高中数学必修五教案 1.2应用举例距离和高度问题
文档属性
| 名称 | 高中数学必修五教案 1.2应用举例距离和高度问题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 186.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-15 20:26:00 | ||
图片预览
文档简介
集体备课电子教案
高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
1.2应用举例距离和高度问题
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际问题；
(2)掌握解三角形应用题的基本步骤和基本方法；
(3)培养运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
2．过程与方法
(1)经历将实际问题抽象为数学模型的过程，体会数学建模思想；
(2)能够从数学角度去思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；
(3)体验合作学习的过程，能在小组合作探究中清楚地表述自己的观点，善于倾听和评估不同意见．
3．情感、态度与价值观
(1)意识到数学知识在现实生活中的重要作用，增强对数学学习的兴趣；
(2)在探究合作过程中，增加探究意识与合作意识，增强与人交流的意识；
(3)通过课外实习活动，体会数学的应用价值．
教学重点
1.实际问题向数学问题的转化；
2．解斜三角形的方法．
教学难点
实际问题向数学问题转化思路的确定．
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
【探究新知】
基线的概念
1.定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高
测量中的有关概念
1.坡角
坡面与水平面的夹角，如图1－2－1所示，α为坡角．
图1－2－1
2．坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α，如图1－2－1所示．
3．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1－2－2所示)．
图1－2－2
4．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．
【例题讲解】 求两点间可视但不可到达的距离问题
图1－2－3
如图1－2－3，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．
【思路探究】(1)AC的对角∠ABC是多少度？(2)能用正弦定理求出AB的长度吗？
【自主解答】在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°则B＝180°－(A＋C)＝60°，
由正弦定理，得AB＝AC＝＝20(3＋)．
即A，B两点间的距离为20(3＋)m.
如图所示，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；
(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；
(3)用正弦定理解△ABC，得
AB＝＝.
图1－2－4
如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．(精确到1 m)
【解】 在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200(m)．
∴DE＝AB－AD－BE＝200－120≈409(m)．
∴隧道DE的长约为409 m.
求不可到达两点之间的距离问题
图1－2－5
在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图1－2－5所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
【思路探究】 本题的未知量可以看成测量两点不可到达的距离的量，因此可以解三次三角形．法一：分别由解△ADC和△BDC得AD和BD，再解△ABD得AB；也可采用法二：分别由解△ADC和△BDC得AC和BC，再解△ABC得AB.
【自主解答】 法一 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
∴AD＝CD＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°.
∵＝，
∴DB＝CD·＝a·＝a.
在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB
＝a2＋(a)2－2×a·a·＝a2，
∴AB＝a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.
法二 同法一，得AD＝DC＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∴＝，∴BC＝a.
在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°
＝a2＋a2－2×a·a·＝a2，
∴AB＝a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.
如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线CD；
(2)测量CD，∠ACB，
∠BCD，∠ADC，∠BDA；
(3)在△ACD中，解三角形得AC，在△BCD中，解三角形得BC；
(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB＝.
图1－2－6
本例若改为下面的叙述，试解答之．
如图1－2－6，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
【解】 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
∴AC＝CD＝.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BC＝＝，
则在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠BCA
＝()2＋()2－2×cos 75°＝5. ∴AB＝.
故两目标A，B之间的距离为 km.
求底部不可到达的物体的高度问题
图1－2－7
如图1－2－7，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
【思路探究】 (1)由在C点和D点的仰角如何用塔高表示出线段BC、BD的长度？
(2)在△BCD中，已知CD、∠CBD，又用塔高表示了BC、BD，如何建立关于塔高的方程？
(3)怎样求得塔高AB?
【自主解答】 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.
在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos ∠CBD，
即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，
所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)．即塔高AB＝200米．
1．解答本题的关键是用仰角与塔高分别表示BC、BD的长度．在△BCD中用余弦定理建立了关于塔高的方程，进而求得塔高．
2．测量高度时需要注意的问题：
①在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．如图所示：
②要根据题意正确画出图形，同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．
甲、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？
【解】 如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．
在△ABC中，BC＝200×tan 60°
＝200，
AC＝200÷sin 30°＝400，
由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，
∴△ACD为等腰三角形．
由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 120°，
4002＝AD2＋AD2－2AD2×(－)＝3AD2，
AD2＝，AD＝.
答：甲楼高为200m，乙楼高为m.
测量高度问题
(12分)某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
【思路点拨】 解答时可以先依据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观测点何处距塔底B距离最小．
【规范解答】 根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.3分
由正弦定理，
得＝， ∴BD＝＝20 .6分
在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
∴BE＝DBsin 15°＝20·＝10(－1).9分
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，
∴AB＝BEtan 30°＝(3－)(米)．
故所求的塔高为(3－)米.12分
本题与立体几何中的边角有关，解题的关键是准确作出空间图形，确定最大仰角的位置是解题的难点，实际上，在AB一定时，仰角要最大，需B到测试点的距离最小，所以测试点是过B向CD作垂线的垂足位置．
巩固练习：
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【解析】 根据仰角和俯角的概念可知α＝β.
【答案】 B
图1－2－8
2．测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．(如图1－2－8所示)时，选取了可到达的一点C作出△ABC，其中基线为( )
A．AB B．AC
C．BC D．△ABC
【解析】 由基线的定义可知，AC为基线．
【答案】 B
3．一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为________．
【解析】 如图，AB为残存树干，BC为折断部分，在Rt△ABC中，
已知AC＝5，∠ABC＝30°，
∴AB＝5，BC＝10.
∴树干原来的高度为AB＋BC＝(10＋5)m.
【答案】 (10＋5)m
图1－2－9
4．如图1－2－9，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A，B两点的距离．
【解】 ∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理＝，
∴AB＝＝＝50(m)．
课堂小结：
1．解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．
2．测量距离问题要根据实际选取合适的基线长度，测量底部不可到达的物体的高度，不能直接用解直角三角形一步解决．
布置作业：
二次备课
板
书
设
计
教
学
反
思
高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
1.2应用举例距离和高度问题
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际问题；
(2)掌握解三角形应用题的基本步骤和基本方法；
(3)培养运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
2．过程与方法
(1)经历将实际问题抽象为数学模型的过程，体会数学建模思想；
(2)能够从数学角度去思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；
(3)体验合作学习的过程，能在小组合作探究中清楚地表述自己的观点，善于倾听和评估不同意见．
3．情感、态度与价值观
(1)意识到数学知识在现实生活中的重要作用，增强对数学学习的兴趣；
(2)在探究合作过程中，增加探究意识与合作意识，增强与人交流的意识；
(3)通过课外实习活动，体会数学的应用价值．
教学重点
1.实际问题向数学问题的转化；
2．解斜三角形的方法．
教学难点
实际问题向数学问题转化思路的确定．
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
【探究新知】
基线的概念
1.定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高
测量中的有关概念
1.坡角
坡面与水平面的夹角，如图1－2－1所示，α为坡角．
图1－2－1
2．坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α，如图1－2－1所示．
3．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1－2－2所示)．
图1－2－2
4．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．
【例题讲解】 求两点间可视但不可到达的距离问题
图1－2－3
如图1－2－3，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．
【思路探究】(1)AC的对角∠ABC是多少度？(2)能用正弦定理求出AB的长度吗？
【自主解答】在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°则B＝180°－(A＋C)＝60°，
由正弦定理，得AB＝AC＝＝20(3＋)．
即A，B两点间的距离为20(3＋)m.
如图所示，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；
(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；
(3)用正弦定理解△ABC，得
AB＝＝.
图1－2－4
如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．(精确到1 m)
【解】 在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200(m)．
∴DE＝AB－AD－BE＝200－120≈409(m)．
∴隧道DE的长约为409 m.
求不可到达两点之间的距离问题
图1－2－5
在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图1－2－5所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
【思路探究】 本题的未知量可以看成测量两点不可到达的距离的量，因此可以解三次三角形．法一：分别由解△ADC和△BDC得AD和BD，再解△ABD得AB；也可采用法二：分别由解△ADC和△BDC得AC和BC，再解△ABC得AB.
【自主解答】 法一 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
∴AD＝CD＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°.
∵＝，
∴DB＝CD·＝a·＝a.
在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB
＝a2＋(a)2－2×a·a·＝a2，
∴AB＝a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.
法二 同法一，得AD＝DC＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∴＝，∴BC＝a.
在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°
＝a2＋a2－2×a·a·＝a2，
∴AB＝a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.
如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线CD；
(2)测量CD，∠ACB，
∠BCD，∠ADC，∠BDA；
(3)在△ACD中，解三角形得AC，在△BCD中，解三角形得BC；
(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB＝.
图1－2－6
本例若改为下面的叙述，试解答之．
如图1－2－6，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
【解】 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
∴AC＝CD＝.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BC＝＝，
则在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠BCA
＝()2＋()2－2×cos 75°＝5. ∴AB＝.
故两目标A，B之间的距离为 km.
求底部不可到达的物体的高度问题
图1－2－7
如图1－2－7，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
【思路探究】 (1)由在C点和D点的仰角如何用塔高表示出线段BC、BD的长度？
(2)在△BCD中，已知CD、∠CBD，又用塔高表示了BC、BD，如何建立关于塔高的方程？
(3)怎样求得塔高AB?
【自主解答】 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.
在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos ∠CBD，
即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，
所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)．即塔高AB＝200米．
1．解答本题的关键是用仰角与塔高分别表示BC、BD的长度．在△BCD中用余弦定理建立了关于塔高的方程，进而求得塔高．
2．测量高度时需要注意的问题：
①在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．如图所示：
②要根据题意正确画出图形，同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．
甲、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？
【解】 如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．
在△ABC中，BC＝200×tan 60°
＝200，
AC＝200÷sin 30°＝400，
由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，
∴△ACD为等腰三角形．
由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 120°，
4002＝AD2＋AD2－2AD2×(－)＝3AD2，
AD2＝，AD＝.
答：甲楼高为200m，乙楼高为m.
测量高度问题
(12分)某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
【思路点拨】 解答时可以先依据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观测点何处距塔底B距离最小．
【规范解答】 根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.3分
由正弦定理，
得＝， ∴BD＝＝20 .6分
在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
∴BE＝DBsin 15°＝20·＝10(－1).9分
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，
∴AB＝BEtan 30°＝(3－)(米)．
故所求的塔高为(3－)米.12分
本题与立体几何中的边角有关，解题的关键是准确作出空间图形，确定最大仰角的位置是解题的难点，实际上，在AB一定时，仰角要最大，需B到测试点的距离最小，所以测试点是过B向CD作垂线的垂足位置．
巩固练习：
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【解析】 根据仰角和俯角的概念可知α＝β.
【答案】 B
图1－2－8
2．测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．(如图1－2－8所示)时，选取了可到达的一点C作出△ABC，其中基线为( )
A．AB B．AC
C．BC D．△ABC
【解析】 由基线的定义可知，AC为基线．
【答案】 B
3．一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为________．
【解析】 如图，AB为残存树干，BC为折断部分，在Rt△ABC中，
已知AC＝5，∠ABC＝30°，
∴AB＝5，BC＝10.
∴树干原来的高度为AB＋BC＝(10＋5)m.
【答案】 (10＋5)m
图1－2－9
4．如图1－2－9，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A，B两点的距离．
【解】 ∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理＝，
∴AB＝＝＝50(m)．
课堂小结：
1．解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．
2．测量距离问题要根据实际选取合适的基线长度，测量底部不可到达的物体的高度，不能直接用解直角三角形一步解决．
布置作业：
二次备课
板
书
设
计
教
学
反
思