高中数学必修五教案 数列的概念与简单表示法

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高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人： 时间： 年 月 日
课 题
数列的概念与简单表示法
第 课时
教
学
目
标
1．知识与技能
(1)理解数列及其有关概念，了解数列与函数之间的关系；
(2)了解数列的通项公式，并会用数列的通项公式写出数列的任意一项；
(3)会根据数列的前几项写出它的一个通项公式．
2．过程与方法
(1)通过实例，引入数列的概念；
(2)通过对一列数的观察、分析、归纳，写出符合条件的一个通项公式．
3．情感、态度与价值观
(1)培养学生的观察能力和抽象概括能力，逐步培养学生善于思考和解决问题的能力；( 2)调动学生的积极情感，主动参与学习．
教学重点
数列的有关概念，通项公式及其应用．
教学难点
根据数列的前几项写出它的一个通项公式．
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】　
1．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年——约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图(1)所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，将石子摆成如图(2)所示的正方形状，就将其所对应石子个数称为正方形数．
你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写出吗？
【提示】　(1)1,3,6,10，…
(2)1,4,9,16，…
2．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分所对应的一列数是怎样的，你能写出来吗？
【提示】　，，，，，…
3．观察以上例子中所涉及的一些数，说一说这些数的呈现有什么特点？
【提示】　每一列数中的数字都是按照一定的顺序排列的．
1．数列
按照一定顺序排列着的一列数称为数列．
2．数列的项
数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．
3．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，这里n是序号.
数列的分类
【问题导思】　
1．如果组成两个数列的数相同但排列顺序不同，它们是否为同一数列？有没有各项都为同一个数的数列？
【提示】　不是同一数列，有．
2．问题1(知识1)中的两个数列的项随项数的变化有怎样的大小变化？问题2(知识1)中的数列呢？
【提示】　问题1中的两个数列的项随项数变大而逐渐变大，问题2中的正好相反．
数列的分类
(1)按项的个数分类
类别
含义
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
(2)按项的变化趋势分类
类别
含义
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
数列的通项公式
【问题导思】　
　观察问题1中正方形数所构成的数列与问题2中的数列，你能否发现每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系能否用式子表达出来？
【提示】　正方形数“1, 4,9,16，…”每一项都是这一项项数的平方，即an＝n2.数列“，，，，…”每一项都是的项数次方，即an＝()n.都可以写成关于项数n(n∈N*)的式子．
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
　判断下列说法是否正确．
(1)数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8}．
(2)数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列．
(3)1,2,22,23，…， 263是递增数列，也是无穷数列．
(4)－1,1，－1,1，…是常数列．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1,3,5,7，…；
(2)－，－，－，－，…；
(3)2,5,10,17，…；
(4)－，，－，，…；
(5)3,33,333,3 333，…；
(6)－1,0，－1,0，….
根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系．
具体可参考以下几个思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号．
(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等
　数列{an}的通项公式是an＝(－1)n－1·，写出该数列的前5项，并判断是否是该数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．
　数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项；反过来，判断一个数是不是一个数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解，有正整数解就是，否则就不是．
板
书
设
计
教
学
反
思