高中数学必修五教案 3.4 基本不等式

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年级　　 备课组（总第 课时）主备人： 时间：
课题：3.4 基本不等式
第　　课时
教
学
目
标
(1)会推导基本不等式：≥；
(2)理解≥的几何意义；
(3)会利用基本不等式求最值．
重点
基本不等式成立的条件及应用
难点
基本不等式成立的条件以及应用基本不等式求最大值和最小值．
教学方法、手段
基本不等式是后面应用基本不等式求最大(小)值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用．本节宜采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出基本不等式的推导．
教学过程（教学设计）：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】　
如图(1)是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，将其抽象成如图(2)形式．设直角三角形的长为a、b(a≠b)，那么正方形的边长为.
图(1)
1．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？
图(2)
2．当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题1你有什么发现？
3．在a>0，b>0时，用，分别代替a、b，可以得到什么结论？
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)
“a＝b”时取“＝”
基本不等式
≤(a，b∈R＋)
“a＝b”时取“＝”
(对应学生用书第65页)
利用基本不等式比较代数式的大小
　若0试比较出a＋b，a2＋b2,2，2ab中最大者．
【思路探究】　(1)a＋b与2的大小关系是怎样的？a2＋b2与2ab的大小关系呢？(2)a＋b与a2＋b2怎样比较大小？
【自主解答】　∵0∴a＋b>2，a2＋b2>2ab；
∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
又∵0∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2∴a＋b最大．
1．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．本题在比较a＋b与a2＋b2的大小时使用了作差法．
已知a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，试比较P、Q、R的大小．
【解】　∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，
∴P＝<＝Q，
Q＝＝lg ab＝lg∴P用基本不等式求简单的最值
　(1)已知x>0，求f(x)＝x＋的最小值；
(2)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；
(3)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值．
【思路探究】　(1)x与都为正数吗？它们的积为定值吗？怎样求x＋的最小值？
(2)由lg a＋lg b＝2能得到a，b为定值吗？a，b是正数吗？
(3)和为定值，能求积的最大值吗？
【自主解答】　(1)∵x>0，∴由基本不等式可得
f(x)＝x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，f(x)取到最小值6；
(2)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，即ab＝100，且a>0，b>0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.
(3)∵m，n>0且m＋n＝16，
所以由基本不等式可得mn≤()2＝()2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
当a>0，b>0时，
1．若a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，可以用基本不等式≤求得．
2．若ab＝S(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用基本不等式a＋b≥2求得．
不论哪种情况都要注意等号取得的条件．
若x>0，求f(x)＝＋3x的最小值．
【解】　∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
当且仅当3x＝即x＝2时，“＝”成立．
∴f(x)的最小值为12.
利用基本不等式证明不等式
　已知a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
【思路探究】　判断a，b，c，，，均大于0―→
证＋b≥2a―→证＋c≥2b―→证＋a≥2c―→得所证不等式
【自主解答】　∵a，b，c，，，均大于0，
∴＋b≥2＝2a，
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b，
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c.
∴＋＋≥a＋b＋c.
1．此题多次使用a＋b≥2时，要注意等号能否成立，最后利用不等式性质累加的应用，此时也要注意等号成立的条件．
2．在解决不能直接利用基本不等式的证明问题，要重新组合，构造运用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换．
已知：a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1.
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
【证明】　∵a＋b＋c＝1，a>0，b>0，c>0，
∴－1＝－1＝≥>0，
－1＝－1＝≥>0，
－1＝－1＝≥>0，
将以上三式相乘得
(－1)(－1)(－1)≥＝8，
即(－1)(－1)(－1)≥8.
(对应学生用书第66页)
忽视基本不等式成立的条件致误
　求函数y＝x＋的值域．
【错解】　∵x＋≥2＝2，
∴函数值域为[2，＋∞)．
【错因分析】　上述解答中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零，因而导致错误．
【防范措施】　由于y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故要对x的符号加以讨论，否则不能用基本不等式．
【正解】　当x>0时，x＋≥2＝2，
当且仅当x＝即x＝1时，“＝”成立，∴y≥2.
当x<0时，x＋＝－(－x＋)≤
－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时，“＝”成立．
∴y≤－2.
故原函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞) .
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.
(对应学生用书第67页)
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)
A.　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．4
【解析】　xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．
【答案】　C
2．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为________．
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
【答案】　B
3．已知x>0，函数y＝＋x的最小值为________．
【解析】　∵x>0，∴>0，∴y＝x＋≥2 ＝4.
【答案】　4
4．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，试比较x，y的大小．
【解】　∵a，b是不相等的正数，
∴x2＝<＝a＋b＝y2，
又x>0，y>0，∴x一、选择题
1．给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2 ＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；
④∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2 ＝－2.
其中正确的推导为(　　)
A．①②　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
【解析】　①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确；
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2 ＝4是错误的；
④由xy<0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，(－)、(－)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．
【答案】　D
2．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为(　　)
A．6　　　　B．4 C．2　　　D．2
【解析】　2a＋2b≥2＝2＝4.
【答案】　B
3．(2013·西安高二检测)设0A．aC．a<【解析】　由a＝，b＝＝，0【答案】　B
4．(2013·杭州高二检测)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2　　　　B．2 C．4　　　D．5
【解析】　∵＋＋2≥＋2≥2＝4，当且仅当时，取“＝”，即a＝b＝1时，原式取得最小值4.
【答案】　C
5．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　)
A．3　　　　B．4 C．5　　　D．6
【解析】　p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.
当且仅当x＝y＝时，取“＝”．
【答案】　C
二、填空题
6．已知x，y∈R＋，且xy＝100，则x＋y的最小值为________．
【解析】　x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．
【答案】　20
7．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________(用“>”连接)．
【解析】　∵a>1，∴a2＋1>2a>a＋1，
∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，
∴m>p>n.
【答案】　m>p>n
8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
【解析】　设两数为x，y，即4x＋9y＝60，
＋＝(＋)
＝(13＋＋)
≥×(13＋12)＝，
当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6且y＝4时，等号成立，故应分别填上6、4.
【答案】　6,4
三、解答题
9．设a，b，c是不全相等的正数，求证：＋＋>a＋b＋c.
【证明】　∵a、b、c>0，∴＋≥2c，
＋≥2b，＋≥2a，
∴2(＋＋)≥2(a＋b＋c)．
又∵a、b、c不全相等，
∴＋＋>a＋b＋c.
10．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax2－3x＋2<0的解集为A＝{x|1(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x－(x∈A)的最小值．
【解】　(1)由题意知：解得a＝1，b＝2.
(2)由(1)知a＝1，b＝2，∴A＝{x|1∴f(x)＝4x＋(1而x>0时，4x＋≥2＝2×6＝12.当且仅当4x＝，即x＝时取等号．
而x＝∈A，∴f(x)的最小值为12.
11．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
【解】　[f(x1)＋f(x2)]≤f()．
证明如下：f(x1)＋f(x2)
＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg()．
∵x1，x2∈R＋，∴≥ ，
∴lg≤lg()，
即lg(x1·x2)≤lg()，
∴(lg x1＋lg x2)≤lg()．
故[f(x1)＋f(x2)]≤f().
(教师用书独具)
记F(x，y)＝x＋y－a(x＋2)，x，y∈R＋.若对任意的x，y∈R＋，恒有F(x，y)≥0，请求出a的取值范围．
【思路探究】　分离参数a，变成a≤f(x)的形式，然后求f(x)的最小值即可．
【自主解答】　由F(x，y)≥0，得x＋y≥a(x＋2)．
因为x>0，y>0，
所以a≤恒成立．
所以a的最大值为的最小值．
因为2≤x＋2y，
所以≥＝，
当且仅当x＝2y>0时，等号成立，即a的最大值为，所以a∈(－∞，]．
设a>b>c，且＋≥恒成立，求实数m的取值范围．
【解】　由a>b>c知a－b>0，a－c>0.因此，原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈(－∞，4]．
第2课时　基本不等式的应用
应用基本不等式求最值
【问题导思】　
1．利用基本不等式求最值时，应注意什么问题？
【提示】　在用基本不等式求函数的最大(小)值时，需要注意三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到．
2．当x<0时，能用基本不等式求＋x的最值吗？怎样求？
【提示】　能.＋x＝－[＋(－x)]≤－2×2＝－4.
3．如果给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？
【提示】　先变形，后应用．
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
(对应学生用书第68页)
利用基本不等式求最值
　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0(3)已知x>0，求f(x)＝的最大值．
【思路探究】　(1)这些题目能直接利用基本不等式求最值吗？(2)对其进行怎样的变形后可以用基本不等式？
【自主解答】　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×()2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x(0(3)f(x)＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
1．本例题目都不能直接使用基本不等式求最值，需要先对其变形．
2．应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．
3．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．
(1)已知x>3，求f(x)＝x＋的最小值；
(2)已知x>0，y>0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
【解】　(1)∵x>3，
∴x－3>0，>0，
于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3
≥2 ＋3＝7，
当且仅当x－3＝即x＝5时，f(x)取到最小值7.
(2)∵x>0，y>0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·()2
＝·()2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
两个变量的最值问题
　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
【思路探究】　从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件，但根据已知变形，消去一个变量，可构造成能使用基本不等式的形式，也可使用“1”的代换，尝试解决．
【自主解答】　∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(＋)(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．
本例中，若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值；
【解】　∵x，y∈R＋，
∴＋＝(x＋2y)(＋)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
基本不等式的实际应用
图3－4－1
　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图3－4－1所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【思路探究】　
设出
变量→列函数
关系式→利用函数
求最大值→求平
均利润→利用基本不
等式求最值→结论
【自主解答】　(1)如图所示，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知得xa＝360，得a＝，所以y＝225x＋－360(x>0)．
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
应用基本不等式解决实际问题的方法
先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；正确写出答案．
如图3－4－2所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36 m．则每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？
图3－4－2
【解】　设每间羊圈的相邻两边长分别为x，y(平行于墙的一边为x)，则有4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18.设S＝xy.
∵18＝2x＋3y≥2＝2，
∴xy≤，即S≤.
上式当且仅当2x＝3y时取“＝”．
此时∴
∴每间羊圈的相邻两边长分别为 m,3 m时面积最大．
(对应学生用书第69页)
忽略等号成立的条件致误
　设x，y为正数，求(x＋y)(＋)的最小值．
【错解】　因为x，y为正数，所以x＋y≥2，＋≥2 ，即＋≥，从而(x＋y)(＋)≥2·＝8.
【错因分析】　在x＋y≥2中等号成立的条件为x＝y，在＋≥中等号成立的条件为＝，即y＝4x，要使两个等号同时成立，必有x＝y＝0，这与题设矛盾．
【防范措施】　在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是一个题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误．
【正解】　(x＋y)(＋)＝1＋4·＋＋4＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当4·＝，即y＝2x时等号成立．
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．
1．当x<0时，f(x)＝＋4x的最大值为(　　)
A．－4　　　　　　 B．－8
C．－8 D．－16
【解析】　∵x<0，∴－x>0，
∴f(x)＝－[(－)＋(－4x)]
≤－2 ＝－8.
【答案】　C
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
【解析】　a2＋1≥2a，当且仅当a＝1时“＝”成立．
【答案】　B
3．函数y＝3x＋32－x的最小值为________．
【解析】　y＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时等号成立．
【答案】　6
4．求函数f(x)＝的最大值．
【解】　∵f(x)＝≤＝，
当且仅当＝，即x＝1时等号成立.
一、选择题
1．下列函数中，最小值为4的函数是(　　)
A．y＝x＋　　　　　　B．y＝sin x＋
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
【解析】　A中，x符号不定，排除A；B中，当sin x＝2时取“＝”，不可能，∴排除B；C中，ex＝2时取“＝”，故选C；D中，log3x符号不定，∴排除D.
【答案】　C
2．(2013·长沙高二检测)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
【解析】　∵a＋b＝2，∴y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，取“＝”．
【答案】　C
3．(2013·临沂高二检测)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
【解析】　由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤[]2，
∴1＋x≤1＋，故x≤.
【答案】　B
4．(2013·重庆高二检测)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
【解析】　f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.
∵x>2，∴x－2>0.
∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－2＝，
即x＝3时“＝”成立．
又f(x)在x＝a处取最小值．
∴a＝3.
【答案】　C
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是(　　)
A．[6，＋∞) B．[9，＋∞)
C．(0,9] D．(0,6]
【解析】　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2－3≥0，∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
【答案】　B
二、填空题
6．已知0【解析】　当0＝2－[(－log2x)＋]≤2－2.
当且仅当－log2x＝，
即(log2x)2＝5，亦即x＝2－时，等号成立．
【答案】　2－2
7．(2013·苏州高二检测)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
【解析】　由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，
∴＋＝(＋)(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n时“＝”成立．
【答案】　4
8．某校要建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．
【解析】　设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元，根据题意，有2xy＝8，∴xy＝4，且
z＝240×＋160·(2×2x＋2×2y)
＝120×8＋640(x＋y)
≥120×8＋1 280
＝120×8＋1 280×2
＝3 520.
【答案】　3 520
三、解答题
9．(2013·扶余高二检测)设x>－1，求y＝的最小值．
【解】　∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有
y＝＝＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数取得最小值是9.
10．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．
【解】　x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
∴(＋)2＝18.
又∵a＋b＝10，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
11．(2013·临沂高二检测)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？
【解】　(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：
4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：
100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：
y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000
＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：
g(x)＝×10 000＝
＝50(x＋＋79)≥50×(2＋79)＝6 950(元)．
当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
∴该写字楼应建30层．
(教师用书独具)
求f(x)＝＋1的最小值．
【思路探究】　将x2＋4变成x2＋3＋1，把看成一个整体，用基本不等式求解．
【自主解答】　f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1，
令t＝(t≥)，
则原函数变形为y＝t＋＋1，易证函数在区间[，＋∞)上是增函数．
所以当t＝时，y＝t＋＋1取得最小值＋1.
所以当t＝，即x＝0时，f(x)＝＋1取得最小
值＋1.
已知a>0，求函数y＝的最小值．
【解】　y＝＋，当01时，令t＝(t≥)，y＝f(t)＝t＋，易知f(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以y≥f()＝，当t＝，即x＝0时等号成立，则ymin＝.综上，当01时，ymin＝.
不等式的性质
在应用不等式性质时要注意每个性质的使用条件，不要盲目乱用或错用．特别地在应用乘法性质时，容易漏掉“同正”这一条件，另在进行不等式加减运算时，要注意不等式与等式间线性运算的区别，切勿因直接加减以增大或缩小不等式的范围．
　如果a，b，c满足cA．ab>ac　　　　　B．c(b－a)>
C．cb2【思路点拨】　对照已知条件结合不等式的基本性质逐项验证．
【解析】　c0，c<0.对于A：?ab>ac，A正确．
对于B：?c(b－a)>0，B正确；
对于C：?cb2≤ab2D?/cb2对于D：ac<0，a－c>0?ac(a－c)<0，D正确．
【答案】　C
已知a，b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
【解析】　∵a0，∴a·∴<.
【答案】　C
不等式的恒成立问题
不等式中的恒成立问题，既是学习中的难点，又是高考中的热点，在求解不等式中的恒成立问题时，要注意转化，利用数形结合的方法，构造不等式或不等式组进行探讨．
常见的解决恒成立问题的方法有：
(1)判别式法；(2)数形结合法；(3)分离参数法；(4)分类讨论法．
　不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对一切实数x恒成立，求m的取值范围．
【思路点拨】　先讨论二次项系数为零时是否符合题意，对于二次项系数不为零时，用其等价不等式组求m的范围．
【规范解答】　当m2－2m－3＝0时，m＝－1或3.而m＝3时，－1<0符合题意，所以m＝3；
当m2－2m－3≠0时，应有
??－已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解】　由x∈[1，＋∞)，f(x)＝>0恒成立，得x2＋2x＋a>0恒成立．
即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．
而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
线性规划问题
线性规划问题是在二元一次不等式(组)所表示的平面区域后学习的，主要是想通过该工具解决生产、生活实际中的最值问题(如用料最省，效益最大等)，解线性规划问题时应首先准确列出二元一次不等式(组)，并画出相应平面区域，在此基础上利用数形结合的思想寻找目标函数的最值，需特别说明一点：用好斜率间的关系是避免找错最优解的关键．
　某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过加工和装配两个车间加工，有关数据如下表所示：
加工时间(h/件)
产品
总有效工时(h)
甲
乙
车间
加工
4
3
480
装配
2
5
500
利润(元/件)
300
520
试问加工这两种产品各多少件，才能使工厂获得的利润最大？
【思路点拨】　列出线性约束条件及目标函数，画出可行域，利用平移法求最值．
【规范解答】　设加工甲、乙两种产品分别为x件、y件，工厂获利z元，则z＝300x＋520y.
由题意，得
作出可行域如图所示．
考虑z＝300x＋520y，将它变形为y＝－x＋z，这是斜率为－且随z变化的一族平行直线.z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最大．由图可知，当直线z＝300x＋520y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．由得M的坐标为(64，74)，不满足x∈N，y∈N，平移直线并验证知点(64,74)是最优解．
∴当加工64件甲产品，74件乙产品时，工厂获得最大利润．
设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
【解析】　|x|＋|y|≤1表示的平面区域为如图所示的阴影部分．设z＝x＋2y，易知当直线z＝x＋2y过点(0,1)时，z有最大值，zmax＝0＋2×1＝2；当直线过点(0，－1)时，z有最小值，zmin＝0＋2×(－1)＝－2.
【答案】　B
基本不等式的应用
利用基本不等式求函数最值，证明不等式、解决实际问题历年都是高考的热点．
基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2(a≥0，b≥0)求“定积求和，和最小”问题，用ab≤()2求“定和求积、积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，及对等号能否成立的验证．
若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．
　已知0【思路点拨】　利用基本不等式解题时，求积的最大值，和必须是定值，而此时两数x与8－3x的和不是定值，如果乘一个常数3，那么两数3x与8－3x的和是定值．
【规范解答】　∵0∴8－3x>0，
∴y＝x(8－3x)＝·3x·(8－3x)≤·()2＝，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．
∴当x＝时，y＝x(8－3x)取得最大值，最大值为.
已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
【解析】　log2a＋log2b＝log2ab，
∵log2a＋log2b≥1.
∴ab≥2且a>0，b>0.3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2≥2＝18，
当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立．
∴3a＋9b的最小值为18.
【答案】　18
分类讨论的思想
分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．
本章中求解含参数的一元二次不等式是要用到分类讨论的思想，根据不同题目，常见分类方法有以下三种：
1．对二次项系数分类讨论．
若二次项系数含有参数a，则a的符号影响与不等式对应的函数的图象的开口方向，从而对不等式的解集有影响，需分a>0，a＝0，a<0三种情况讨论．
2．对判别式分类讨论．
若判别式Δ中含有参数a，则Δ的符号影响对应方程的解的个数，从而对不等式的解集有影响，需分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况讨论．
3．对根的大小分类讨论．
若与不等式对应的方程的根x1，x2中含有参数，那么x1，x2的大小影响不等式解集的取值，需分x1>x2，x1＝x2，x1　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【思路点拨】　二次项系数中含有参数a，需要对a的符号进行分类讨论．
【规范解答】　若a＝0，原不等式变为－x＋1<0，即x>1.
若a<0，原不等式变为(x－)(x－1)>0，
此时对应方程 (x－)(x－1)＝0的两根为x1＝，
x2＝1，∴不等式的解集为{x|x<或x>1}．
若a>0，原不等式变为(x－)(x－1)<0，
此时对应方程(x－)(x－1)＝0的两根为x1＝，
x2＝1.当＝1，即a＝1时，不等式的解集为?；
当>1，即0当<1，即a>1时，不等式的解集为{x|综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>1}；当0当a>1时，不等式的解集为{x|解不等式ax2＋2x＋1>0(a>0)．
【解】　首先看判别式Δ＝4－4a，
当Δ<0时，4－4a<0，此时a>1，二次项系数已经大于0.
而此时二次方程ax2＋2x＋1＝0无实根，∴不等式的解集为R.
当Δ＝0时，4－4a＝0，此时a＝1，原不等式变为x2＋2x＋1>0，
即(x＋1)2>0，只须x≠－1，∴不等式的解集为{x|x≠－1}，
当Δ>0，即4－4a>0时，0又x1x2}．
综上，当 0}，
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}，当a>1时，原不等式的解集为R
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