高中数学必修五教案 1. 1.2　余弦定理

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高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
1．1.2　余弦定理
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能：理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．
2．过程与方法：通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力．
3．情感、态度与价值观：探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义．
教学重点
余弦定理的发现过程及定理的应用
教学难点
用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理的灵活应用
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
余弦定理
【问题导思】　
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.
1．如果C＝90°，如何求AB边的长？
【提示】　利用勾股定理求AB的长，即c2＝a2＋b2.
2．设＝a，＝b，＝c.怎样用向量的线性运算表示？
【提示】　＝－＝a－b.
3．在问题2的前提下，如何用向量的数量积表示AB边的长？
【提示】　|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C，
∴c2＝a2＋b2－2abcos C.
4．你能用同样的方法表示BC、AC的长吗？请你写出结论．
【提示】　能．结论：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B.
文字语言: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
符号语言: a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
余弦定理的推论
【问题导思】　
如果已知△ABC的三边长a、b、c，能否分别求出三个内角A、B、C的值？
【提示】　能．用余弦定理变形可得公式．
cos A＝， cos B＝， cos C＝.
已知两边一角解三角形
在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，
(1)a＝2，b＝2，C＝15°；(2)a＝，b＝，B＝45°.
【思路探究】　(1)中已知角C是已知边a、b的夹角，可以直接用余弦定理求边c吗？其他元素如何求？
(2)中已知角B是已知边b的对角，可以用正弦定理求解吗？解的情况唯一吗？用余弦定理行吗？
【自主解答】　(1)法一　cos 15°＝cos(45°－30°)＝，sin 15°＝sin(45°－30°)＝.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，
∴c＝－.又b>a，∴B>A，∴角A为锐角．
由正弦定理，得sin A＝sin C＝×＝.
∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°.
法二　cos 15°＝cos(45°－30°)＝，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，
∴c＝－.∴cos A＝＝.
又0°(2)法一　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B，∴2＝3＋c2－2·c，
即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.
当c＝时，由余弦定理得cos A＝＝＝.
∵0°由余弦定理得cos A＝＝＝－.
∴A＝120°，C＝15°.
法二　由正弦定理知sin A＝＝＝.
∵a＝>＝b，∴A有两解．∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝75°，这时c＝＝＝.
当A＝120°时，C＝15°，这时c＝＝＝.
1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．
2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．
若把本例(2)条件改为“b＝3，c＝3，B＝30°”，试解此三角形．
【解】　法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理sin A＝＝＝1.
∵0法二　由bcsin 30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理sin C＝＝＝，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，则a＝3.
故a＝3或6.
已知三边解三角形
　在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角．
【思路探究】　(1)由a∶b∶c＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？
(2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求解？
【自主解答】　由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c边是最大边，其所对角C为最大内角．
由余弦定理推论得：
cos C＝＝＝－，
∴C＝120°，
即最大内角为120°.
1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．
(2013·洛阳高二检测)边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为(　　)
A．90°　　　B．120°　　　C．135°　　　D．150°
【解析】　设边长为5、7、8的对角分别为A、B、C.
则A∴cos(A＋C)＝－cos B＝－，∴A＋C＝120°.
【答案】　B
判断三角形的形状
　在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．
【思路探究】　可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦定理求A，再应用三角公式求出另外两角，进而判断△ABC的形状．
【自主解答】　因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，
由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝，即A＝60°.
又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，且sin A＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＝cos Bsin C，即sin(B－C)＝0，所以B＝C，
又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，
故△ABC为等边三角形．
1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形?a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形?a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
在△ABC中，若acos A＋bcos B＝ccos C．试判断△ABC的形状．
【解】　由余弦定理可得
a·＋b·＝c·，
等式两边同乘以2abc，得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)，
整理化简得a4＋b4－2a2b2＝c4，
∴(a2－b2)2＝c4.
因此有a2－b2＝c2或b2－a2＝c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2，故△ABC是以A(或B)为直角的直角三角形.
正余弦定理的综合应用
　(12分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.
【思路点拨】　(1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a，b的关系．
(2)用余弦定理求cos B的值进而求B.
【规范解答】　(1)由正弦定理，得asin B＝bsin A，
所以bsin2A＋bcos2A＝a，所以＝.6分
(2)由余弦定理及c2＝b2＋a2，得cos B＝.8分
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2，
所以cos2B＝.10分又cos B>0，故cos B＝，
∴B＝45°.12分
　
在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．
巩固练习：
1．三角形的两边AB、AC的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－，则三角形的第三边长为(　　)
A．52　　　　　 B．2
C．16 D．4
【解析】　由条件可知cos A＝－，则BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝52＋32－2×5×3×(－)＝52，∴BC＝2.
【答案】　B
2．(2013·青岛高二期中)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　　)
A. B. C．0 D.
【解析】　∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角．由余弦定理得cos C＝＝0. 【答案】　C
3．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
【解析】　由余弦定理得：cos C＝＝＝. 【答案】　
4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，求cos C的值．
【解】　∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，
由正弦定理，知a∶b∶c＝3∶2∶4.
设a＝3k，b＝2k，c＝4k(k>0)，
由余弦定理得：cos C＝＝－.
课堂小结：
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形．(2)已知两边及一角解三角形．
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍.
布置作业：
板
书
设
计
教
学
反
思