理中可供选择的等式较多，需要合理选择.跟踪演练2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.证明 因为AD⊥BC，所以△ADB与△ADC都是直角三角形.
在Rt△ADB中，由于DE⊥AB于E，
所以AD2＝AB·AE;
在Rt△ADC中，由于DF⊥AC于F，
所以AD2＝AF·AC，
所以AE·AB＝AF·AC.要点三 射影定理的综合应用例3 如图所示，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.解 在△ABC中，设AC为x，
∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，
根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.
再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，规律方法 (1)由射影定理可得三角形相似，可求相似比、三角形边长等.
(2)射影定理中有三个等式，根据题目需要恰当地进行选择.跟踪演练3 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为( )
A.2∶3 B.4∶9
C. ∶3 D.不确定解析 如题图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
又∵AD∶BD＝2∶3，
令AD＝2x，BD＝3x(x>0)，答案 C12341.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于
点D，下列说法中正确的个数是( )
①AC·BC＝AB·CD ②AC2＝AD·DB
③BC2＝BD·BA ④CD2＝AD·DB
A.1 B.2 C.3 D.3解析 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，1234由BC2＝BD·BA，知③正确；
∵△ACD∽△CBD，∴AC2＝AD·AB，CD2＝AD·DB，故②错误，④正确.
正确的个数是3个.故选C.
答案 C12342.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC与BC的比是( )1234解析 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，
∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝3∶2.答案 D12343.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥
AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝________.解析 由题意知AC2＝AD·AB，812344.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，求证：△ABC为直角三角形.1234证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.
又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，
∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD.
又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，
即△ABC为直角三角形.课堂小结1.(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影；
(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影.
2.应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题.3.直角三角形射影定理的逆定理
如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.1234一、基础达标56789101112131.在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
则相似三角形共有( )
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对解析 如题图所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，△ABD∽△CBA，共有3对.D123456789101112132.在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是( )解析 如图所示，由射影定理得CD2＝AD·BD，
又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0).
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，C1234567891011121312345678910111213解析 由题意得，CD2＝AD·BD，又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，答案 A123456789101112134.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD的长为( )
A.msin2α B.mcos2α
C.msin αcos α D.msin αtan α12345678910111213解析 由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，
即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.
又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，
∴AD＝mcos αsin α.故选C.
答案 C123456789101112135.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝ ，则CD＝___________.12345678910111213解析 ∵AB是半圆O的直径，
∴△ABC是直角三角形，CD是斜边上的一条高，123456789101112136.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝ ，则CD＝______，BC＝________.12345678910111213得AC＝5，12345678910111213123456789101112137.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F，且BD·CF2＝CD·EF2.求证：EF∶DF＝BC∶AC.12345678910111213证明 ∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD.即AD2＝BD·CD，∴∠BAC＝90°.∴AC2＝BC·CD.
∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF.12345678910111213即EF∶DF＝BC∶AC.二、能力提升123456789101112138.设P1，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点.则有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；12345678910111213②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号)12345678910111213解析 ①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，根据两点之间线段最短，则C是A，B，C的中位点，正确；
②举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5＋2.5＝7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，
所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；12345678910111213③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点
为O，P是任意一点，则根据三角形两边
之和大于第三边得PA＋PB＋PC＋PD≥
AC＋BD＝OA＋OB＋OC＋OD，12345678910111213所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.正确.
故答案为：①④.
答案 ①④123456789101112139.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则 的值为___________.12345678910111213解析 设圆的半径为R，在Rt△ODC中，∵DE⊥OC，
由射影定理得OD2＝OE·OC，答案 81234567891011121310.如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，则CD的长为___________.12345678910111213解析 在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，
满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.
∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°，
故在Rt△BAC中，AD⊥BC，12345678910111213由射影定理知AD2＝BD·CD，1234567891011121311.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线.
求证：CD·AC＝BC·AD.
证明 在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，
∴CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.
∴CD2·AC2＝BD·AB·AD2＝BC2·AD2.
∴CD·AC＝BC·AD.1234567891011121312.已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCE. 求证：GD2＝GF·GH.12345678910111213证明 ∵∠H＝∠BCE，∠CBE＝∠HBG，
∴△BCE∽△BHG.又 CE⊥BH，
∴∠BGH＝∠BEC＝90°，
∴HG⊥BC .
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG， ①
∵∠H＝∠BCF, ∠FGC＝∠BGH＝90°，12345678910111213∴BG·GC＝GH·FG. ②
由①②得，GD2＝GH·FG.三、探究与创新1234567891011121313.如图，已知Rt△ABC的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.12345678910111213(1)求直角三角形的三边长；
解 如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，
过D作DE⊥AB于点E，
由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48，12345678910111213又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.12345678910111213(2)求两直角边在斜边上的射影的长.
解 作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，