高中数学必修五教案 3.1 不等关系与不等式

课 题
3.1 不等关系与不等式
第 课时
教
学
目
标
通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系
能用不等式或不等式组解决简单的实际问题
了解不等式的基本性质
教学重点
用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题
教学难点
用不等式或不等式组准确地表示不等关系，用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题
教学方法
(1)通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力；
(2)设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性．
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.你能用不等式表示对脂肪和蛋白质含量的规定吗？
【提示】　f≥2.5%，p≥2.3%.
我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题，常用的不等号有：>、<、≥、≤、≠.
作差法比较实数的大小：
【问题导思】
想一想，怎样比较两个实数的大小？
【提示】　用作差法．
作差法比较两实数(代数式)大小
依据
如果a－b>0，那么a>b.
如果a－b<0，那么a如果a－b＝0，那么a＝b.
结论
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.
不等式的基本性质：
性质
别名
性质内容
注意
5
同向
可加性
?a＋c>b＋d
同向
6
同向同正
可乘性
?ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0?an>bn
(n∈N*，n≥2)
同正
8
可开方性
a>b>0?>
(n∈N*，n≥2)
《铁路旅行常识》规定：
“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克……”
设身高为h(米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．
文字表述
身高在
1．2～1.5
米之间
身高超
过1.5米
身高不
足1.2米
物体长、宽、
高之和不超
过160厘米
符号表示
【思路探究】　(1)你能找出题目中说明不等关系的词语吗？(2)你能理解它们的含义并用不等式表示出来吗？
【自主解答】　身高在1.2～1.5米之间可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为0物体长、宽、高之和不超过160厘米可表示为P≤160.
【答案】　1.2≤h≤1.5；h>1.5；01．用不等式表示不等关系时，要注意体会关键词的含义，如本例中的“在……之间”、“不足”、“不超过”等，对于实际问题中不要漏掉隐含条件．
2．文字语言与数学符号语言之间的转换．
将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，问题中关键性的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换，关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系．
3．常见的文字语言与数学符号的转换
大于
小于
大于
等于
小于
等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
用不等式表示下列关系：
(1)x为非负数；
(2)x为实数，而且大于1不大于6；
(3)x与y的平方和不小于2，而且不大于10.
【解】　(1)x≥0.
(2)x∈R且1(3)2≤x2＋y2≤10.
作差法比较两数(式)的大小
　已知x>1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
【思路探究】　(1)本题可以用作差法比较吗？(2)作差后要作怎样的变化，推得什么样的结果？
【自主解答】　x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)[(x－)2＋]．
∵x>1，∴x－1>0.
又(x－)2＋>0，
∴(x－1)[(x－)2＋]>0.
∴x3－1>2x2－2x.
1．本题采用的是作差法比较大小，一般地，涉及两个代数式比较大小，常用作差法．
2．作差法比较两个数(式)的大小可以归纳为“三步一结论”，即作差→变形→定号→结论．其中变形为关键，定号为目的．在变形中，一般变形得越彻底，越有利于下一步的判断．在定号中，若为几个因式积，需对每个因式均先定号，若符号不确定时，需进行讨论．
将例题中“x>1”改为“x∈R”，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
【解】　(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，
∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥>0，
∴当x>1时，(x－1)(x2－x＋1)>0，即x3－1>2x2－2x；
当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，
即x3－1＝2x2－2x；
当x<1时， (x－1)(x2－x＋1)<0，
即x3－1<2x2－2x.
不等式的基本性质及应用
　(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac(2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
【思路探究】　(1)不等式f－ac(2)不等式≤能否变换为＋1≤＋1？怎样由已知条件导出≤？
【自主解答】　证明：(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，
∴－ac<－bc.∵f∴f－ac(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd>0，
∴≤，
∴＋1≤＋1，
∴≤.
用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件，利用相应的不等式性质证明；要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数；一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的；一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等．
已知a>b>0，c求证：>.
【证明】　∵c－d>0，
又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，
即a－c>b－d>0，∴0<<，
又∵e<0，∴>.
(对应学生用书第52页)
错用不等式的性质致误
　已知12【错解】　∵12∴12－15∴－3【错因分析】　同向不等式不能相减，也不能直接相除．
【防范措施】　利用几个不等式的范围来确定某代数式的范围是一类常见的综合问题，解题时要紧扣不等式的基本性质，不能直接将几个已知不等式相加(减或相乘除)．
【正解】　∵15∴－36<－b<－15.
∴12－36即－24由15又12∴<<，即<<4.
综上，－241．使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
2．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤
(1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；
(2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)；
(3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式．
3．作差法比较大小的关键步骤是变形，变形时常采用配方，因式分解、通分、有理化等手段进行.
(对应学生用书第53页)
1．(2013·长沙高二检测)设bA．a－c>b－d　　　　　B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
【解析】　∵b【答案】　C
2．如果a>b，那么下列不等式一定成立的是(　　)
A．c－a>c－b B．－2a>－2b
C．a＋c>b＋c D．a2>b2
【解析】　A中，(c－a)－(c－b)＝b－a<0，∴A错误；
B中，－2a－(－2b)＝2(b－a)<0，∴B错误；
C中，(a＋c)－(b＋c)＝a－b>0，∴C正确；
D中，取a＝0，b＝－3，显然0<9，∴D错误．
【答案】　C
3．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________．
【解析】　x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，
∴x－2<0，x－1<0，
∴x2＋2－3x>0，
∴x2＋2>3x.
【答案】　x2＋2>3x
4．用不等式表示下列不等关系．
(1)今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7 ℃，白天最高温度为13 ℃.
(2)△ABC的任意两边之和大于第三边．
【解】　(1)设明日气温为t，则7≤t≤13(单位：℃)．
(2)设△ABC的三边为a，b，c，则.
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
【解析】　对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x【答案】　C
2．(2013·岳阳高二检测)已知非零实数a，b满足a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2>b2　　　　　　　B.<
C．a2b>ab2 D.>
【解析】　当a>b且a、b均小于零时，a2当a>b，则ab<0时，>，B不正确；当ab<0时，C不正确；只有D选项正确．
【答案】　D
3．(2013·南昌高二检测)若a>b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a>bc B．a2>b2
C．a＋c>b＋c D．ac2>bc2
【解析】　对于A：当0>a>b，c<0时不成立；对于B：当0>a>b时不成立；对于D：当c＝0时不成立，C正确．
【答案】　C
4．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是(　　)
A．ac>bc B．ab>ac
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
【解析】　由a＋b＋c＝0，a>b>c，得a>0，c<0.
∵b>c，∴ab>ac.
【答案】　B
5．已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　)
A．x>y B．x＝y
C．x【解析】　∵x＝－＝，
y＝－＝，
∴x【答案】　C
二、填空题
6．一个两位数，其中个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等式表示为________．
【解析】　这个两位数可以写成10b＋a，由题意，10b＋a>50.
【答案】　10b＋a>50
7．若－1【解析】　∵－1－x>－y>0，xy>0，
∴x2>y2，>.∵y2>0，<0，∴x2>y2>>.
【答案】　x2>y2>>
8．(2013·深圳高二检测)给出以下四个命题：
①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?＞；④a＜b＜0?＞.其中真命题的序号是________．
【解析】　①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；
②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；
③a＜b＜0，得＞成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．
【答案】　②③
三、解答题
9．已知a>b>c，求证：＋＋>0.
【证明】　原不等式变形为：＋>.
又∵a>b>c，所以a－c>a－b>0，
∴>，又>0，
∴＋>，
即＋＋>0.
10．某球迷协会一行56人从旅馆乘出租车到球场为球队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．试用不等式表示上述不等关系．
【解】　设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆．
由题意，得
11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a元，二级小麦每千克b元(b【解】　分级收购时，粮站支出(ma＋nb)元，
按平均价格收购时，粮站支出元．
因为(ma＋nb)－
＝(a－b)(m－n)，
又因为b所以当m>n时，粮站占便宜；
当m＝n时，一样；
当m(教师用书独具)
　设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大小．
【思路探究】　用作商法比较，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小．
【自主解答】　＝aa－bbb－a＝()a－b，
当a>b>0时，>1，a－b>0，∴()a－b>1，
当b>a>0时，0<<1，a－b<0，∴()a－b>1，
∴()a－b>1，即>1，
又∵aabb>0，abba>0，∴aabb>abba.
比较1816与1618的大小．
【解】　＝()16＝()16()16＝()16，
∵∈(0,1)，∴()16<1，
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618.
　已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
【思路探究】　由题意知α、β的范围，利用不等式的性质求、的取值范围．
【自主解答】　∵－≤<，－<≤，
将两式相加得，－<<.
∵－≤<，
∴－≤－<，
∴－≤<.
又α<β，
∴<0，故－≤<0.
若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　)
A．－π<2α－β<0　　　　　B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
【解析】　∵－<α<，∴－π<2α<π，
又－<β<，∴－<－β<，
∴－<2α－β<.
又α－β<0，α<，∴2α－β<.
故－<2α－β<.
【答案】　C
板
书
设
计
教
学
反
思