高中数学必修五教案 等比数列前n项和的性质及应用

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高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
等比数列前n项和的性质及应用
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
掌握等比数列前n项和公式的特点，能初步应用公式解决与之有关的问题．
2．过程与方法
通过对公式运用的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
3．情感、态度与价值观
通过对公式运用的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．
教学重点
等比数列前n项和及性质的应用．
教学难点
等比数列前n项和及性质的灵活应用．
教学方法
探究式教学方法
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
等比数列前n项和的性质
【问题导思】
在等差数列{an}中，我们知道其前n项和Sn满足这样的性质，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列；等比数列的前n项和Sn是否也满足这一性质呢？试证明之．
【提示】　满足．
证明　∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，
∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，
S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m
＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm
＝(a1＋a2＋…＋am)qm
＝Sm·qm.
同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，
在Sm≠0时，有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．
在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，其公比是qn.
等比数列前n项和Sn与函数
【问题导思】　
1．等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)，是否可以写成Sn＝A(qn－1)(Aq≠0且q≠1)的形式？若可以，A等于什么？
【提示】　可以，A＝－.
2．等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)．是否可以写成Sn＝Aan＋B(AB≠0且A≠1)的形式？
【提示】　可以，A＝－，B＝.
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，q≠1的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一些孤立的点．
等比数列前n项和的性质及应用
　(1)已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.
(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
【思路探究】　(1)列出关于a1，q的方程组能求解吗？S10，S20－S10，S30－S20是否成等比数列？用这一性质能解决吗？(2)“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么？你能使用等比数列前n项和的性质求解吗？
1．解决本例有两种思路：用等比数列的前n项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使计算简便．
2．等比数列前n项和的常用性质
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，
则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．
(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列．
　根据下面各个数列{an}的首项和递推关系，求其通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N*)；
(4)数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，求数列{an}的通项公式．
【思路探究】　(1)观察递推公式的特点，能采用叠加法求通项公式吗？(2)用叠乘法可以求解吗？(3)能否对递推公式变形，构造出一个新的等比数列？(4)对已知条件用“递推求差”的方法后你会得到怎样的结果？
1．形如an＋1＝an＋f(n)的递推式，可用叠加法求通项公式．
2．形如an＋1＝f(n)an的递推式，可用叠乘法求通项公式.3.形如an＋1＝kan＋b(k、b为常数)的递推式，可变形为an＋1＋λ＝k(an＋λ)构造等比数列求解，其中λ可用待定系数法确定．
4．由和式求通项公式，可把和式看做一个数列的前n项和，然后根据an＝来求解．
　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到万元，1.110≈2.594,1.310≈13.786)
【思路探究】　(1)两种方案分别属于什么数列模型？(2)你能建立不同数列模型进行比较吗？
1．解决本题的关键是分清甲、乙两个方案属于等差数列模型还是等比数列模型．
2．等差、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．
3．将实际问题转化为数列问题时应注意：①分清是等差数列还是等比数列；②分清是求an还是求Sn，特别是要准确确定项数n；③递推关系的发现是数列建模的关键．
4．解数列应用题的思路方法如图所示．
忽略对公比q的讨论致误
　求数列1，a，a2，…，an－1，…的前n项和Sn.
【错解】　由等比数列的前n项和公式，得
Sn＝＝.
【错因分析】　本题有两处错误：(1)认为1，a，a2，…，an－1，…为等比数列，实际上该数列只有在a≠0时，才是等比数列．
(2)若该数列为等比数列，要用公式Sn＝求和，忘记条件q≠1会导致错误．
小结
1．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．
2．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前n项和有关的常用的性质有：①连续m项和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立)；②{an}为等比数列，且q≠1?Sn＝－Aqn＋A(A≠0)．
用好性质会降低解题的运算量，从而减少错误．
3．解决有关数列模型的实际问题时，关键是弄懂题意，确定数列的类型及所求的基本量.
板
书
设
计
教
学
反
思