高中数学必修五教案 等差数列
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高一年级 数学备课组（总第课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
等差数列
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；能运用等差数列的通项公式解决一些问题．
2．过程与方法
培养学生观察、分析、归纳、推理的能力．通过强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过对等差数列的研究，培养学生主动探索的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯．
教学重点
等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用．
教学难点
对等差数列中“等差”两字的把握，通项公式的推导．
教学方法
问题教学法
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
等差数列的概念
【问题导思】
观察下面几组数列：
(1)0,5,10,15,20,25，…
(2)9,6,3,0，－3，－6，…
(3)2,2,2,2,2,2，…
每个数列从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点？
【提示】 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数．
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*).
等差中项
【问题导思】
如果三个数a，A，b成等差数列，那么它们之间有怎样的数量关系？
【提示】 因为A－a＝b－A，所以a＋b＝2A.
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．它们之间的关系式是a＋b＝2A.
等差数列的通项公式
【问题导思】
等差数列{an}中，a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d，能不能用a1与d表示an呢？怎样表示？
【提示】 把各式相加可得：an－a1＝(n－1)d，移项可得an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的判断
判断下列数列是否是等差数列，并给出证明．
(1)an＝4－2n；
(2)an＝n2＋n.
【思路探究】 (1)判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？(2)如果用等差数列的定义该怎样证明某数列为等差数列？
1．本例给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)的形式，若符合形式则为等差数列，否则不是．
2．定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列为等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或它的等价命题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例．
本例中若把(1)改为“an＝4n－3”，试判断并证明之．
【解】 是等差数列．
∵an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，
∴{an}是公差为4的等差数列．
等差数列的通项公式及其应用
等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
(1)求a20；
(2)85是不是该数列中的项？若不是说明原因，若是，是第几项？
【思路探究】 (1)根据已知条件，结合等差数列的通项公式能否列出关于a1，d的方程组并解得a1，d的值？(2)能否写出{an}的通项公式？(3)怎样判断一个数是不是某数列中的项？
【自主解答】 (1)由an＝a1＋(n－1)d得，
解得
∴a20＝－2＋19×3＝55.
(2)∵a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
令3n－5＝85，∴n＝30.
∴85是该数列的第30项．
1．在等差数列中，若已知am＝a，an＝b，一般列出关于a1，d的方程组求出a1，d，从而确定该数列的通项公式．
2．通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量a1，d，n，an，求解过程中反映了“知三求一”的方程思想．
(1)若{an}为等差数列，a8＝36，a12＝56，求a80；
(2)若{an}为等差数列，a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n.
函数的思想方法在等差数列中的应用
(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图2－2－1所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
图2－2－1
请您根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
【思路点拨】 首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列，进行求解，得出结论．
【规范解答】 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列 {cn}，则cn＝anbn.2分
本题利用等差数列模型求解，体现了等差数列的函数特性．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数据依次呈直线上升或下降，则可考虑用等差数列来解决．一定要分清首项、项数等关键问题．
小结
1．理解等差数列的定义应注意
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的含义．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求．
(3)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题：
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量；
(2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项；
(3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断{an}是等差数列．
板
书
设
计
教
学
反
思
高一年级 数学备课组（总第课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
等差数列
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；能运用等差数列的通项公式解决一些问题．
2．过程与方法
培养学生观察、分析、归纳、推理的能力．通过强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过对等差数列的研究，培养学生主动探索的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯．
教学重点
等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用．
教学难点
对等差数列中“等差”两字的把握，通项公式的推导．
教学方法
问题教学法
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
等差数列的概念
【问题导思】
观察下面几组数列：
(1)0,5,10,15,20,25，…
(2)9,6,3,0，－3，－6，…
(3)2,2,2,2,2,2，…
每个数列从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点？
【提示】 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数．
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*).
等差中项
【问题导思】
如果三个数a，A，b成等差数列，那么它们之间有怎样的数量关系？
【提示】 因为A－a＝b－A，所以a＋b＝2A.
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．它们之间的关系式是a＋b＝2A.
等差数列的通项公式
【问题导思】
等差数列{an}中，a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d，能不能用a1与d表示an呢？怎样表示？
【提示】 把各式相加可得：an－a1＝(n－1)d，移项可得an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的判断
判断下列数列是否是等差数列，并给出证明．
(1)an＝4－2n；
(2)an＝n2＋n.
【思路探究】 (1)判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？(2)如果用等差数列的定义该怎样证明某数列为等差数列？
1．本例给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)的形式，若符合形式则为等差数列，否则不是．
2．定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列为等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或它的等价命题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例．
本例中若把(1)改为“an＝4n－3”，试判断并证明之．
【解】 是等差数列．
∵an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，
∴{an}是公差为4的等差数列．
等差数列的通项公式及其应用
等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
(1)求a20；
(2)85是不是该数列中的项？若不是说明原因，若是，是第几项？
【思路探究】 (1)根据已知条件，结合等差数列的通项公式能否列出关于a1，d的方程组并解得a1，d的值？(2)能否写出{an}的通项公式？(3)怎样判断一个数是不是某数列中的项？
【自主解答】 (1)由an＝a1＋(n－1)d得，
解得
∴a20＝－2＋19×3＝55.
(2)∵a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
令3n－5＝85，∴n＝30.
∴85是该数列的第30项．
1．在等差数列中，若已知am＝a，an＝b，一般列出关于a1，d的方程组求出a1，d，从而确定该数列的通项公式．
2．通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量a1，d，n，an，求解过程中反映了“知三求一”的方程思想．
(1)若{an}为等差数列，a8＝36，a12＝56，求a80；
(2)若{an}为等差数列，a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n.
函数的思想方法在等差数列中的应用
(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图2－2－1所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
图2－2－1
请您根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
【思路点拨】 首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列，进行求解，得出结论．
【规范解答】 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列 {cn}，则cn＝anbn.2分
本题利用等差数列模型求解，体现了等差数列的函数特性．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数据依次呈直线上升或下降，则可考虑用等差数列来解决．一定要分清首项、项数等关键问题．
小结
1．理解等差数列的定义应注意
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的含义．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求．
(3)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题：
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量；
(2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项；
(3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断{an}是等差数列．
板
书
设
计
教
学
反
思