高中数学必修五教案 1. 1.1　正弦定理

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高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
1．1正弦定理和余弦定理
1．1.1　正弦定理
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；
(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．
2．过程与方法
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法．
3.情感、态度与价值观
(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；
(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自身的文化修养．
教学重点
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
教学难点
正弦定理的发现和证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断．
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】　 正弦定理
1．如图在Rt△ABC中，C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∠A、∠B与∠C的正弦值有怎样的关系？
【提示】　∵sin A＝，sin B＝，
∴＝＝c.
　又∵sin C＝sin 90°＝1，∴＝＝.
2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？
【提示】　成立．
3．钝角三角形中呢？
【提示】　成立．
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：
＝＝.
2．三角形中的元素与解三角形
(1)三角形的元素
把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形
例1在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
【思路探究】　(1)由sin B＝能解出∠B的大小吗？∠B唯一吗？
(2)能用正弦定理求出边b吗？
(3)怎样求其他边与角的大小？
【自主解答】　∵sin B＝，
∴B＝30°或150°，
当B＝30°时，由A＝60°得，C＝90°；
当B＝150°时，不合题意，舍去．
由正弦定理可得：＝＝.
故b＝·a＝×3＝，
c＝·a＝×3＝2.
1．解答本题时首先应把已知条件sin B＝进行转化，把问题化归为已知两角及一边解三角形问题，要注意当B＝150°时不合题意．
2．解决已知两角及一边类型的解题方法是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等于(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C. D.
【解析】　因为A＝75°，B＝60°，所以C＝180°－75°－60°＝45°.因为c＝，根据正弦定理得＝，所以b＝＝＝.
【答案】　A
已知两边及一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2.求A，B，b.
【思路探究】　(1)条件中已知边c和其对角C，又知边a，能否用正弦定理求得A值？
(2)求得A值后，怎样求其他元素？
【自主解答】　由＝，得sin A＝＝.
∴A＝或A＝π.
又∵c>a，∴C>A，∴只能取A＝，
∴B＝π－－＝，b＝＝
＝＋1.
1．解题时由已知条件用正弦定理直接得到的是sin A的值，由sin A求A可能有两种情况，要根据题意进行取舍．
2．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：
角A为锐角
角A为钝角或直角
图形
关系式
①a＝bsin A
②a≥b　　
bsin Aaa>b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
(2013·青岛高二检测)在△ABC中，已知b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．一个解　　　 B．两个解
C．无解 D．无法确定
【解析】　∵bsin C＝30×sin 26°<30×sin 30°＝15＝c，
∴bsin C【答案】　B
判断三角形的形状
例3在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路探究】　(1)正弦定理的变形公式有哪些？能否用这些变形公式把已知条件sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三边的关系？
(2)对于条件sin A＝2sin Bcos C，我们能否利用三角形中三内角的关系将其化为某一个角的三角函数式？
【自主解答】　法一　在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴()2＝()2＋()2，即a2＝b2＋c2.
∴A＝90°，∴B＋C＝90°.
由sin A＝2sin Bcos C，
得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，
∴sin2B＝.∵B是锐角，∴sin B＝.
∴B＝45°，C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二　在△ABC中，根据正弦定理：sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且A＝90°.
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin (B－C)＝0，∴B－C＝0，即B＝C.
∴△ABC是等腰直角三角形．
1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
2．正弦定理的变形公式：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
实际题目中，我们是通过以上两个变形公式完成边化角和角化边的．
(2013·淄博高二期中)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos A＝bcos B，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形　　　　B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解析】　由正弦定理，已知条件可以变形为sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，△ABC为等腰三角形或直角三角形．
易错专练 解三角形时忽视大边对大角致误
　在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝，求B.
【错解】　∵＝，
∴sin B＝＝＝，
∴B＝30°或150°.
【错因分析】　本题解答忽略了题目中的隐含条件a>b，从而A>B.
【防范措施】　已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角时，要分清是大边对的角还是小边对的角，从而确定解的情况．
【正解】　∵＝，
∴sin B＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，
∴B为锐角．故B＝30°.
巩固练习
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】　由正弦定理＝，知sin B＝＝＝.
【答案】　A
2．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　∵＝，∴sin A∶sin B＝a∶b＝.
【答案】　A
3．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝________.
【解析】　由正弦定理得sin A＝2sin B·sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝.
又0【答案】　60°或120°
4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°.求b.
【解】　A＝180°－60°－75°＝45°，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝4.
【课堂小结】
1．正弦定理主要解决了两类问题：即“已知两边和其中一边的对角”、“已知两角和任一边”解三角形．对于“已知两边及其中一边的对角”解三角形时，由于三角形的形状不确定，会出现两解、一解和无解的情况，需要特别注意．
2．在解三角形时，除了恰当地运用正弦定理外，还要注意与三角的其他知识相结合，如三角形内角和定理，大边对大角，三角恒等变换公式等等.
布置作业
教材第4页 练习 1、2题
板
书
设
计
教
学
反
思